2024-2025学年福建省福州市福九联盟高二上学期期中联考数学试题(含答案）

这是一份2024-2025学年福建省福州市福九联盟高二上学期期中联考数学试题(含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知两直线l1:x−2y+3=0与直线l2:3x+my−1=0平行，则m=( )
A. −6B. 6C. 32D. −32
2.在空间直角坐标系中，点(−2,1,4)关于y轴对称的点坐标是( )
A. (−2,1,−4)B. (2,1,−4)C. (−2,−1,−4)D. (2,−1,4)
3.过点P(1,2)的直线l与圆O：x2+y2=16交于A,B两点，当弦AB最短时，直线l的方程为( )
A. x+2y−5=0B. 2x−y=0C. x−2y+3=0D. 2x+y−4=0
4.已知椭圆x240+y2m−1=1的焦距为6，则m的值是( )
A. 5B. 32C. 5或77D. 32或50
5.若直线l1:y=kx−k+1与直线l2关于直线l:x−y+1=0对称，则直线l2一定过定点( )
A. (2,0)B. (0,−2)C. (0,2)D. (−2,0)
6.已知实数x,y满足x2+y2−6x+5=0，则yx+1的取值范围为( )
A. [− 3, 3]B. − 33, 33
C. −∞,− 33∪ 33,+∞D. (−∞,− 3］⋃ 3,+∞
7.如图，在圆锥SO中，AB是底面圆O的直径，SO=AB=4，AC=BC，D为SO的中点，N为AD的中点，则点N到平面SBC的距离为( )
A. 43B. 1C. 53D. 2
8.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2，过F2的直线与椭圆C交于M,N两点，若SΔF1MN=3SΔF1F2M且∠F1NF2=∠F1F2N，则椭圆C的离心率为( )
A. 12B. 22C. 35D. 13
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法中，正确的有( )
A. 点斜式y−y1=k(x−x1)可以表示任何直线
B. 直线y=4x−2在x轴上的截距为12
C. 直线2x−y+1=0关于点(1,1)对称的直线方程是2x−y−3=0
D. 过点A(2,4)且在两坐标轴上截距相等的直线方程是x+y−6=0
10.已知圆O：x2+y2=1和圆C：(x−3)2+(y−4)2=r2(r>0)，则( )
A. 若两圆相交，则r∈(4,6)
B. 直线x=−1可能是两圆的公切线
C. 两圆公共弦长的最大值为2
D. 两圆公共弦所在的直线方程可以是3x+4y−11=0
11.已知正方体ABCD−A1B1C1D1棱长为2，P为平面ADD1A1内一点，E为B1C1中点．下列论述正确的是( )
A. 若AP=34AD1，则EP⊥BC1
B. 若AP=12AD1，则B1到直线BP的距离为 303
C. 若AP=tAD+12AA1(t∈[0,1])，则有且仅有一个点P，使得B1D⊥平面BA1P
D. 若AP=λAD1(λ∈[0,1])，则平面B1CP与底面ABCD所成角正弦值的取值范围为[ 22, 63]
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量a=2,4,5,b=4,x,y分别是平面α,β的法向量，若α∕∕β，则x+y=_______________
13.平面内点P满足｜PF1|+|PF2|=8，其中F1(2,0)，F2(−2,0)，且PF1⋅PF2=8，则ΔPF1F2的面积为____．
14.在直角坐标平面内，Px1,y1，Qx2,y2， (x1−x2)2+(y1−y2)2是P，Q两点的直线距离，定义：｜x1−x2|+|y1−y2|叫做P，Q两点的“城市街区距离”。已知A是圆x2+y2=4上一点，B是直线x+2y−6=0上一点，则A，B两点的直线距离最小值是 ，A，B两点的“城市街区距离”最小值是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
在▵ABC中，已知B(−4,0)，AB边上的中线CD所在直线方程是x+2y−1=0，BC边的高线AE所在直线方程是7x−y−12=0．
(1)求点C的坐标；(2)判断▵ABC的形状．
16.(本小题15分)
在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，E 在A1A上且A1E=13A1A，F 为CD的中点，∠B1BC=∠B1BA=π3，∠CBA=π2，|AB|=|BC|=4，BB1=3，记BC=a，BA=b，BB1=c．
(1)用a，b，c表示EF；
(2)求异面直线AB与EF所成角的余弦值．
17.(本小题15分)
如图，某海面上有O,A,B三个小岛(面积大小忽略不计)，A岛在O岛的北偏东45∘方向距O岛30 2千米处，B岛在O岛的正东方向距O岛20千米处．以O为坐标原点，O的正东方向为x轴的正方向，1千米为单位长度，建立平面直角坐标系，圆C经过O,A,B三点．
(1)求圆C的方程；
(2)若圆C区域内有暗礁，现有一船D在O岛的北偏西45∘方向距O岛20 2千米处，正沿着北偏东30∘方向行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？
18.(本小题17分)
如图，四边形ABCD与BDEF均为菱形，∠DAB=∠DBF=60∘，AB=2，FA=FC。
(1)求证：AC⊥平面BDEF；
(2)P为线段DE上的动点，求FP与平面ABF所成角正弦值的最大值；
(3)设EF中点为K，G为四边形ABCD内的动点(含边界)且GK=CF，求动点G的轨迹长度．
19.(本小题17分)
已知椭圆X2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12，左、右焦点分别为F1、F2，P是椭圆上任一点，▵PF1F2的面积的最大值为 3．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)四边形ABCD 的 顶点在椭圆上，且对角线AC、BD过原点O，设A(x1,y1),B(x2,y2)，
①若3x1x2=4y1y2，求证：直线AB和直线BC的斜率之和为定值；
②若OA⋅OB=0，求四边形ABCD周长的取值范围．
参考答案
1.A
2.B
3.A
4.D
5.C
6.B
7.C
8.D
9.BC
10.ABC
11.ABD
12.18
13.4 3
14.6 55−2；3− 5
15.解：(1)∵kAE=7，∴kBC=−17，
所以直线BC方程是y=−17(x+4)，化简得x+7y+4=0，
联立x+7y+4=0x+2y−1=0，解得x=3y=−1，
所以C(3,−1)；
(2)设A(a,b)，则D(a−42,b2)，代入CD方程得a+2b−6=0，
联立方程a+2b−6=07a−b−12=0，解得a=2，b=2，所以A(2,2)，
∵kAB=13，kAC=−3，∴kAB⋅kAC=−1，
所以AB⊥AC，所以△ABC是直角三角形．
16.解：(1)EF=EA1+A1D1+D1D+DF
=13BB1+BC−BB1−12BA
=BC−12BA−23BB1
=a−12b−23c;
(2)由(1)可知EF=a−12b−23c
∴BA⋅EF=b⋅(a−12b−23c)
=b⋅a−12b2−23b⋅c
=4×4×csπ2−12×42−23×4×3×csπ3
=0−8−4=−12
∴EF2=|EF|2=(a−12b−23c)2
=a2+14b2+49c2−2×12×a⋅b−2×23×c⋅a+2×23×12c⋅b
=16+14×16+49×9−2×12×4×4×csπ2−2×23×3×4×csπ3+2×23×12×3×4×csπ3
=16+4+4−0−8+4=20
∴|EF|=2 5
设BA与EF所成角为θ(00)，
代入O(0,0)，A(30,30)，B(20,0)，解得D=−20，E=−40，F=0，
所以圆C的方程为：x2+y2−20x−40y=0即(x−10)2+(y−20)2=500．
(2)该船初始位置为点D，则D(−20,20)，且该船航线所在直线l的斜率为 3，
故该船航行方向为直线l:y−20= 3(x+20)，即l: 3x−y+20+20 3=0，
由于圆心C到直线l的距离d=|10 3−20+20+20 3| ( 3)2+12=15 3>10 5，
故该船没有触礁危险．
18.解：(1)设AC与BD相交于点O，连接FO，
∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，且O为AC中点，
∵FA=FC，∴AC⊥FO，
又FO∩BD=O，FO，BD⊂平面BDEF，∴AC⊥平面BDEF
(2)连接DF，∵四边形BDEF为菱形，且∠DBF=60∘，∴△DBF为等边三角形，
∵O为BD中点，∴FO⊥BD，又AC⊥FO，
又AC∩BD=O，AC，BD⊂平面ABCD
∴FO⊥平面ABCD
∵OA，OB，OF两两垂直，
∴建立空间直角坐标系O−xyz，如图所示，
∵AB=2，四边形ABCD为菱形，∠DAB=600，
∴BD=2，AC=2 3，
∵ΔDBF为等边三角形，∴OF= 3，
∴A( 3,0,0)，B(0,1,0)，C(− 3,0,0)，D(0,−1,0)，
E(0,−2, 3)，F(0,0, 3)，∴AB=(− 3,1,0)，AF=(− 3,0, 3)，
设平面ABF法向量为n=(x,y,z)，
则AB⋅n=− 3x+y=0AF⋅n=− 3x+y=0取x=1得n=(1, 3,1)
∵p为线段DE上的动点，设EP=λED，FE=(0,−2,0)，ED=(0,1,− 3)
∴FP=FE+EP=FE+λED=(0,−2,0)+λ(0,1,− 3)=(0,λ−2,− 3λ)
设FP与平面ABF所成角为θ
sinθ=|FP⋅n|FPn= 3λ−2− 3λ (λ−2)2+(− 3λ)2· 5=2 3 4λ2−4λ+4 5= 3 (λ−12)2+34 5
当λ=12时，sinθ取最大值为2 55．
(3)∵K为EF中点，∴K(0,−1, 3)，设G(x,y,0)，
则KG=(x,y+1,− 3)，CF=( 3,0, 3)，
∵GK=CF，∴|KG|=|CF|即 x2+(y+1)2+(− 3)2= ( 3)2+( 3)2
化简得x2+(y+1)2=3，
故动点G的轨迹为心D为圆心， 3为半径的圆在四边形ABCD内部部分即圆心角为1200的圆弧
∴所求轨迹长度为2π3 3=2 33π．
19.解：(1)由题意e=ca=12，2ab=4 3，
又a2=b2+c2，解得a=2，b= 3
所以椭圆的标准方程为x24+y23=1．
(2) ①如图所示显然直线AB斜率存在，设AB方程为y=kx+m.设A(x1,y1)，B(x2,y2).
联立x24+y23=1y=kx+m，消去y整理得，(3+4k2)x2+8kmx+4m2−12=0，
则Δ=64k2m2−4(3+4k2)(4m2−12)=48(4k2−m2+3)．
由韦达定理，得x1+x2=−8kn3+4k2x1x2=4m2−123+4k2
y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=−12k2+3m23+4k3
∵3x1x2=4y1y2，
∴4m2−123+4k2=−12k2+3m23+4k2，解得4k2−3=0，
又∵kBC=y2+y1x2+x1=k+2mx2+x1=−34k．kAB+kBC=k−34k=4k2−34k=0，
所以直线AB和直线BC的斜率之和为定值0．
②若直线AB斜率不存在，则设A(x0,y0)，则B(x0,−y0)，因为OA⋅OB=0，所以|x0|=|y0|，
所以x024+y023=1，所以|y0|=2 217.所以|AB|=2|y0|=4 217．
若直线AB斜率存在，设AB方程为y=kx+m.于是 OA⋅OB=x1x2+y1y2=(k2+1)x1x2+km(x1+x2)+m2=(k2+1)4m2−123+4k2−km8kn3+4k2+m2=0，化简得7m2=12k2+12．
故|AB|= k2+1|x1−x2|= k2+1 48(4k2−m2+3)3+4k2=4 217 (k2+1)(16k2+9)(3+4k2)2．
令3+4k2=t(t≥3)，则k2+1=t+14，16k2+9=4t−3．
所以AB=4 217 (t+1)(4t−3)4t2=2 217 4+1t−3t2=2 217 −3(1t−16)2+4912．
因为1t∈(0,13)，所以当1t=13时，ABmin=4 217.当1t=16时，ABmax= 7，
综上，|AB|的取值范围为[4 217, 7].
四边形ABCD周长的取值范围是[16 217,4 7].