2024-2025学年浙江省“衢州五校联盟”高一第一学期期中联考数学试题（含答案）

这是一份2024-2025学年浙江省“衢州五校联盟”高一第一学期期中联考数学试题（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若集合P=0,1，则集合M=AA⊆P可用列举法表示为( )
A. 0,1B. ⌀,0,1
C. ⌀,0,1D. ⌀,0,1,0,1
2.对于实数x，则“x<1”是“x2<1”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
3.已知幂函数fx=(m2−3m+3)x m−1为偶函数，则( )
A. m=1B. m=2C. m=1或m=2D. m不存在
4.函数y= 4−x2x的定义域是( )
A. −2,2B. −2,2C. −2,0∪0,2D. −4,0∪0,4
5.设函数fx=12xx−a在区间0,1上单调递增，则a的取值范围是( )
A. −2,0B. −∞,0C. 0,2D. 2,+∞
6.若x⩽2，则函数f(x)=12x+1+45−2x的最小值为( )
A. 215B. 32C. 53D. 12
7.我们知道，函数y=f(x)的图象关于直线x=a成轴对称图形的充要条件是函数y=f(x+a)为偶函数．已知函数fx=x+x−2+1，则下列函数中，关于x=2对称的是( )
A. fx−1−1B. fx−1C. fx+1−1D. fx+2−1
8.若a,b∈R且|a−1|>|b−1|，则下列不等式恒成立的是( )
A. a>bB. a0D. a+b−2a−b<0
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列选项中正确的是( )
A. 1.92.4>1.93.1B. 1332<3−43C. 1.10.3>0.93.1D. 453<9103
10.若关于x的不等式x2−5ax+2a2<0a<0的解集为xx1A. x1x2+x1+x2<0的解集为a−52B. x1x2−x1−x2的最小值为−258
C. ax1x2+x1+x2的最大值为− 10
D. ax1x2+x1+x2的最小值为 10
11.定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0有两个不同的实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，则称这样的方程为“和谐方程”.下列命题正确的是( )
A. 方程x2+x−2=0是“和谐方程”
B. 若关于x的方程x2+ax+8=0是“和谐方程”，则a=±6
C. 若关于x的方程ax2−3ax+c=0a≠0是“和谐方程”，则y=ax2+3ax+c的函数图象与x轴交点的坐标是−1,0和−2,0
D. 若点m,n在反比例函数y=4x的图象上，则关于x的方程mx2+3 2x+n=0是“和谐方程”
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.命题“∀x∈R，x+lg2>0”的否定是_________________．
13.4lg23+2 223−−e0+3225=___________．
14.已知函数fx=−2x2−4x+1,x≤0,−3−x+2,x>0.关于x的方程f2x−m+2 2fx+2 2m=0恰有2个不同的解，则实数m的取值范围是________________．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知集合A=xx2+x−12≤0，B=x3x+1≤1．
(1)判断 2是否为集合B中的元素，并说明理由；
(2)若全集U=R，求A∩B，A∪(∁UB)．
16.(本小题12分)
已知函数fx=x2−2ax−3
(1)若ff−1=−3，求a的值；
(2)若对任意x∈2,5，不等式fx<0恒成立，求a的取值范围．
17.(本小题12分)
某市为迎接国庆游客，出台了一系列政策.已知该市最多能容纳游客35万人，每万名游客平均可创造160万元的经济效益.已知该市维持旅游市场的成本分为固定成本和流动成本两部分，其中固定成本为300万元/年，每接待x万名游客需要投入的流动成本为fx(单位：万元)，
当游客人数不超过14万人时，fx=2003x2−1040x+3850；
当游客人数超过14万人时，fx=170x+4000x−1900．
(1)写出该市旅游净收入g(x)(万元)关于游客人数x(万人)的函数解析式；(注：旅游净收入=旅游收入−固定成本−流动成本)；
(2)当游客人数达到多少万人时，该市的旅游净收入能达到最大？
18.(本小题12分)
已知函数f(x)=1−a⋅ex1+ex为奇函数．
(1)求a的值；
(2)判断并证明f(x)=1−a⋅ex1+ex的单调性；
(3)若存在实数t，使得f(t2−2t)+f(3t2−m)>0成立，求m的取值范围．
19.(本小题12分)
设x∈R，用x表示不超过x的最大整数，则y=x称为取整函数，例如，−3.5=−4，2.1=2.取整函数是德国数学家高斯最先使用的，所以也称高斯函数．该函数具有以下性质：
①y=x的定义域为R，值域为Z；
②任意实数都能表示成整数部分和纯小数部分之和，即x=x+x(0≤{x}<1)，其中x为x的整数部分，x=x−x为x的小数部分．
(1)若x∈1,4，求关于x的方程x−3x=12的解；
(2)求关于x的不等式x−2x<72的解集；
(3)若对于任意的x∈1,3，不等式4x2−2ax+4−a≥0恒成立，求a的取值范围．
参考答案
1.D
2.B
3.A
4.C
5.D
6.B
7.A
8.C
9.BCD
10.AC
11.BCD
12.∃x∈R，x+lg 2⩽0
13.14
14.m>3或m=2 2
15.解：(1) 2不是集合B中的元素，
∵B={x|3x+1≤1}={x|x−2x+1≥0}={x|x<−1或x≥2}，∴ 2∉B；
(2)∵A={x|x2+x−12≤0}={x|(x−3)(x+4)≤0}={x|−4≤x≤3}，
∴A∩B=[−4,1]∪[2,3]，
又∵∁UB=[−1,2)⊆A，
∴A∪(∁UB)=[−4,3]．
16.解：(1)∵f(−1)= 2a−2，
∴f(f(−1))=f(2a−2)=1−4a，
∴1−4a=−3，∴a=1．
(2)若对任意x∈[2,5]，f(x)<0恒成立，
即对任意x∈[2,5]，x2−2ax−3<0恒成立，
即x2−3<2ax，即x2−32x∵y=x2−32x在[2,5]上单调递增，
所以当x=5时，y=x2−32x在[2,5]上的最大值为115，
由对任意x∈2,5，不等式fx<0恒成立，
得y=x2−32x在[2,5]上最大值小于a，
∴a>115．
17.解：(1)根据题意得，当0≤x≤14时，g(x)=160x−300−2003x2+1040x−3850=−2003x2+1200x−4150，
当14故g(x)=−2003x2+1200x−4150,0≤x≤14,1600−10x−4000x,14(2)当0≤x≤14时，g(x)=−2003x2+1200x−4150=−2003(x−9)2+1250，
且当0≤x≤9时，g(x)单调递增，当9当14因为1250>1200，故当x=9时，g(x)取得最大值1250，
即为使该市旅游净收入达到最大，游客人数应为9万人．
18.解：(1)由函数f(x)=1−a⋅ex1+ex为奇函数，其定义域为R，
所以f(0)=0，即f(0)=1−a·e01+e0=0，解得a=1，
此时f(x)=1−ex1+ex，满足f(−x)=1−e−x1+e−x=ex−11+ex=−f(x)，即f(x)为奇函数，
故a的值为1．
(2)减函数，证明如下：由(1)知f(x)=1−ex1+ex=−1+21+ex，
∀x1，x2∈R，且x1则f(x1)−f(x2)=21+ex1−21+ex2=2ex2−ex1(1+ex1)(1+ex2)，
因为x10，1+ex1>0，1+ex2>0，
所以f(x1)−f(x2)>0，即函数f(x)在R上单调递减，
即f(x)为R上的减函数．
(3)由f(t2−2t)+f(3t2−m)>0，则f(t2−2t)>−f(3t2−m)，
又因为f(x)为奇函数，所以f(t2−2t)>−f(3t2−m)=f(m−3t2)，
又由(2)知函数f(x)在R上单调递减，所以t2−2t因为存在实数t，使得4t2−2t−m<0成立，所以Δ=4+16m>0，解得k>−14，
所以k的取值范围为(−14,+∞).
19.解：(1) ①x∈[1,2)，此时[x]=1，{x}= x−1，
则方程可化为1−3(x−1)=12，解得x=76∈[1,2)，符合题意；
②x∈[2,3)，此时[x]=2，{x}=x−2，
则方程可化为2−3(x−2)=12，解得x=52∈[2,3)，符合题意；
③x∈[3,4)，此时[x]=3，{x}=x−3，
则方程可化为3−3(x−3)=12，解得x=236∈[3,4)，符合题意，
综上所述，关于x的方程[x]−3{x}=12的解为x=76或x=52或x=236．
(2) ①x∈(−∞,4)，此时[x]≤3，−{x}≤0，
∴[x]−2{x}≤3<72，此时不等式恒成立；
②x∈[4,5)，此时[x]=4，{x}=x−4，
则不等式可化为4−2(x−4)<72，解得x∈(174,+∞)，
又∵x∈[4,5)，∴x∈(174,5)，
③x∈[5,6)，此时[x]=5，{x}=x−5，
则不等式可化为5−2(x−5)<72，解得x∈(234,+∞)，
又∵x∈[5,6)，∴x∈(234,6);
④x∈(6,+∞)，此时[x]≥6，−{x}≥−1，
∴[x]−2{x}≥4>72，此时不等式无解，
综上所述，关于x的不等式[x]−2{x}<72的解集为(−∞,4)∪(174,5)∪(234,6)；
(3) ①x∈[1,2)，此时{x}=x−1，则不等式可化为4x2−2a(x−1)+4−a≥0，
整理得：a≤4x2+42x−1=(2x−1)2+2(2x−1)+52x−1=2x−1+52x−1+2在[1,2)上恒成立，
设f(x)=2x−1+52x−1+2，则a≤f(x)min，
又∵(2x−1)∈[1,3)，∴f(x)≥2 (2x−1)⋅52x−1+2=2 5+2，
当且仅当x= 5+12时等号成立，
f(x)min=2 5+2，∴a≤2 5+2．
②x∈[2,3)，此时{x}=x−2，
则不等式可化为4x2−2a(x−2)+4−a≥0，
整理得：a≤4x2+42x−3=(2x−3)2+6(2x−3)+132x−3=2x−3+132x−3+6在[2,3)上恒成立，
设g(x)=2x−3+132x−3+6，
又∵(2x−3)∈[1,3)，∴2x−3< 13，
∴g(x)在[2,3)上单调递减，
g(x)>g(3)=403，∴a≤403．
又∵2 5+2<403，
∴综上所述，a≤2 5+2．