江苏省海安高级中学2024-2025学年高二上学期期中学业质量监测数学试题

这是一份江苏省海安高级中学2024-2025学年高二上学期期中学业质量监测数学试题，共11页。试卷主要包含了已知是圆的一条弦，，是的中点，下列结论正确的是，下列四个命题中，正确的是等内容，欢迎下载使用。
注意事项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1.答题前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若经过，两点的直线的倾斜角为，则（ ）
A. B. C. D.2
2.若直线与平行，则（ ）
A. B. C. D.2
3.已知数列满足，且，则（ ）
A. B.0 C.1 D.2
4.已知等差数列的首项为10，公差为，则数列的前项和的最大值为（ ）
A. B.30 C.80 D.不存在
5.已知双曲线的离心率为2，一个焦点在抛物线的准线上，则的顶点到渐近线的距离为（ ）
A. B. C. D.3
6.如图，是某心形二次曲线，则的方程可能为（ ）
A. B.
C. D.
7.已知椭圆的一个焦点是，过原点的直线与相交于点，，的面积是20，则（ ）
A.5 B. C. D.10
8.已知是圆的一条弦，，是的中点.当弦在圆上运动时，直线上总存在两点，，使得为钝角，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.下列结论正确的是（ ）
A.直线的倾斜角的取值范围是
B.斜率之积为的两直线相互垂直
C.在两坐标轴上截距相等的直线斜率为
D.直线的一般式方程可以表示平面上任意一条直线
10.下列四个命题中，正确的是（ ）
A.要唯一确定圆，只需给出圆上三点
B.要唯一确定抛物线，只需给出焦点和准线
C.要唯一确定以坐标原点为中心的椭圆，只需给出椭圆上两点
D.要唯一确定以坐标原点为中心的双曲线，只需给出一条渐近线和一个焦点
11.设数列的前项和为，则数列为常数列（各项均为同一个常数的数列）的一个充分条件是（ ）
A. B.
C. D.，
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知圆，试写出一个半径为1，且与轴和圆都相切的圆的标准方程：__________.
13.定义：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项加上它的前一项所得的和都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等和数列，这个常数叫做等和数列的公和.已知数列是等和数列，，，则公和为__________.
14.已知抛物线的焦点为，为圆上的动点，点，则__________；若为上的动点，则的最小值为__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（13分）
在平面直角坐标系中，过点的直线与抛物线相交于点，.
（1）若直线的斜率为1，求；
（2）求证：.
16.（15分）
已知等差数列的前项和为，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）记，，若，，成等差数列，求并证明为等差数列.
17.（15分）
已知为圆上任意一点，点，线段的垂直平分线与交于点，记点的轨迹为.
（1）求的方程；
（2）过点作直线（与轴不重合）与相交于点，，直线与轴交于点，，求的方程.
18.（17分）
已知等轴双曲线的左､右焦点分别，，且焦距为，，分别是在第二象限和第一象限上的一点，且.
（1）求的方程；
（2）若直线的斜率为，求直线的斜率；
（3）若四边形的面积为，求直线的方程.
19.（17分）
记等差数列的前项和为，公差为.
（1）证明：是关于的不含常数项的二次函数；
（2）等差数列的公差为，且.
①求的通项公式；
②记数列的前项和为，是否存在，，使得？若存在，求，；若不存在，请说明理由.
高二参考答案与评分建议
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.
1DACB AADD
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.
9.BD 10.ABD 11.ACD
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.答案不唯一，，
13.7 14.；
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）
15.解：（1）设，依题意，直线的方程为：.
与联立方程组并消去，得，
所以.
所以.
（2）设直线的方程为：.
与联立方程组并消去，得.
所以.
所以
，
，
所以.
16.解：（1）设等差数列的公差为.
因为，所以，
解得，所以.
（2）由（1）知，，
所以.
因为成等差数列，所以，
即.
化简得，，
解得或.
当时，，所以；
当时，，所以.
所以数列均为等差数列.
17.解：（1）连结.
因为线段的垂直平分线与交于点，所以.
丁是.
根据椭圆的定义，知点的轨迹是以为焦点，4为长轴长的椭圆.
设焦距为，则.
又设椭圆的方程为：，
则，故.
所以的方程为.
（2）由题意，知直线的斜率存在，不妨设的方程为：，则.
又设.
联立与并消去，得
，
所以
又，则，故.
所以，解得.
所以的方程为.
18.解：（1）因为等轴双曲线的焦距为，所以，
又，所以，所以的方程：.
（2）法1：延长，与分别交于点.
根据对称性，知，且.
所以四边形为平行四边形，且和均关于原点对称.
设，则，且.
于是，
因为直线的斜率为，所以直线的斜率为3.
法2：设，又设直线的方程为，由题意，.
直线与双曲线联立方程组消去，得，
则②，
因为，则，即，即，
即，化简得，
由①得，③，
由①③得，
则，
所以直线的斜率为3.
（3）设直线的方程为：，
与联立方程组并消去，得的两根为.
结合（2）法1知，.
所以.
所以，解得或.
因为分别是在第二象限和第一象限上一点，所以不符合题意；
所以直线的方程为.
19.（17分）
证明：（1）依题意，等差数列的前项和
又因为，所以是关于的不含常数项的二次函数.
（2）①法1：因为
，
由（1）知，，故或.
由①知，，即，故或.
若，因为，所以，于是.
由①知，，所以.
又，故，即.
所以，从而.
若，
当时，由①知，，即，
所以，因为，所以.
所以，从而.
当时，则.
由①知，，即，故，这与矛盾；
综上，的通项公式为或.
法2：因为，则，故或
若，则
当时，，即，
因为，所以，
当时，，即，即，所以，
所以，所以；
若，则，
当时，，即，即①，
当时，，即，即②
由①②，得，
因为，所以，所以；
综上，的通项公式为或.
法3：因为，所以，
整理得，.
因为，所以
因为，由①得，.
将代入②③，整理得.
当时，；
当时，由，有，
因为，所以；
综上，的通项公式为或
②由①知，或
若，此时各项都是整数，故必为整数，所以.
若
①当为偶数时，设，
则，
整理得，，
经检验，只能解得
②当为奇数时，设，
则由（1）知，，
整理得，，即，
此时不存在满足上式.
综上，存在，使得.