2024-2025学年广东省揭阳市八年级（上）期中数学试卷 含详解

这是一份2024-2025学年广东省揭阳市八年级（上）期中数学试卷 含详解，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列各数是无理数是（ ）
A．3.14B．C．D．
2．（3分）下列计算错误的是（ ）
A．÷＝2B．C．＝D．
3．（3分）下列各组数是勾股数的是（ ）
A．4，5，6B．0.5，1.2，1.3
C．1，1，D．5，12，13
4．（3分）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
5．（3分）如图，在Rt△ABC中分别以三角形的三条边为边向外作正方形，面积分别记为S1，S2，S3，若S1＝4，S2＝16，则S3的值为（ ）
A．10B．6C．12D．20
6．（3分）在平面直角坐标系中，若点P（2a+3，﹣1）与点Q（5，b﹣1）关于x轴对称，则a+b的值是（ ）
A．1B．2C．3D．4
7．（3分）下列说法正确的个数有（ ）个
①的算术平方根是3
②±是的平方根
③＝±
④＝0.2
⑤0.1是0.01的一个平方根．
A．1B．2C．3D．4
8．（3分）如图，在数轴上，点A对应的数为a，点B对应的数为b，则化简后结果正确的是（ ）
A．﹣bB．bC．2a+bD．﹣2a﹣b
9．（3分）点在（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第一象限或y轴的正半轴
D．第一象限或第二象限
10．（3分）如图是一个房间的立体图形，其中AB＝9m，BC＝6m，BF＝5m，点M在棱AB上，且AM＝3m，N是FG的中点，已知壁虎要沿着墙壁，地面从点M爬行到N，则它需要爬行的最短路程为（ ）m．
A．B．C．D．10
二、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分．）
11．（3分）若二次根式有意义，则x的取值范围是 ．
12．（3分）平面直角坐标系中，若点P（4﹣m，3+m）在x轴上，则点P的坐标为 ；
13．（3分）若某个正数的平方根是a﹣3和a+5，则这个正数是 ．
14．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，将矩形ABCD沿CE折叠后，使D恰好落在对角线AC上的点F处，则EF＝ ．
15．（3分）如图所示，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13，BC＝12，AD是∠CAB的平分线，若P、Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是 ．
三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分．）
16．（7分）计算：．
17．（7分）解方程：（2x+1）2﹣1＝8．
18．（7分）已知6a+3的立方根是3，3a+b﹣1的算术平方根是4．
（1）求a，b的值；
（2）求a2+ab的平方根．
四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分．）
19．（9分）如图，在下列带有坐标系的网格中，△ABC的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上，A（﹣3，3），B（﹣4，﹣2），C（0，﹣1）．
（1）求△ABC的面积；
（2）画出△ABC关于y轴对称的△DEC，并写出点D、点E的坐标（点D与点A对应，点E与点B对应）．
20．（9分）某村有如图所示的一笔直公路AB，水源C处与公路之间有小片沼泽地，为方便公路上的人用水，拟从C处铺设水管到公路上．已知AB＝200米，AC＝160米，BC＝120米．
（1）求∠ACB的大小；
（2）求铺设水管的最小长度．
21．（9分）已知点P（2a﹣3，a+6），解答下列各题．
（1）点Q的坐标为（3，3），直线PQ∥y轴，求出点P的坐标；
（2）点M的坐标为（b+1，4），若PM∥x轴，且PM＝5，求b的值；
（3）若点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等，求a2023+2024的值．
五、解答题（三）（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分．）
22．（13分）阅读材料，并回答问题：
形如，的数可以化简，其化简的目的主要把原数分母中的无理数化为有理数，如，，这样的化简过程叫做分母有理化．
我们把叫做的有理化因式，（+1）叫做（﹣1）的有理化因式．
（1）问题：的有理化因式是 ，+2的有理化因式是 ．
（2）应用：分母有理化．
（3）拓展：比较大小与．
23．（14分）“数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题．
例：求代数式的最小值．
分析：和是勾股定理的形式，是直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是12﹣x和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角△ABC和△DEF，并使直角边BC和EF在同一直线上（图1），向右平移直角三角形ABC使点B和E重合（图2），这时CF＝x+12﹣x＝12，AC＝3，DF＝2，问题就变成“点B在线段CF的何处时，AB+DB最短？”根据两点间线段最短，得到线段AD就是它们的最小值．
小结：本题利用代数式的形式特点，把它转化为两个直角三角形的问题，从而利用已学过的几何知识来解决这个代数问题，这就是建模思想与数形结合思想．回答下面问题：
（1）代数式的最小值为 ；
（2）变式训练：求代数式+的最小值；
（3）拓展练习：解方程+＝5（利用几何方法解答）．
2024-2025学年广东省揭阳市八年级（上）期中数学试卷
参考答案
一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分．）
1．【解答】解：A、3.14不是无限不循环小数，不符合题意；
B、不是无限不循环小数，不符合题意；
C、不是无限不循环小数，不符合题意；
D、是无理数，符合题意；
故选：D．
2．【解答】解：（A）÷＝＝＝2，故正确；
（B）＝＝×＝2，故正确；
（C）×＝＝，故正确；
（D）由于与不是同类二次根式，故不能合并，故错误；
故选：D．
3．【解答】解：A、∵42+52＝16+25＝41≠62，
∴4，5，6不是勾股数，不符合题意；
B、∵0.5，1.2，1.3这三个数都不是正整数，
∴0.5，1.2，1.3不是勾股数，不符合题意；
C、∵1，1，这三个数不都是正整数，
∴1，1，不是勾股数，不符合题意；
D、∵52+122＝25+144＝169＝132，
∴5，12，13是勾股数，符合题意；
故选：D．
4．【解答】解：A选项，原式＝，故该选项不符合题意；
B选项，原式＝＝，故该选项不符合题意；
C选项，是最简二次根式，故该选项符合题意；
D选项，原式＝2，故该选项不符合题意；
故选：C．
5．【解答】解：在Rt△ABC中，AC2+AB2＝BC2，
由正方形面积公式得S1＝AB2，S2＝AC2，S3＝BC2，
∵S1＝4，S2＝16，
∴S3＝S1+S2＝4+16＝20．
故选：D．
6．【解答】解：∵点P（2a+3，﹣1）与点Q（5，b﹣1）关于x轴对称，
∴2a+3＝5，b﹣1＝﹣（﹣1），
解得：a＝1，b＝2，
∴a+b＝1+2＝3．
故选：C．
7．【解答】解：①的算术平方根是，故①错误；
②±是的平方根，故②正确；
③＝，故③错误；
④＝0.2，故④错误；
⑤0.1是0.01的一个平方根，故⑤正确；
故选：B．
8．【解答】解：由数轴可知：a＜0，b＞0，|b|＞|a|，
∴a+b＞0，
∴
＝﹣a+a+b
＝b，
故选：B．
9．【解答】解：由条件可知：a2+1≥1，
∴点第一象限，
故选：A．
10．【解答】解：如图所示，
∵AB＝9m，AM＝3m，
∴BM＝6m，
∴，
∴BN＝BF+FN＝5+3＝8（m），
∴MN＝；
过点N作NP⊥AC于点P，
则NP＝BF＝5m，，
∴PM＝BP+BM＝3+6＝9（m），
∴MN＝，
∵，
故选：D．
二、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分．）
11．【解答】解：根据二次根式有意义的条件，x﹣1≥0，
∴x≥1．
故答案为：x≥1．
12．【解答】解：∵点P（4﹣m，3+m）在x轴上，
∴3+m＝0，
解得m＝﹣3，
∴4﹣m＝4+3＝7，
∴点P的坐标为（7，0）．
故答案为：（7，0）．
13．【解答】解：∵一个正数的平方根是a﹣3和a+5，
则a﹣3+a+5＝0，
解得：a＝﹣1，
则a﹣3＝﹣4，
所以这个正数是16．
故答案为：16．
14．【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，AB＝6，BC＝8，
∴AB＝CD＝6，AD＝BC＝8，∠D＝90°，
在Rt△ACD中，AC＝＝＝10，
由折叠可知，DE＝FE，CD＝CF＝6，∠D＝∠CFE＝90°，
∴∠AFE＝90°，AF＝AC﹣CF＝10﹣6＝4，
设FE＝DE＝x，则AE＝AD﹣DE＝8﹣x，
在Rt△AEF中，AF2+FE2＝AE2，
∴42+x2＝（8﹣x）2，
解得：x＝3，
∴EF＝3．
15．【解答】解：过点D作DE⊥AB于点E，过点E作EQ⊥AC于点Q，EQ交AD于点P，连接CP，CE，此时PC+PQ＝EQ取最小值，如图所示．
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13，BC＝12，
∴AC＝＝＝5．
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠CAD＝∠EAD，
在△ACD和△AED中，
，
∴△ACD≌△AED（AAS），
∴AE＝AC＝5．
∴S△ACE＝AC•QE＝S△ACB，
∴×5QE＝××5×12，
∴QE＝，
故答案为：．
三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分．）
16．【解答】解：
＝
＝．
17．【解答】解：原方程移项得：（2x+1）2＝9，
∴2x+1＝±3，
∴x1＝﹣2，x2＝1．
18．【解答】解：（1）因为6a+3的立方根是3，
所以6a+3＝33＝27，
6a＝24，
解得：a＝4，
因为3a+b﹣1的算术平方根是4，
所以3×4+b﹣1＝42，
12+b﹣1＝16，
解得：b＝5；
（2）因为a＝4，b＝5，
所以a2+ab＝42+4×5＝36，
因为36的平方根是±6，
所以a2+ab的平方根是±6．
四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分．）
19．【解答】解：（1）∵A（﹣3，3），B（﹣4，﹣2），C（0，﹣1），
∴，
∴△ABC的面积为；
（2）△ABC关于y轴对称的△DEC，如图所示，
由图可知，D（3，3），E（4，﹣2）．
20．【解答】解：（1）在△ABC中，AB＝200米，AC＝160米，BC＝120米，
∵AC2+BC2＝1602+1202＝40000，AB2＝2002＝40000，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，
∴∠ACB＝90°；
（2）当CD⊥AB时，铺设水管的长度最小，
∵△ABC的面积＝AB•CD＝AC•BC，
∴AB•CD＝AC•BC，
∴200CD＝120×160，
解得：CD＝96，
∴铺设水管的最小长度为96米．
21．【解答】解：（1）由条件可知：2a﹣3＝3，
解得：a＝3，
∴a+6＝9，
∴P（3，9）；
（2）∵PM∥x轴，点M的坐标为（b+1，4），
∴a+6＝4，
∴a＝﹣2，
∴P（﹣7，4），
∵PM＝5，
∴|﹣7﹣（b+1）|＝5，
∴b＝﹣3或﹣13；
（3）由条件可知：|2a﹣3|＝|a+6|，且2a﹣3＜0，a+6＞0，
∴2a﹣3+a+6＝0，
∴a＝﹣1，
∴原式＝（﹣1）2024+2024＝2025．
五、解答题（三）（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分．）
22．【解答】解：（1）的有理化因式是，+2的有理化因式为﹣2；
故答案为，﹣2；
（2）＝＝；
（3）∵＝＝+，
＝＝2+，
而2+＞+
∴＜，
∵﹣＞0，2﹣＞0，
∴﹣＞2﹣．
23．【解答】解：（1）∵AG＝3+2＝5，GD＝12，
∴AD＝，
∴的最小值是13，
故答案为：13；
（2）如图3，AC＝4，DF＝2，CF＝10，
∴AG＝4+2＝6，GD＝10，
∴AD＝，
∴的最小值是；
（3）如图4，构造△ABC，CD⊥AB于D，AC＝3，BC＝4，
设CD＝x，则AD＝，BD＝，
∴AB＝，
∵32+42＝52，
∴∠ACB＝90°，
∴，
∴x＝2.4，
另外，x＝﹣2.4也满足方程，
∴方程的解是x＝±2.4．