2024~2025学年浙江省衢州市五校联盟高一(上)期中联考数学试卷(解析版)

这是一份2024~2025学年浙江省衢州市五校联盟高一(上)期中联考数学试卷(解析版)，共13页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 若集合，则集合可用列举法表示为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】因为，则，所以.
故选：D.
2. 设，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】，故x<1是的必要不充分条件.
故选：B.
3. 已知幂函数为偶函数，则（ ）
A. B.
C. 或D. 不存在
【答案】A
【解析】由是幂函数，得，解得或，
当时，是偶函数，符合题意；
当时，是奇函数，不符合题意，所以.
故选：A.
4. 函数的定义域是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由题意得，解得且，
所以函数的定义域为.
故选：C.
5. 设函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】根据题意可知是由指数函数和二次函数复合而成的，
由复合函数单调性可得只需使函数在区间上单调递减即可，
易知函数关于对称，所以可得，即；
即的取值范围是.
故选：D.
6. 若，则函数的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】若，则，则，，
且，
所以，
，
当且仅当时，即当时，等号成立.
因此，当时，函数的最小值为.
故选：B.
7. 我们知道，函数的图象关于直线成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数．已知函数，则下列函数中，关于对称的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】若函数关于对称，则函数为偶函数，
即，
对于A，令，
则，
又，
因此可得，则的图象关于对称，故A正确；
对于B，令，则，
又，
则，故的图象不关于对称，故B错误；
对于C，令，
则，
又，
则，故的图象不关于对称，故C错误；
对于D，令，
则，
，
则，故的图象不关于对称，故D错误.
故选：A.
8. 若且，则下列不等式恒成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由可得，
对于A，当，则，故错误；
对于B，当，则，故错误；
对于C，，故C正确；
对于D，，故D错误.
故选：C.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列选项中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】对于A选项，因为函数为上的增函数，则，A错；
对于B选项，因为函数为上增函数，则，B对；
对于C选项，因为函数为上的增函数，函数为上的减函数，
所以，，C对；
对于D选项，因为函数在上为增函数，则，D对.
故选：BCD.
10. 若关于的不等式的解集为，则（ ）
A. 的解集为
B. 的最小值为
C. 的最大值为
D. 的最小值为
【答案】AC
【解析】由题可得是方程的两个根，
，
对于A，不等式化为，解得，故A正确；
对于B，，令，
又，则在单调递减，则，即，
没有最小值，故B错误；
对于C，D，，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最大值为，没有最小值，故C正确，D错误.
故选：AC.
11. 定义：如果关于一元二次方程有两个不同的实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，则称这样的方程为“和谐方程”．下列命题正确的是（ ）
A. 方程是“和谐方程”
B. 若关于的方程是“和谐方程”，则
C. 若关于的方程是“和谐方程”，则的函数图象与轴交点的坐标是和
D. 若点在反比例函数的图象上，则关于的方程是“和谐方程”
【答案】BCD
【解析】由，则方程的两根为，
又，则方程不是“和谐方程”，故A错误；
若关于的方程是“和谐方程”，设，
又，，解得，或，
，故B正确；
若关于的方程是“和谐方程”，设，
又，，，则，即，
又，解得方程的两根为，
即的函数图象与轴交点的坐标是和，故C正确；
点在反比例函数的图象上，，，
则关于的方程
，
解得方程的两根为，又，
即关于的方程是“和谐方程”，故D正确.
故选：BCD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 命题“，”的否定是______．
【答案】，
【解析】因为全称量词命题否定是特称（存在）量词命题，
所以命题“，”的否定是“，”，
13. ______．
【答案】
【解析】
.
14. 已知函数，关于的方程恰有2个不同的解，则实数的取值范围是______．
【答案】
【解析】画出函数的图象，如图，
由，
即，即或，
因为关于的方程恰有2个不同的解，
结合图象可知，时有2个不同的解，
所以无解或，则或，
即实数的取值范围是.
四、解答题：共77分．解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知集合，．
（1）判断是否为集合中的元素，并说明理由；
（2）若全集，求，．
解：（1）不是集合中的元素，理由如下：
由可得，解得或，
所以，或，因此，.
（2）且，
所以，或，
又因为，故.
16. 已知函数．
（1）若，求的值；
（2）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围．
解：（1），，
，．
（2）若对任意，恒成立，
即对任意，恒成立，即，
即，，
在上单调递增，时，，
则在上最大值小于，．
17. 某市为迎接国庆游客，出台了一系列政策.已知该市最多能容纳游客35万人，每万名游客平均可创造160万元的经济效益.已知该市维持旅游市场的成本分为固定成本和流动成本两部分，其中固定成本为300万元/年，每接待万名游客需要投入的流动成本为（单位：万元），
当游客人数不超过14万人时，；
当游客人数超过14万人时，．
（1）写出该市旅游净收入（万元）关于游客人数（万人）的函数解析式；（注：旅游净收入旅游收入固定成本流动成本）；
（2）当游客人数达到多少万人时，该市的旅游净收入能达到最大？
解：（1）根据题意得，
当时，，
当时，，
故.
（2）当时，，
且当时，在单调递增，当时，在单调递减，
此时．
当时，，
当且仅当时，等号成立．
因为，故当时，取得最大值1250，
即为使该市旅游净收入达到最大，游客人数应为9万人．
18. 已知函数为奇函数．
（1）求的值；
（2）判断并证明的单调性；
（3）若存在实数，使得成立，求的取值范围．
解：（1）由函数为奇函数，其定义域为，所以，
即，解得，此时，
满足，即为奇函数，故的值为．
（2）在上单调递减，证明如下：由（1）知，
，且，则，
因为，所以，，，
所以，即函数在上单调递减，即为上的减函数．
（3）由，则，
又因为为奇函数，所以，
又由（2）知函数在上单调递减，
所以，因为存在实数，使得成立，
所以，解得．
所以的取值范围为．
19. 设，用x表示不超过的最大整数，则y=x称为取整函数，例如，，．取整函数是德国数学家高斯最先使用的，所以也称高斯函数．该函数具有以下性质：
①y=x的定义域为，值域为；
②任意实数都能表示成整数部分和纯小数部分之和，即x=x+x0≤x<1，其中x为的整数部分，x=x-x为的小数部分．
（1）若，求关于的方程的解；
（2）求关于的不等式的解集；
（3）若对于任意的，不等式恒成立，求的取值范围．
解：（1）①，此时，，
则方程可化为，解得，符合题意．
②，此时，，
则方程可化为，解得，符合题意．
③，此时，，
则方程可化为，解得，符合题意．
综上所述，若，关于的方程的解为或或．
（2）①，此时，，，此时不等式恒成立．
②，此时，，则不等式可化为，
解得，又，．
③，此时，，则不等式可化，
解得，又，．
④，此时，，，此时不等式无解．
综上所述，关于的不等式的解集为．
（3）①，此时，则不等式可化为，
整理得：在上恒成立，
设，则，又，
，当且仅当时等号成立，
，．
②，此时，则不等式可化为，
整理得：在上恒成立，
设，，
令，， 则，
，且，
则，
又，则，，，
，故在上单调递减．
即在上单调递减．
，．又，
综上所述，．