经典奥数-还原问题4种类型精讲精练-小升初奥数应用题讲义-A4

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还原法是指题目中只交代了发展过程和最后结果，要求最初状态的一类应用题。这既是重要的数学思想方法，也是培养我们数学思维必不可少的方面。
有些分数应用题如果按常理去解决,很可能陷入困境；若改变思路,换个角度，从结果入手,可能会“柳暗花明又一村”。这种逆向思维解题的方法叫还原法。
运用还原法解应用题,常选择画线段图或列表来弄清数量之间的关系。还原问题一般具有以下的特点:
(1)已知具体数量的最后结果,一般把原来总数看成单位“1”;
(2)每次的变化都以上一次的剩余为基准数进行变化;
(3)一般是求原来的总数。
本章内容主要学习以下三种常用的解题方法及对应策略:
(1)符号还原:有明显的四则运算关系,可以用流程图表示题；
(2)线段图还原:常用于同一个量在原来基础上进行增加或减少的变化;
(3)表格还原:常用于多个总量之间相互交换。
有一位老人说：“把我的年龄加上17用4除，再减去15后用10乘。恰巧是100岁。”这位老人今年多少岁？
【解析】画出流程图
（100÷10+15）×4-17=83（岁）
答：这位老人今年83岁。
亮亮的爷爷今年的年龄减去15岁后，缩小4倍，再减去6之后，乘以10，恰好还100岁。亮亮的爷爷今年多少岁？（符号还原）
一本童话，小张第一天看了全书的13，第二天看了余下的25，还剩下60页，这本书共有多少页？（二次还原）
【解析】我们把线段图与倒推法结合起来，先画出线段图。
①从图中可以看出，“剩下60页”占余下的1－25＝35。
②第一天看后还剩下60÷35＝100（页）；
③又因为第一天看了全书的 EQ \F(1,3) ，那么这100页就占全书的1－13＝ EQ \F(2,3) ，所以这本书共有100÷23＝150（页）。
48÷（1－25）÷（1－13）
＝100÷23
=150（页）
答：这本书共有150页。
1．把一堆苹果分给四个人，甲拿走了其中的16，乙拿走了余下的25，丙拿走这时所剩的34，丁拿走最后剩下的15个，这堆苹果共有多少个？（三次还原）
修一段公路，第一天修了全路的12还多2千米，第二天修了余下的13少1千米，第三天修了余下的14还多1千米，这样还剩下20千米没有修完。这条公路的全长多少千米？（多加少减型还原问题）
【解析】画出线段图，根据结果倒推，分别求出第二天修后余下的、第一天修后余下的、最后求出全长。
①“第三天修了余下的14还多1千米，这样还剩下20千米没有修完。”如果刚好修了余下的14，则就会剩下20+1=21千米没有修完；
②这21千米正好相当于第二天修后占余下的1-14=34；第二天修后余下的公路长度为
21÷34=28（千米）
③同理“第二天修了余下的13少1千米，还剩下28千米没有修完。”如果刚好修了余下的13，则就会剩下28-1=27千米没有修完；
④这27千米正好相当于第一天修后占余下的1-13=23；第一天修后余下的公路长度为
27÷23=40.5（千米）
⑤有同理“第一天修了全路的12还多2千米，还剩下40.5千米没有修完。” 如果刚好修了全路的12，则就会剩下40.5+2=42.5千米没有修完；
⑥这42.5千米正好相当于全路的1-12=12；第一天修后还余下全路的12。全路
42.5÷12=85（千米）
详解：
（20+1）÷（1-14）=28（千米）
（28-1）÷（1-13）=40.5（千米）
（40.5+2）÷（1-12）=85（千米）
答：该段公路全长85千米。
有一堆西瓜，第一次卖出总个数的14又6个，第二次卖出余下的13又4个，第三次卖出余下的12又3个，正好买完，问:这堆西瓜原来有多少个?
有甲、乙两桶油。从甲桶中倒出13给乙桶，又从乙桶中倒出15给甲桶，这时两桶中各有24千克。原来各桶有油多少千克？（列表还原问题）
【解析】最后的结果是都有24千克，也就是乙倒出15之后，还剩下24千克，那么没有倒出时呢？列表如下：（单位：千克）
答：原来甲有27千克，乙有21千克。
有甲、乙、丙、丁四桶酒，先把乙中的12并人甲，再把丙中的13并人乙，最后把丁中的14并人丙,这时四桶酒都是30升。求每桶原来各装酒多少升。
（测试时间：50分钟）
【经典测试1】一位旅行者看到牧羊人在放牧，问他:“这群羊有多少只?”牧羊人回答:“我把这群羊的只数减去7，除以5，再加上8，乘4，正好是100”。这群羊有多少只？
【经典测试2】把一堆苹果分给四个人，甲拿走了其中的15，乙拿走了余下的37，丙拿走这时所剩的34，丁拿走最后剩下的8个，这堆苹果共有多少个？
【经典测试3】一桶油，第一天用去了整桶油的12多4千克，第二天用去了余下的13少6千克，还剩下12千克，原来这桶油有多少千克？
【经典测试4】有三堆橘子，共120个，先从第一堆拿出与第二堆相同个数的橘子放入第二堆，再从第二堆拿出与第三堆相同个数的橘子放入第三堆，最后再从第三堆里拿出与这时第一堆个数相同的橘子放入第一堆。这时，三堆橘子的数量完全相同。原来这三堆橘子各有多少个？
【经典测试5】一种细菌每小时可增长1倍。现有一批这样的细菌，10小时后达到400万个，当它们达到50万个时，经历了多长时间？
【经典测试6】一箱桂元连箱子重10.5千克，卖出一半后，再卖出剩下桂圆的一半，这时连箱子还重3千克。原来箱子和桂圆各有多少千克？
【经典测试7】甲、乙、丙三人共有人民币96元，第一次甲拿出与乙相同的钱数给乙；第二次乙拿出与丙相同的钱数给丙；第三次丙拿出与这时甲相同的钱数给甲。这样，甲、乙、丙三人的钱数相等，原来甲比乙多多少元钱？
【经典测试8】三只猴子分一筐桃，第一只猴子分得全部桃子的27多12个，第二只分到余下的23少4个，第三只分到20个。这筐桃子共有多少个？
【经典测试9】甲、乙两仓库各存粮若干，先将乙仓库中存粮的15 运到甲仓库，再将甲仓 库此时存粮的14运到乙仓库，这时甲仓库有粮食600吨，乙仓库有粮食720吨。 那么，原来甲仓库和乙仓库中各存粮多少吨？
【能力冲浪】参考答案
亮亮的爷爷今年的年龄减去15岁后，缩小4倍，再减去6之后，乘以10，恰好还100岁。亮亮的爷爷今年多少岁？（算式还原）
【解析】利用画流程图方法
（100÷10+6）×4+15=79（岁）
答：亮亮的爷爷今年79岁。
1．把一堆苹果分给四个人，甲拿走了其中的16，乙拿走了余下的25，丙拿走这时所剩的34，丁拿走最后剩下的15个，这堆苹果共有多少个？（三次还原）
【解析】我们把线段图与倒推法结合起来，先画出线段图。
①从图中可以看出，“丁拿走的15个”占乙拿走以后苹果余下的1－34＝14；
②乙拿走后还剩下15÷14＝60（个）；
③又因为乙拿走了余下的25，那么这60个苹果就占甲拿走以后余下苹果的1－25＝35，所以甲拿走以后余下苹果的60÷35＝100（个）；
④甲拿走这堆苹果的14后，那么这100个苹果占这堆苹果的1-16=56；
⑤这堆苹果共有100÷56=120（个）。
15÷（1－34）÷（1－25）÷（1－16）
＝600÷35÷56
=120（个）
答：这堆苹果共有120个。
有一堆西瓜，第一次卖出总个数的14又6个，第二次卖出余下的13又4个，第三次卖出余下的12又3个，正好买完，问:这堆西瓜原来有多少个?
【解析】画出线段图，根据结果倒推，分别求出第二天卖出后余下的、第一天卖出后余下的、最后求出总个数。
3÷（1-12）=6（个）
（6+4）÷（1-13）=15（个）
（15+6）÷（1-14）=28（个）
答：这堆西瓜原有28个。
有甲、乙、丙、丁四桶酒，先把乙中的12并人甲，再把丙中的13并人乙，最后把丁中的14并人丙,这时四桶酒都是30升。求每桶原来各装酒多少升。
【解析】甲、乙、丙、丁最后都有30升,即丁把一给丙后剩下30升。据此可求出丁未给丙以前是多少。（单位：升）
【经典测试】参考答案
【经典测试1】一位旅行者看到牧羊人在放牧，问他:“这群羊有多少只?”牧羊人回答:“我把这群羊的只数减去7，除以5，再加上8，乘4，正好是100”。这群羊有多少只？
【解析】（符号还原）
（100÷4-8）×5+7=92
【经典测试2】把一堆苹果分给四个人，甲拿走了其中的15，乙拿走了余下的37，丙拿走这时所剩的34，丁拿走最后剩下的8个，这堆苹果共有多少个？
【解析】我们把线段图与倒推法结合起来，先画出线段图。
8÷（1-34）÷（1-37）÷（1-15）=70（个）
答：这堆苹果共有70个。
【经典测试3】一桶油，第一天用去了整桶油的12多4千克，第二天用去了余下的13少6千克，还剩下12千克，原来这桶油有多少千克？（多加少减型还原）
【解析】画出线段图，根据结果倒推，分别求出第二天用去后余下的、第一天用去后余下的、最后求出总质量。
（12-6）÷（1-13）=18（千克）
（18+4）÷（1-12）=44（千克）
答：这桶油原有44千克。
【经典测试4】有三堆橘子，共120个，先从第一堆拿出与第二堆相同个数的橘子放入第二堆，再从第二堆拿出与第三堆相同个数的橘子放入第三堆，最后再从第三堆里拿出与这时第一堆个数相同的橘子放入第一堆。这时，三堆橘子的数量完全相同。原来这三堆橘子各有多少个？
【解析】①由于这三堆橘子最后的数量完全相同，我们就可以知道最后每堆橘子的质量是120÷3=40（千克）。根据三次变化后往前推算：
②最后一次是从第三堆里拿出与这时第一堆个数相同的橘子放入第一堆，那么第一堆的个数就要除以2得到前一次的个数，即40÷2=20（个），第三堆在给第一堆之前就有40+20=60（个）；
③从第二堆拿出与第三堆相同个数的橘子放入第三堆，那么第三堆的个数就要除以2得到前一次的个数，即60÷2=30（个），第二堆在给第三堆之前就有40+30=70（个）；
④从第一堆拿出与第二堆相同个数的橘子放入第二堆，那么第二堆的个数就要除以2得到前一次的个数，即70÷2=35（个），第一堆在给第二堆之前就有20+35=55（个）。
⑤我们可以用列表法倒推：
【经典测试5】一种细菌每小时可增长1倍。现有一批这样的细菌，10小时后达到400万个，当它们达到50万个时，经历了多长时间？
【解析】符号还原（单位：万个）
400÷2÷2÷2=50（万个）
10-3=7（小时）
答：经历了三次还原，所以时间为7小时。
【经典测试6】一箱桂元连箱子重10.5千克，卖出一半后，再卖出剩下桂圆的一半，这时连箱子还重3千克。原来箱子和桂圆各有多少千克？
【解析】倒推法
①最后共卖出10.5-3=7.5（千克）
②第一次卖出桂圆的12
③第二次卖出剩下的12，即12×12=14；
④共卖出桂圆的12+14=34；
⑤桂圆总质量7.5÷34=10（千克），箱子10.5-10=0.5（千克）
答：箱子和桂圆分别有10千克、0.5千克。
【经典测试7】甲、乙、丙三人共有人民币96元，第一次甲拿出与乙相同的钱数给乙；第二次乙拿出与丙相同的钱数给丙；第三次丙拿出与这时甲相同的钱数给甲。这样，甲、乙、丙三人的钱数相等，原来甲比乙多多少元钱？
【解析】列表还原。（单位：元）
44-28=16（元）
答：原来甲比乙多16元。
【经典测试8】三只猴子分一筐桃，第一只猴子分得全部桃子的27多12个，第二只分到余下的23少4个，第三只分到20个。这筐桃子共有多少个？
【解析】多加少减型还原问题。
（20-4）÷（1-23）=48（个）
（48+12）÷（1-27）=84（个）
答：这筐桃子共有84个。
【经典测试9】甲、乙两仓库各存粮若干，先将乙仓库中存粮的15 运到甲仓库，再将甲仓 库此时存粮的14运到乙仓库，这时甲仓库有粮食600吨，乙仓库有粮食720吨。 那么，原来甲仓库和乙仓库中各存粮多少吨？
【解析】列表还原。（单位：吨）和不变为：600+720=1320（吨）
答：原来甲、乙两个仓库各有670千克、650千克。
最后
乙未给甲前
甲未给乙前
甲
24
18
18÷（1-13）=27
乙
24
24÷（1-15）=30
21
最后
丁未给丙前
丙未给乙前
乙未给甲前（开始）
甲
30
30
30
10
乙
30
30
20
20÷（1-12）=40
丙
30
20
20÷（1-13）=30
30
丁
30
30÷（1-14）=40
40
30
变动情况
第一堆
第二堆
第三堆
第一堆拿出前
20+35=55
70÷2=35
30
第二堆拿出前
20
40+30=70
60÷2=30
第三堆拿出前
40÷2=20
40
40+20=60
最后结果
40
40
40
变动情况
甲
乙
丙
甲拿出前
16+28=44
56÷2=28
24
乙拿出前
16
32+24=56
48÷2=24
丙拿出前
32÷2=16
32
32+16=48
最后结果
96÷3=32
96÷3=32
96÷3=32
变化情况
甲
乙
乙仓库未给前
1320-650=670
520÷（1-15）=650
甲仓库未给前
600÷（1-14）=800
1320-800=520
最后结果
600
720