2024年重庆市中考数学二模模拟试题（原卷版+解析版）

这是一份2024年重庆市中考数学二模模拟试题（原卷版+解析版），文件包含2024年重庆市中考数学二模模拟试题原卷版docx、2024年重庆市中考数学二模模拟试题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共43页， 欢迎下载使用。
1. 在实数，，1，中，最小的数是（ ）
A. B. C. 1D.
【答案】A
【解析】
【分析】按照实数的大小比较法则进行比较即可找到最小的数．
【详解】∵，
∴最小，
故选：A．
【点睛】本题考查了有理数大小的比较，正数大于零，零大于负数，两个负数，绝对值大的反而小，掌握这些法则是关键．
2. 下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了轴对称图形的识别．熟练掌握：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形是轴对称图形是解题的关键．
根据轴对称图形的定义进行判断即可．
【详解】解：A中是轴对称图形，故不符合要求；
B中不是轴对称图形，故符合要求；
C中是轴对称图形，故不符合要求；
D中是轴对称图形，故不符合要求；
故选：B．
3. 今年某校有2000名学生参加线上学习，为了解这些学生的数学成绩，从中抽取100名考生的数学成绩进行统计分析，以下说法正确的是（ ）
A. 2000名学生是总体B. 每位学生的数学成绩是个体
C. 这100名学生是总体的一个样本D. 100名学生是样本容量
【答案】B
【解析】
【分析】根据总体，个体，样本，样本容量的定义，逐个进行判断即可．
【详解】解：A、2000名学生的数学成绩是总体，故A不正确，不符合题意；
B、每位学生的数学成绩是个体，故B正确，符合题意；
C、这100名学生的数学成绩是总体的一个样本，故C不正确，不符合题意；
D、100是样本容量，故D不正确，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了总体、个体、样本、样本容量，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小，样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位．
4. 下列运算结果正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了合并同类项，同底数幂的乘除法以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
分别根据同底数幂的乘法法则，积的乘方运算法则，同底数幂的乘法法则以及合并同类项法则逐一判断即可．
【详解】解：A、，故本选项不合题意；
B、，正确；
C、，故本选项不合题意；
D、与不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意．
故选：B．
5. 如图，在中，，，，则的值为（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查三角函数，直接根据，求出答案．
【详解】解：∵，，，
∴，
故选：D．
6. 估计的值应在（ ）
A. 与之间B. 和之间C. 和之间D. 和之间
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次根式的混合运算法则进行计算，再估算无理数的大小.
【详解】解：
，
∵，
∴，
∴，
故选：B.
【点睛】此题考查了二次根式的混合运算，无理数的估算，正确掌握二次根式的运算法则、会进行无理数的大小估算是解题的关键.
7. 参加足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共要比赛场，设共有个队参加比赛，则下列方程符合题意的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握每两队之间都进行一场比赛的意义是解题的关键．
【详解】根据题意，得，
故选C．
8. 如图，是的切线，B为切点，连接交于点C，延长交于点D，连接，若，且，则的长是（ ）

A. 1B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由圆周角定理可得，等量代换可得，进而可得，根据切线的定义得出，利用勾股定理求出，则．
【详解】解：如图，连接．

由圆周角定理可得，
，
，
，
，
．
是的切线，
，
．
．
故选：D．
【点睛】本题考查圆周角定理，切线的性质，勾股定理，等腰三角形的判定等，难度不大，解题的关键是先利用圆周角定理得出，进而利用上述知识点逐步求解．
9. 如图，正方形的边长为，点E，F分别在，上，，连接、，与DF相交于点G，连接，取的中点H，连接，则的长为（ ）
A. B. 2C. D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】先证明，可得，进而得到，用勾股定理求得，再由直角三角形性质，即可求解．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵点H是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质等知识，掌握三角形全等的判定方法与正方形的性质是解题的关键．
10. 有依次排列的3个整式：x，，，对任意相邻的两个整式，都用右边的整式减去左边的整式，所得之差写在这两个整式之间，可以产生一个新整式串：x，6，，，，则称它为整式串1；将整式串Ⅰ按上述方式再做一次操作，可以得到整式串2；以此类推．通过实际操作，得出以下结论：
①整式串2为：x，，6，x，，，，，；
②整式串3共17个整式；
③整式串3的所有整式的和比整式串2的所有整式的和小2；
④整式串2024的所有整式的和为；
上述四个结论中正确的个数是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】根据题中所给操作方式，依次求出整式串，发现规律即可解决问题．本题考查整式的加减，能通过整式的加减运算发现整式个数及所有整式和的变化规律是解题的关键．
【详解】解：由题知，
整式串1为：x，6，，，，整式串1的所有整式的和为：；
整式串2：x，，6，x，，，，，，
整式串2的所有整式的和为：；
整式串3为：x，，，，6，，x，6，，，，，，，，，，共17个整式，
整式串3的所有整式的和为：；
故①正确．故②正确．
∵，
∴整式串3的所有整式的和比整式串2的所有整式的和小2，
故③正确；
由上面的发现可知，
整式串1的所有整式的和为：；
整式串2的所有整式的和为：；
整式串3的所有整式的和为：；
整式串4的所有整式的和为：；
…，
所以整式串n的所有整式的和为：，
当时，
故④错误．
故选：C．
二．填空题（共8小题，满分32分，每小题4分）
11. ______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了实数的运算，利用零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值进行计算即可求解，掌握实数的运算法则是解题的关键．
【详解】解：
，
故答案为：．
12. 一个不透明的袋子里装了四个除标号外其余都相同的小球，小球的标号分别为．若一次性随机抽取两个小球，则两个小球的对应标号之和大于的概率为__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查列表法与树状图法，画树状图得出所有等可能的结果数和摸出的两个小球标号之和大于的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【详解】解：画树状图如下：

摸出的两个小球标号之和有：，共种等可能的结果，其中摸出的两个小球标号之和大于的结果有种，
摸出的两个小球标号之和大于的概率为，
故答案为：．
13. 如图，在正五边形ABCDE内，以CD为边作等边，则的数为__________．
【答案】66°##66度
【解析】
【分析】根据等边三角形的性质和多边形的内角和解答即可；
【详解】解：因为△CDF是等边三角形，
所以∠CDF=60°，
因为∠BCD=（5-2）×180°÷5=108°，
所以∠BCF=108°-60°=48°，
因为BC=CF，
所以∠BFC=（180°-48°）÷2=66°．
故答案为：66．
【点睛】此题考查了等边三角形和多边形的内角和，解题的关键是明确等边三角形的每个内角都是60°和多边形的内角和公式．
14. 如图，在直角坐标系中，的顶点C与原点O重合，点A在反比例函数（，）的图象上，点B的坐标为，与y轴平行，若，则_____．
【答案】32
【解析】
【分析】根据求出A点坐标，再代入即可．
【详解】∵点B的坐标为
∴
∵，点C与原点O重合，
∴
∵与y轴平行，
∴A点坐标为
∵A在上
∴，解得
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标性质；得出A点坐标是解题关键．
15. 如图，已知四边形内接于圆，连接、．若为等边三角形，，点、、共线，则阴影部分的面积为__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了垂径定理、锐角三角函数、扇形面积公式等知识，过点作于点，与相交于点，由点共线，可知是的直径，进而得垂径定理，根据是等边三角形，求得的长，分别求出，即可求解．
【详解】解：过点作于点，与相交于点，
点共线，
是的直径，
是等边三角形，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
故答案为．
16. 若关于x的一元一次不等式组至少有4个整数解，且关于y的分式方程的解为非负数，则所有满足条件的整数a的值之和为 _____．
【答案】8
【解析】
【分析】先求出不等式组的解集，根据至少有4个整数解，确定出a的范围，再由分式方程解为非负数，确定出满足题意整数a的值，求出之和即可．
【详解】解：，
解①得，，
解②得，，
∴，
∵不等式组至少有4个整数解，即，0，1，2，
∴，
解得：，
根据分式方程解得：，
∵分式方程解为非负数，
∴且，
解得：且，
∴a的范围是且，
则整数解为，0，2，3，4,
整数a的值之和为．
故答案为：8．
【点睛】此题考查了解一元一次不等式组，分式方程的解，解一元一次不等式，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．
17. 如图，在四边形中，，作平分线交于点，交延长线于点，且，则______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考差了解直角三角形，相似三角形的判定和性质，求一次函数交点坐标．以交点为原点，建立平面直角坐标系，得出，过点N作y轴的垂线，垂足为点E，推出，通过证明，得出，用待定系数法求出的函数解析式为，的函数解析式为，进而求得，根据两点之间的距离公式得出，，即可解答．
【详解】解：以交点为原点，建立平面直角坐标系，
∵，
∴，．
∴，，
∴，
过点N作y轴的垂线，垂足为点E，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵轴，轴，
∴，
∴，
∴，即，
解得：，
∴，
设的函数解析式为，
把代入，
，
解得：，
∴的函数解析式为，
设的函数解析式为，
把，代入，
，
解得：，
∴的函数解析式为，
联立，，
，
解得：，
∴，
∴，，
∴，
故答案为：．
18. 若一个四位正整数的各个数位上的数字均不为0，百位数字的2倍等于千位数字与十位数字的和，个位数字比十位数字大1，则称这样的四位正整数为“吉祥数”．比如2345就是一个“吉祥数”，那么最小的“吉祥数”是__________．若A是一个“吉祥数”，由A的千位数字和百位数字依次组成的两位数与A的十位数字和个位数字依次组成的两位数的和记为，比A的各个数位上的数字之和大2，若为整数，则满足条件中的A的最大值为__________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程的解，整式的加减，根据最大的四位数和最小的四位数的特点，结合题意，依次确定百位数和十位数，进而即可求解．
【详解】解：依题意，一个四位正整数的各个数位上的数字均不为0，
∴最小四位数的千位与百位数字为，
∵百位数字的2倍等于千位数字与十位数字的和，
∴十位数字为，
∵个位数字比十位数字大1，
∴个位数字为，
∴这个数为；
依题意，设
∴，
∵比A的各个数位上的数字之和大2，
∴
∴又∵为整数，
∴能被整除
要使得最大，则，
当时，能被整除
∴
∴，
∴满足条件中的A的最大值为
故答案为：，．
三．解答题（共8小题，满分78分）
19. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了多项式乘以多项式，平方差公式，分式的混合运算；
（1）根据整式的乘法，平方差公式进行进行计算即可求解．
（2）根据分式的混合运算进行计算即可求解．
【详解】解：（1）
；
（2）
20. 如图，是菱形的对角线．
（1）作边的垂直平分线，分别与，交于点E，F，连接、（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）求证：点F在线段的垂直平分线上．
证明：四边形是菱形
，，，
① ，，
，
在和中，
，
，
② ．
垂直平分，
③ ，
点在线段的垂直平分线上（ ④ ）．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据线段垂直平分线的画法作图即可；
（2）由菱形的性质易证，即得出，再根据线段垂直平分线的性质定理和判定定理求证即可．
【小问1详解】
解：如图即为所作；
【小问2详解】
证明：四边形是菱形
，，，
，，
，
在和中，
，
，
．
垂直平分，
，
点在线段的垂直平分线上（到线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）．
故答案为：；；；到线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．
【点睛】本题考查作图—线段垂直平分线，线段垂直平分线的判定定理和性质定理，菱形的性质，三角形全等的判定和性质等知识．掌握尺规基本作图方法和线段垂直平分线的判定定理和其性质定理是解题关键．
21. 新学期开始，学校食堂新上了两道菜取名为“节节高升”和“鸿运当头”，学生事务处从学生对两道菜的喜爱度评分中各随机抽取20个同学的评分，并对数据进行整理、描述和分析（评分分数用x表示，分为四个等级：不喜欢，比较喜欢，喜欢，非常喜欢），下面给出了部分信息：
抽取的对“节节高升”的评分数据：
66，68，75，76，77，78，81，85，86，86，86，89，89，90，91，93，94，95，96，99；
抽取的对“鸿运当头”评分数据中“喜欢”包含的所有数据：
80，85，87，87，87，88．
抽取的对两道菜的评分统计表
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：______，______，______；
（2）根据以上数据，你认为哪一道菜肴更加受学生欢迎？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）若共有600名学生对“节节高升”这道菜进行打分，估计其中对“节节高升”这道菜“比较喜欢”的人数．
【答案】（1），，
（2）我认为“鸿运当头”更加受学生欢迎，理由见解析
（3）人．
【解析】
【分析】此题考查了扇形统计图和统计表、中位数、众数、平均数的统计量，根据题意进行正确求解和分析是解题的关键．
（1）求出“鸿运当头”评分数据中“喜欢”的占比，用1减去已知各项的占比，即可得到c的值，根据题意可知，“鸿运当头”评分数据的中位数为第10个和第个数据的平均数，即可求出a的值，根据抽取的对“节节高升”的评分数据中出现次数最多的是86，即可求出b的值；
（2）根据中位数、“非常喜欢”所占百分比等方面分析即可得到答案；
（3）用总人数乘以抽取的对“节节高升”的评分数据中“比较喜欢”的占比即可得到答案．
【小问1详解】
抽取的对“鸿运当头”评分数据中“喜欢”占比为，
∴抽取的对“鸿运当头”评分数据中“不喜欢”占比为，
∴；
由题意可知抽取的对“鸿运当头”评分数据的中位数位于“喜欢”中包含的数据，“不喜欢”和“比较喜欢”占的数据个数为，“喜欢”包含数据个数为6，且分别为80，85，87，87，87，88．即可知“鸿运当头”评分数据的中位数为第10个和第个数据的平均数，即，
抽取的对“节节高升”的评分数据中出现次数最多的是86，即，
故答案为：，，
【小问2详解】
我认为“鸿运当头”更加受学生欢迎，理由是：“鸿运当头”的评分数据中位数高于“节节高升”的评分数据中位数，“鸿运当头”的评分数据中“非常喜欢”所占百分比高于“节节高升”的评分数据中“非常喜欢”所占百分比；
【小问3详解】
∵抽取的对“节节高升”的评分数据中“比较喜欢”的人数为4人，
则（人），
即估计其中对“节节高升”这道菜“比较喜欢”的人数为人．
22. 酸奶因为含有丰富的蛋白质和微量元素等营养成分，日益受到人们的喜爱，某商店看准了商机，共花费 12000元采购了一批甲种酸奶和乙种酸奶进行销售，两种酸奶的采购费用相同，已知甲种酸奶每件的进价比乙种酸奶每件的进价少10元，且购进甲种酸奶的件数是乙种酸奶件数的倍．
（1）求甲种酸奶和乙种酸奶每件的进价分别是多少?
（2）商店开始销售这批酸奶，已知甲种酸奶的售价为44元/件，一件乙种酸奶的售价比进价多元，商店为了减轻库房压力，在甲种酸奶销售一半后，对剩余的甲种酸奶打a折进行销售，使得甲种酸奶在保质期内全部销售完毕，而乙种酸奶最后剩余10件超过了保质期，只能停止出售，若要使销售这批酸奶的总利润率不低于，求a的值至少为多少?
【答案】（1）甲种酸奶每件进价为30元，则乙种酸奶每件的进价为40元
（2）a的值至少为8
【解析】
【分析】本题主要考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是根据等量关系和不等关系，列出方程或不等式．
（1）设甲种酸奶每件进价为x元，则乙种酸奶每件的进价为元，根据购进甲种酸奶的件数是乙种酸奶件数的倍，列出方程，解方程即可；
（2）先求出两种酸奶的件数，然后根据销售这批酸奶的总利润率不低于，列出不等式，解不等式即可．
【小问1详解】
解：设甲种酸奶每件进价为x元，则乙种酸奶每件的进价为元，根据题意得：
，
解得：，
经检验是原方程的解，
则（元），
答：甲种酸奶每件进价为30元，则乙种酸奶每件的进价为40元．
【小问2详解】
解：甲种酸奶的件数为（件），
乙种酸奶的件数为（件），
根据题意得：，
解得：，
答：a的值至少为8．
23. 如图，是等边三角形，，中，，且，动点从点出发，沿折线方向以每秒个单位长度的速度运动，同时动点从点出发，沿折线方向以每秒个单位长度的速度运动，当点到达点时，、同时停止运动．设运动时间为秒，、两点间的距离为．
（1）请直接写出与的函数关系式，并注明的取值范围；
（2）在给定的平面直角坐标系中画出函数图象，并写出该函数的一条性质；
（3）若直线与该函数图象有两个交点，直接写出的取值范围．
【答案】（1）
（2）图象见解析；当时，取得最小值，
（3）
【解析】
【分析】本题是动点下的图象的面积问题，考查了等边三角形的性质，勾股定理、函数的图象与性质，写出函数表达式并画出函数图象是解题的关键．
（1）根据题意得出，进而分当时，当时，分别求得的长，即可求解；
（2）根据一次函数的性质画出函数图象，根据函数图象写出一条性质即可求解；
（3）结合函数图象即可求解．
【小问1详解】
解：中，，且，
∴，则
∴
当时，，
∴，
∴
∵是等边三角形，
∴，
∴是等边三角形，
∴
当时，，
∵
设交于点，则
∴
∴
∴
∴
【小问2详解】
解：如图所示，
当时，取得最小值，
【小问3详解】
解：如图所示，
当经过点
∴
观察函数图形可得当时，直线与该函数图象有两个交点，
24. 为进一步改善市民生活环境，某市修建了多个湿地公园．如图是已建成的环湖湿地公园，沿湖修建了四边形人行步道．经测量，点在点的正东方向．点在点的正北方向，米．点正好在点的东北方向，且在点的北偏东方向，米．（参考数据：，）
（1）求步道的长度（结果保留根号）；
（2）体育爱好者小王从跑到有两条路线，分别是与．其中和都是下坡，和都是上坡．若他下坡每米消耗热量0.07千卡，上坡每米消耗热量0.09千卡，问：他选择哪条路线消耗的热量更多？
【答案】（1）米；
（2）选时，消耗的热量更多．
【解析】
【分析】本题主要考查与方位角有关的解直角三角形的应用，
过点B作垂线与过点D作垂线交于点E，过点C作交DE的延长线于点F，交延长线于点G，则，根据题意得，利用，解得，由题意知，即可求得．
在中，利用，解得，进一步求得米，分别计算比较两条路线消耗热量即可．
【小问1详解】
解：过点B作垂线与过点D作垂线交于点E，过点C作交DE的延长线于点F，交延长线于点G，如图，
则四边形是矩形，
∴米，
∵点位于点的北偏东方向，
∴，
∵米，
∴，解得（米），
∵点正好在点的东北方向，
∴，
∵米．
∴米．
【小问2详解】
解：中，，解得（米），
则米，
那么，选时，消耗热量为：（千卡），
选时，消耗热量为：（千卡），
，
选时，消耗的热量更多．
25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点，点是抛物线上一点．

（1）求抛物线解析式；
（2）如图1，连接，点P是直线上方抛物线上一点，过点P作交直线于点D，求的最大值及此时点P的坐标；
（3）连接，过点A作，交于点F，将原抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点Q为新抛物线上一点，直线与射线交于点G，连接．当时，直接写出所有符合条件的点Q的横坐标．
【答案】（1）
（2）当时，的最大值为
（3）或或或
【解析】
【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可；
（2）过点作轴，交轴于点，交于点，根据锐角三角函数得到，将转化二次函数求最值即可；
（3）先求出，进而得到为的中点，推出抛物线的平移规则，求出新的抛物线的解析式，根据，当点在右侧时，得到四点共圆，推出，利用锐角三角函数求出的长，进而求出点坐标，得到直线的解析式，联立直线和抛物线的解析式，求出点坐标即可，当点在左侧，点是中点时，，根据中点坐标公式，求出点的坐标，得到直线的解析式，联立直线和抛物线的解析式，求出点坐标即可．
【小问1详解】
解：把，，代入函数解析式，得：
，解得：，
∴；
【小问2详解】
∵，
∴当时，，
解得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
设直线的解析式为，把代入，得：，
∴，
过点作轴，交轴于点，交于点，
∵，
∴，
又：，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则：，
∴，
∴当时，有最大值为，此时最大为；
∴当时，的最大值为．
【小问3详解】
∵，
∴，
∴，
∵，
∴点为的中点，
∴，
过点作轴，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
将原抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，即将原抛物线先向右平移1个单位，再向上平移1个单位，
则新抛物线的的解析式为：，
即：
∵垂直平分，且点在上，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
当点在右侧时，，
∴，
过点作交于点
∵，
∴，
∴，
即：，
∴，
过点作轴于点，
∵，
∴，
∴，
∴，
设的解析式为：，把代入，得：，解得：，
∴，
联立，解得：或，
∴点的横坐标为：或，
当点在左侧时，点是中点时，，
设点，则：解得：，
∴，
设的解析式为：，把代入，得：，解得：，
∴，
联立，解得：或，
∴点的横坐标为：或，
故答案为：或或或．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及到待定系数法求函数解析式，解直角三角形，四点共圆，二次函数求最值，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识点，综合性强，难度大，计算量大，属于压轴题，掌握相关知识点，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键．
26. 已知，中，，，交于点，．

（1）如图1，将绕点逆时针旋转得线段，且点在的延长线上，求的长．
（2）如图2，在（1）的条件下，连接，为上一点，且满足：，作于点，求证：．
（3）如图3，在（1）的条件下，、分别为线段、上的两个动点，且满足，当最小时，为平面内一动点，将沿翻折得，请直接写出的最大值．
【答案】（1）
（2）见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）证明是等边三角形，即可求解；
（2）延长至M使得，连接、、，证明，进而证明，得出则，，即可求解；
（3）以为圆心的长为半径，作，作，证明，得出当三点共线时，最小，进而可得的最大值为，证明是等腰直角三角形，解直角三角形，得出，即可求解．
【小问1详解】
解：∵中，，，
∴
∵交于点，
∴，
∵将绕点逆时针旋转得线段，且点在的延长线上，
∴，
∴是等边三角形，
∴；
【小问2详解】
延长至M使得，连接、、，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
是等边三角形，
在中，
，
∴，
∴，，
∵
∴，
∴，
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴
【小问3详解】
解：如图所示，以为圆心的长为半径，作，作，

∴，，
又∵
∴
∴，
∴，
∴当三点共线时，最小，
∵为平面内一动点，将沿翻折得，
∴，在上，
又∵垂直平分，则，
∴的最大值为，
过点作于点，
在中，
∴，
又∵，
∴是等腰直角三角形，
∴
在中，，则
设，则
解得：
∵
∴
【点睛】本题考查了旋转的性质，一点到圆上的最值问题，解直角三角形，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键．
菜名
平均数
中位数
众数
“非常喜欢”所占百分比
节节高升
85
86
b
35%
鸿运当头
85
a
87
45%