百分位数及分层随机抽样的平均数、方差 小题限时训练--2025届高三数学二轮复习

这是一份百分位数及分层随机抽样的平均数、方差 小题限时训练--2025届高三数学二轮复习，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.[2023·重庆质检]从小到大排列的数据1，2，3，x，4，5，6，7，8，y，9，10的第三四分位数为( )
A.3 B.eq \f(3＋x,2)C.8 D.eq \f(8＋y,2)
2.[2023·宝鸡质检]设一组数据x1，x2，…，xn的方差为0.1，则数据2x1，2x2，2x3，…，2xn的方差为( )
A.0.1 B.0.2C.0.4 D.2
3.[2024·菏泽调研]某市为了了解该市的“全民健身运动”的开展情况，从全体市民中随机调查了100位市民每天的健身运动时间(健身运动时间是考查“全民健身运动”情况的重要指标)，所得数据都在区间[5，40](单位：分钟)中，其频率直方图如图所示，估计市民健身运动时间的样本数据的第70百分位数是( )
A.29分钟 B.27分钟C.29.5分钟 D.30.5分钟
4.[2024·南昌模拟]经过计算，某统计小组得到三组数据(每组数据均由10个数组成，每个数据对应运动员一次百米短跑的时间，单位：s)对应的平均数与方差：第一组数据的平均数和方差分别为12，8，第二组数据的平均数和方差分别为15，10，第三组数据的平均数和方差分别为14，16.下列结论正确的是( )
A.从数据的波动情况看，第三组数据的波动最小
B.从数据的平均水平看，第二组数据的成绩最好
C.从数据的波动情况看，第一组数据的波动最大
D.从数据的平均水平看，第一组数据的成绩最好
5.[2023·广州质检]已知总体划分为若干层，通过分层随机抽样，其中某一层抽取的样本数据为x1，x2，…，xn，其平均数和方差分别为eq \(x,\s\up6(－))，s2.记总的样本平均数为eq \(ω,\s\up6(－))，则eq \(∑,\s\up6(n),\s\d8(i＝1))(xi－eq \(ω,\s\up6(－)))2＝( )
A.s2＋(eq \(x,\s\up6(－))－eq \(ω,\s\up6(－)))2 B.ns2＋(eq \(x,\s\up6(－))－eq \(ω,\s\up6(－)))2
C.s2＋n(eq \(x,\s\up6(－))－eq \(ω,\s\up6(－)))2 D.ns2＋n(eq \(x,\s\up6(－))－eq \(ω,\s\up6(－)))2
6.[2024·山东省实验中学质检]在高三某次模拟考试中，甲、乙两个班级的数学成绩统计如下表：
则两个班所有学生的数学成绩的方差为( )
A.6.5 B.13 C.30.8 D.31.8
7.[2023·海口模拟]气象意义上从春季进入夏季的标志为“连续5天，每天的日均气温都不低于22 ℃”.已知甲、乙、丙、丁四个地区某连续5天日均气温的数据特征如下：
则可以肯定进入夏季的地区是( )
A.甲地 B.乙地 C.丙地 D.丁地
8.[2023·太原质检]现有甲、乙两组数据，每组数据均由六个数组成，其中甲组数据的平均数为3，方差为5，乙组数据满足如下条件时，若将这两组数据混合成一组，则关于新的一组数据说法错误的是( )
A.若乙组数据的平均数为3，则新的一组数据平均数为3
B.若乙组数据的方差为5，则新的一组数据方差为5
C.若乙组数据的平均数为3，方差为5，则新的一组数据方差为5
D.若乙组数据的平均数为5，方差为3，则新的一组数据方差为5
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.[2024·南通模拟]某班共有48人，小明在一次数学测验中的成绩是第5名，则小明的成绩可能是( )
A.第9百分位数 B.第10百分位数
C.第90百分位数 D.第91百分位数
10.[2023·德州质检]PM2.5是衡量空气质量的重要指标.如图是某地4月1日到10日的PM2.5日均值(单位：μg/m3)的折线图，则关于这10天中PM2.5日均值的说法正确的是( )
A.众数为33 B.第70百分位数是33
C.中位数小于平均数 D.前4天的方差小于后4天的方差
11.[2023·南通模拟]某学校高三年级有男生640人，女生360人.为获取该校高三学生的身高信息，采用抽样调查的方法统计样本的指标值(单位：cm)，并计算得到男生样本的平均值为175，方差为36，女生样本的平均值为165，方差为36，则下列说法正确的是( )
A.若男、女样本量分别为64，36，则总样本的平均值为171.4
B.若男、女样本量分别为64，36，则总样本的方差为36
C.若男、女的样本量都是50，则总样本的平均值为170
D.若男、女的样本量都是50，则总样本的方差为61
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.[2023·淮南质检]近年来，我国肥胖人群的规模急速增长，肥胖人群有很大的心血管安全隐患.目前，国际上常用身体质量指数(BMI)来衡量人体胖瘦程度以及是否健康，其计算公式是BMI＝eq \f(体重（单位：千克）,身高2（单位：米）).我国成人的BMI数值标准为：BMI＜18.5为偏瘦，18.5≤BMI＜24为正常，24≤BMI＜28为偏胖，BMI≥28为肥胖.为了解某公司员工的身体肥胖情况，研究人员从公司员工体检数据中，利用分层随机抽样得到15名员工的BMI数据如下：23.5，21.6，30.6，22.1，23.7，20.6，25.5，23.9，20.8，21.5，21.8，18.2，25.2，21.5，19.1，则该组数据的第70百分位数为______________.
13.[2024·嘉兴模拟]从某地抽取1 000户居民用户进行月用电量调查，发现他们的用电量都在50～650 kW·h之间，进行适当分组后(每组为左闭右开的区间)，画出频率分布直方图如图所示.若根据图示估计得该样本的平均数为322，则可以估计该地居民月用电量的第60百分位数约为______.
14.[2024·周口联考]现有一组数据：1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，…，eq \(n，n，…，n，,\s\up6(,n个n))…，共200项，S(x)＝eq \(∑,\s\up6(200),\s\d4(i＝1)) (x－xi)2(xi是这一组数据的第i项)，有以下结论：
①这组数据的极差为19；
②这组数据的中位数为14；
③这组数据的平均数为13.5；
④S(13)＜S(14).
其中正确结论的个数为________.(参考公式：12＋22＋…＋n2＝eq \f(1,6)n(n＋1)(2n＋1))
百分位数及分层随机抽样的平均数、方差
1.D [∵12×75%＝9，∴该组数据的第三四分位数为eq \f(8＋y,2).故选D.]
2.C [设x1，x2，…，xn的均值为eq \(x,\s\up6(－))，
则2x1，2x2，…，2xn的均值为
eq \f(2x1＋2x2＋…＋2xn,n)＝2eq \(x,\s\up6(－))，
2x1，2x2，…，2xn的方差为
eq \f(1,n)[(2x1－2eq \(x,\s\up6(－)))2＋(2x2－2eq \(x,\s\up6(－)))2＋…＋
(2xn－2eq \(x,\s\up6(－)))2]
＝4×eq \f(（x1－\(x,\s\up6(－))）2＋（x2－\(x,\s\up6(－))）2＋…＋（xn－\(x,\s\up6(－))）2,n)
＝4×0.1＝0.4，故选C.]
3.B [健身运动时间在30分钟以下的比例为(0.01＋0.01＋0.04＋0.06＋0.05)×5＝0.85＝85%，在25分钟以下的比例为85%－0.05×5＝60%，因此第70百分位数一定位于[25，30)内，由25＋5×eq \f(0.7－0.6,0.85－0.6)＝27，可以估计健身运动时间的样本数据的第70百分位数是27分钟.故选B.]
4.D [因为百米短跑的时间越短，成绩越好，所以从数据的平均水平看，第一组数据的成绩最好，故B错误，D正确；方差越大，数据的波动越大，方差越小，数据的波动越小，所以从数据的波动情况看，第三组数据的波动最大，第一组数据的波动最小，故A和C错误，故选D.]
5.D [因为样本数据为x1，x2，…，xn，
其平均数和方差分别为eq \(x,\s\up6(－))，s2，
所以eq \(x,\s\up6(－))＝eq \f(1,n)(x1＋x2＋…＋xn)＝eq \f(1,n)eq \(∑,\s\up12(n),\s\d4(i＝1))xi，
eq \(∑,\s\up12(n),\s\d4(i＝1))xi＝neq \(x,\s\up6(－))，
s2＝eq \f(1,n)[(x1－eq \(x,\s\up6(－)))2＋(x2－eq \(x,\s\up6(－)))2＋…＋(xn－eq \(x,\s\up6(－)))2]
＝eq \f(1,n)eq \(∑,\s\up12(n),\s\d4(i＝1))(xi－eq \(x,\s\up6(－)))2，eq \(∑,\s\up12(n),\s\d4(i＝1))(xi－eq \(x,\s\up6(－)))2＝ns2，
所以eq \(∑,\s\up12(n),\s\d4(i＝1))(xi－eq \(ω,\s\up6(－)))2＝eq \(∑,\s\up12(n),\s\d4(i＝1))[(xi－eq \(x,\s\up6(－)))＋(eq \(x,\s\up6(－))－eq \(ω,\s\up6(－)))]2
＝eq \(∑,\s\up12(n),\s\d4(i＝1))[(xi－eq \(x,\s\up6(－)))2＋(eq \(x,\s\up6(－))－eq \(ω,\s\up6(－)))2＋2(xi－eq \(x,\s\up6(－)))(eq \(x,\s\up6(－))－eq \(ω,\s\up6(－)))]
＝eq \(∑,\s\up12(n),\s\d4(i＝1))(xi－eq \(x,\s\up6(－)))2＋eq \(∑,\s\up12(n),\s\d4(i＝1))(eq \(x,\s\up6(－))－eq \(ω,\s\up6(－)))2＋eq \(∑,\s\up12(n),\s\d4(i＝1))2(xi－eq \(x,\s\up6(－)))·
(eq \(x,\s\up6(－))－eq \(ω,\s\up6(－)))
＝ns2＋n(eq \(x,\s\up6(－))－eq \(ω,\s\up6(－)))2＋2(eq \(x,\s\up6(－))－eq \(ω,\s\up6(－)))eq \(∑,\s\up12(n),\s\d4(i＝1)) (xi－eq \(x,\s\up6(－)))
＝ns2＋n(eq \(x,\s\up6(－))－eq \(ω,\s\up6(－)))2＋2(eq \(x,\s\up6(－))－eq \(ω,\s\up6(－)))(eq \(∑,\s\up12(n),\s\d4(i＝1))xi－neq \(x,\s\up6(－)))＝ns2＋n(eq \(x,\s\up6(－))－eq \(ω,\s\up6(－)))2，
故选D.]
6.C [因为甲班平均分数为eq \(x,\s\up6(－))甲＝70，乙班平均分数为eq \(x,\s\up6(－))乙＝80，
所以两个班所有学生的数学平均分数为
eq \(x,\s\up6(－))＝eq \f(40×70＋60×80,40＋60)＝76，
所以两个班所有学生的数学成绩的方差为：
s2＝eq \f(40,40＋60)×[5＋(eq \(x,\s\up6(－))甲－eq \(x,\s\up6(－)))2]＋eq \f(60,40＋60)×[8＋(eq \(x,\s\up6(－))乙－eq \(x,\s\up6(－)))2]＝eq \f(40,40＋60)×[5＋(70－76)2]＋eq \f(60,40＋60)×[8＋(80－76)2]＝eq \f(154,5)＝30.8.
故选C.]
7.C [对于甲地，中位数为27 ℃，平均数为26 ℃，若5天气温的数据为21，26，27，28，28，则甲地没有进入夏季；
对于乙地，第60百分位数为24 ℃，众数为22 ℃，5×60%＝3，则第60百分位数为第三个数与第四个数的平均数，若5天气温的数据为21，22，22，26，27，则乙地没有进入夏季；
对于丙地，最高气温为31 ℃，平均数为25 ℃，标准差为3 ℃，
设前面四个数据为x1，x2，x3，x4(x1≤x2≤x3≤x4)，
则eq \f(1,5)[(x1－25)2＋(x2－25)2＋(x3－25)2＋(x4－25)2＋(31－25)2]＝32，
故(x1－25)2＋(x2－25)2＋(x3－25)2＋(x4－25)2＝9，所以(x1－25)2≤9，若x1＜22，则(x1－25)2＞9，这与(x1－25)2≤9矛盾，所以22≤x1≤x2≤x3≤x4，所以丙地肯定进入夏季；
对于丁地，下四分位数为23 ℃，上四分位数为28 ℃，极差为7 ℃，由5×eq \f(1,4)＝eq \f(5,4)，5×eq \f(3,4)＝eq \f(15,4)，得下四分位数为按从小到大排列的第2个数据，上四分位数为按从小到大排列的第4个数据，若5天气温的数据为21，23，22，28，28，则丁地没有进入夏季.故选C.]
8.B [设甲组数据的平均数为eq \(x,\s\up6(－))1，方差为seq \\al(2,1)，乙组数据的平均数为eq \(x,\s\up6(－))2，方差为seq \\al(2,2)，混合后的新数据的平均数为eq \(x,\s\up6(－))，方差为s2，则eq \(x,\s\up6(－))1＝3，seq \\al(2,1)＝5.
对于A，新的一组数据平均数eq \(x,\s\up6(－))＝eq \f(6,6＋6)×3＋eq \f(6,6＋6)×3＝3，A正确；
对于B，由于不能确定乙组数据的平均数，
故由公式s2＝eq \f(6,12)[seq \\al(2,1)＋(eq \(x,\s\up6(－))1－eq \(x,\s\up6(－)))2]＋eq \f(6,12)[seq \\al(2,2)＋(eq \(x,\s\up6(－))2－eq \(x,\s\up6(－)))2]可知无法确定新的一组数据方差，B错误；
对于C，因为乙组数据的平均数为3，方差为5，即eq \(x,\s\up6(－))2＝3，seq \\al(2,2)＝5，
所以eq \(x,\s\up6(－))＝eq \f(6,6＋6)×3＋eq \f(6,6＋6)×3＝3，
所以s2＝eq \f(6,12)[seq \\al(2,1)＋(eq \(x,\s\up6(－))1－eq \(x,\s\up6(－)))2]＋eq \f(6,12)[seq \\al(2,2)＋(eq \(x,\s\up6(－))2－eq \(x,\s\up6(－)))2]＝eq \f(1,2)(5＋02)＋eq \f(1,2)(5＋02)＝5，C正确；
对于D，因为乙组数据的平均数为5，方差为3，即eq \(x,\s\up6(－))2＝5，seq \\al(2,2)＝3，
所以eq \(x,\s\up6(－))＝eq \f(6,6＋6)×3＋eq \f(6,6＋6)×5＝4，
所以s2＝eq \f(6,12)[seq \\al(2,1)＋(eq \(x,\s\up6(－))1－eq \(x,\s\up6(－)))2]＋eq \f(6,12)[seq \\al(2,2)＋(eq \(x,\s\up6(－))2－eq \(x,\s\up6(－)))2]＝eq \f(1,2)(5＋1)＋eq \f(1,2)(3＋1)＝5，D正确；故选B.]
9.CD [将全班数学成绩由低到高排列，则小明成绩排在第44位，显然AB错误；
因为48×90%＝43.2，48×91%＝43.68，所以第90百分位数和第91百分位数均为小明成绩.故选CD.]
10.AC [根据折线图可知，日均值个数最多的是33，有两个，故众数为33，故A正确；
将日均值按从小到大的顺序排列为：17，23，26，30，31，33，33，36，42，128，因为i＝10×70%＝7为整数，则第70百分位数是
eq \f(33＋36,2)＝34.5，故B不正确；
中位数为eq \f(31＋33,2)＝32，
平均数为
eq \f(17＋23＋26＋30＋31＋33＋33＋36＋42＋128,10)＝39.9，
故C正确；
前4天的平均数为eq \f(36＋26＋17＋23,4)＝25.5，
方差为
eq \f(（36－25.5）2＋（26－25.5）2＋（17－25.5）2＋（23－25.5）2,4)
＝47.25，
后4天的平均数为eq \f(42＋31＋30＋33,4)＝34，
方差为
eq \f(（42－34）2＋（31－34）2＋（30－34）2＋（33－34）2,4)＝22.5，
前4天的方差大于后4天的方差，故D不正确.故选AC.]
11.ACD [若男、女样本量分别为64，36，则总样本的平均值为eq \f(175×64＋165×36,64＋36)＝171.4，
总样本的方差为eq \f(64,100)×[36＋(175－171.4)2]＋eq \f(36,100)×[36＋(165－171.4)2]＝59.04，
故A正确，B错误；
若男、女的样本量都是50，则总样本的平均值为eq \f(175×50＋165×50,50＋50)＝170，
总样本的方差为eq \f(50,100)×[36＋(175－170)2]＋eq \f(50,100)×[36＋(165－170)2]＝61，故C，D正确；故选ACD.]
12.23.7 [15名员工的BMI数据由小到大排列为：18.2，19.1，20.6，20.8，21.5，21.5，21.6，21.8，22.1，23.5，23.7，23.9，25.2，25.5，30.6，
由15×70%＝10.5，所以该组数据的第70百分位数是第11个数23.7.]
13.350 [由题意可得
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(400x＋600y＋0.36＋0.9＋0.36＝\f(322,100)，,100（2y＋x＋0.001 8＋0.003＋0.000 6）＝1，))
解得x＝0.002 2，y＝0.001 2，由0.12＋0.18＋0.3＝0.6知，估计该地居民月用电量的第60百分位数约为350.]
14.3 [这一组数据有1个1，2个2，3个3，…，故出现n以前共有数据的个数为1＋2＋…＋n－1，而1＋2＋…＋13＝91，1＋2＋…＋14＝105，故第100个数和第101个数均为14，中位数为14，故②正确；1＋2＋3＋…＋19＝190，1＋2＋3＋…＋20＝210，故最大的数有10个，数值为20，故极差为 20－1＝19，故①正确；eq \f(1,200)×(1×1＋2×2＋…＋19×19＋10×20)＝eq \f(1,200)×(eq \f(1,6)×19×20×39＋200)＝13.35，故③错误；S(x)＝eq \(∑,\s\up12(200),\s\d4(i＝1)) (x－xi)2＝
eq \(∑,\s\up12(200),\s\d4(i＝1)) (x2－2xix＋xeq \\al(2,i))＝200x2－2(x1＋x2＋…＋x200)x＋xeq \\al(2,1)＋xeq \\al(2,2)＋…＋xeq \\al(2,200)，这是关于x的二次函数，且开口向上，x＝eq \f(x1＋x2＋…＋x200,200)＝13.35为二次函数的对称轴，故S(13)＜S(14)，故④正确.故正确结论的个数为3.]
班级
人数
平均分数
方差
甲
40
70
5
乙
60
80
8
甲地
中位数为27 ℃，平均数为26 ℃
乙地
第60百分位数为24 ℃，众数为22 ℃
丙地
最高气温为31 ℃，平均数为25 ℃，标准差为3 ℃
丁地
下四分位数为23 ℃，上四分位数为28 ℃，极差为7 ℃