四川省内江市隆昌市第一初级中学2023-2024学年九年级下学期第一次月考数学试题(含解析)

这是一份四川省内江市隆昌市第一初级中学2023-2024学年九年级下学期第一次月考数学试题(含解析)，共24页。试卷主要包含了下列各式计算正确的是等内容，欢迎下载使用。
本试卷分为A卷和B卷两部分．A卷满分100分；B卷满分60分．全卷满分160分，考试时间120分钟．
A卷（共100分）
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名学号班级等填写好．
2．答A卷时，每小题选出答案后，用钢笔或水笔把答案直接填写在对应题目的后面括号．
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．）
1．的绝对值是（ ）
A．2024B．C．D．
2．据生物学可知，卵细胞是人体细胞中最大的细胞，其直径约为0.0002米．将数0.0002用科学记数法表示为( )
A．B．C．D．
3．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．等边三角形B．平行四边形C．长方形D．正五边形
4．下列各式计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
5．下列立体图形中，俯视图是三角形的是（ ）
A．B．C．D．
6．在函数y=中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x≥﹣2且x≠1B．x≤2且x≠1C．x≠1D．x≤﹣2
7．已知一组数据5，4，，3，9的平均数为5，则这组数据的中位数是（ ）
A．3B．4C．5D．6
8．如图，在ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，，则DE：EC=【 】
A．2：5B．2：3C．3：5D．3：2
9．某品牌服装折扣店将某件衣服按进价提高50%后标价，再打8折（标价的80%）销售，售价为240元.设这件衣服的进价为元，根据题意，下面所列的方程正确的是
A．B．
C．D．
10．如图，是的直径，弦，，，则阴影部分的面积为（ ）

A．2πB．πC．D．2π3
11．如图，反比例函数的图像经过矩形对角线的交点，分别于交于点，若四边形的面积为12，则的值为（ ）．
A．2B．3C．4D．5
12．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为(－1，0)，其部分图象如图所示，下列结论：①4ac＜b2；②方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1＝－1，x2＝3；③3a＋c＞0；④当y＞0时，x的取值范围是－1≤x＜3；⑤当x＜0时，y随x增大而增大．其中结论正确的个数是( )
A．4个B．3个C．2个D．1个
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分、请将最后答案直接填在题中横线上．）
13．分解因式：= ．
14．如图所示的图形中，若去掉一个的角得到一个五边形，则 °．
15．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ．
16．如图，在等边中，为边上一点，为边上一点，且，，，则等边的边长为 ．
三、解答题（本大题共5个小题，共44分、解答题必须写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤．）
17．计算：
18．如图，在平行四边形ABCD中，点E、F在对角线BD上，且BE＝DF，
(1)求证：AE＝CF；
(2)求证：四边形AECF是平行四边形．
19．为推广阳光体育“大课间”活动，我市某中学决定在学生中开设A：实心球．B：立定跳远，C：跳绳，D：跑步四种活动项目．为了了解学生对四种项目的喜欢情况，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如图①②的统计图．请结合图中的信息解答下列问题：
（1）在这项调查中，共调查了多少名学生？
（2）请计算本项调查中喜欢“立定跳远”的学生人数和所占百分比，并将两个统计图补充完整；
（3）若调查到喜欢“跳绳”的5名学生中有3名男生，2名女生．现从这5名学生中任意抽取2名学生．请用画树状图或列表的方法，求出刚好抽到同性别学生的概率．
20．为建设“宜居宜业宜游”山水园林式城市，内江市正在对城区沱江河段进行区域性景观打造．
如图，某施工单位为测得某河段的宽度，测量员先在河对岸边取一点再在河这边沿河边取两点在点处测得点在北偏东方向上，在点处测得点在西北方向上，量得长为200米．请你求出该河段的宽度（结果保留根号）．
21．如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点．

(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)连接，求的面积
(3)点是轴上的一动点，要使最小，试求出点的坐标．
B卷（共60分）
四、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分．）
22．已知，则代数式的值为 .
23．如图，已知直线，过点作轴的垂线交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；过点作轴的垂线交直线于，过点作直线的垂线交轴于点；按此作法继续下去，则点的坐标为 ；
24．关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是 ．
25．如图，在等腰中， ，，点在边上， ，点在边上，，垂足为，则长为 ．

二、解答题（本大题共3个小题，每小题12分，共36分．解答题必须写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤．）
26．如图，在中，点在斜边上，以为直径的与相切于点
（1）求证：平分
（2）若①求的值；②求图中阴影部分的面积.
27．一家蔬菜公司收购到某种绿色蔬菜140吨，准备加工后进行销售，销售后获利的情况如下表所示：
已知该公司的加工能力是：每天能精加工5吨或粗加工15吨，但两种加工不能同时进行．受季节等条件的限制，公司必须在一定时间内将这批蔬菜全部加工后销售完．
（1）如果要求12天刚好加工完140吨蔬菜，则公司应安排几天精加工，几天粗加工？
（2）如果先进行精加工，然后进行粗加工．
①试求出销售利润元与精加工的蔬菜吨数之间的函数关系式；
②若要求在不超过10天的时间内，将140吨蔬菜全部加工完后进行销售，则加工这批蔬菜最多获得多少利润？此时如何分配加工时间？
28．如图，已知抛物线的对称轴为，且抛物线经过两点，与轴交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在第二象限抛物线上找一点，的面积最大，求出此点的坐标；
(3)设点为抛物线的对称轴上的一个动点，求使为直角三角形的点的坐标．
参考答案与解析
1．A
【分析】本题考查求一个数的绝对值，根据负数的绝对值是它的相反数，即可得出结果．
【详解】解：的绝对值是2024．
故选：A．
2．D
【分析】根据科学记数法的表示形式写出即可．
【详解】解：将数0.0002用科学记数法表示为.
故选D．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
3．C
【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别和中心对称图形的识别，轴对称图形：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，根据定义进行逐一判断即可．
【详解】解：A、等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、长方形既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；
D、正五边形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故选C．
4．D
【详解】A．，故本选项错误；
B．，故本选项错误；
C．与不是同类项，不能合并，故本选项错误；
D．，故本选项正确；
故选：D．
【点睛】考点：幂的乘方与积的乘方；合并同类项；同底数幂的乘法；完全平方公式．
5．A
【分析】俯视图是从物体上面看所得到的图形，据此判断得出物体的俯视图．
【详解】解：A、三棱柱的俯视图是三角形，故此选项符合题意；
B、圆锥体的俯视图是有圆心的圆，故此选项不合题意；
C、球的俯视图是圆，故此选项不合题意；
D、正方体俯视图是正方形，故本选项不合题意；
故选A．
【点睛】本题考查了几何体的三种视图，解题的关键是掌握定义，注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．
6．A
【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可求解．
【详解】解：由题意得，x+2≥0且x﹣1≠0，
解得x≥﹣2且x≠1．
故选：A．
【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围．
7．B
【分析】先根据平均数的定义求出的值，再把这组数据从小到大排列，然后求出最中间两个数的平均数即可．
【详解】解：∵5，4，，3，9的平均数为5，
∴，
解得：，
把这组数据从小到大排列为：3，4，4，5，9，
则这组数据的中位数是4；
故选B．
【点睛】此题考查了平均数与中位数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，关键是求出的值．
8．B
【分析】先根据平行四边形的性质及相似三角形的判定定理得出△DEF∽△BAF，再根据S△DEF∶S△ABF=4∶25即可得出其相似比，由相似三角形的性质即可求出DE∶AB的值，由AB=CD即可得出结论．
【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD
∴∠EAB=∠DEF，∠AFB=∠DFE
∴△DEF∽△BAF
∴
∵，
∴DE：AB=2：5
∵AB=CD，
∴DE：EC=2：3
故选B．
【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质及平行四边形的性质，熟知相似三角形边长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键．
9．B
【详解】设这件衣服的进价为元，则按进价提高50%后标价为x(1+50%),
打8折后的售价为x(1+50%)80%，
所以由题意有x(1+50%)80%=240.
故选B.
10．D
【详解】分析：连接OD，则根据垂径定理可得出CE=DE，继而将阴影部分的面积转化为扇形OBD的面积，代入扇形的面积公式求解即可．
详解：连接OD,
∵CD⊥AB，
∴ (垂径定理)，
故
即可得阴影部分的面积等于扇形OBD的面积，
又∵
∴ (圆周角定理)，
∴OC=2，
故S扇形OBD=
即阴影部分的面积为.
故选D.

点睛：考查圆周角定理，垂径定理，扇形面积的计算，熟记扇形的面积公式是解题的关键.
11．C
【分析】本题主要考查了反比例函数的图像与坐标轴围成的图形的面积，灵活的应用反比例函数图像上的点坐标表示三角形的面积是解题的关键．
设点D的坐标为，点E的坐标为，则点B的坐标为，根据中点的性质表示出点，代入可得，由列方程求出k的值即可．
【详解】解：设点D的坐标为，点E的坐标为，则点B的坐标为，
∵M为的中点，
，
又∵反比例函数的图像经过矩形对角线的交点M，
，即，
，
，
，解得：．
故选：C．
12．B
【详解】解：∵抛物线与x轴有2个交点，
∴b2﹣4ac＞0，所以①正确；
∵抛物线的对称轴为直线x=1，而点（﹣1，0）关于直线x=1的对称点的坐标为（3，0），
∴方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1，x2=3，所以②正确；
∵x=﹣=1，即b=﹣2a，而x=﹣1时，y=0，即a﹣b+c=0，
∴a+2a+c=0，所以③错误；
∵抛物线与x轴的两点坐标为（﹣1，0），（3，0），
∴当﹣1＜x＜3时，y＞0，所以④错误；
∵抛物线的对称轴为直线x=1，
∴当x＜1时，y随x增大而增大，所以⑤正确．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
13．x（x+2）（x﹣2）
【分析】先提取公因式，再根据平方差公式分解因式即可．
【详解】解：
=
=x（x+2）（x﹣2）．
故答案为：x（x+2）（x﹣2）．
【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，掌握a2-b2=（a+b）（a-b）是解题的关键．
14．230º．
【详解】试题解析：由于∠1和∠2是三角形的外角，
所以∠1=∠4+50°，∠2=∠3+50°，
所以∠1+∠2=∠4+50°+∠3+50°=（∠4+50°+∠3）+50°=180°+50°=230°．
考点：1．三角形的外角性质；2．三角形内角和定理．
15．k＞且k≠1.
【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k﹣1≠0且△=22﹣4（k﹣1）×（﹣2）＞0，然后求出两个不等式的公共部分即可．
【详解】根据题意得k﹣1≠0且△=22﹣4（k﹣1）×（﹣2）＞0，
解得：k＞且k≠1．
故答案为k＞且k≠1．
考点：根的判别式；一元二次方程的定义.
16．6
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质和相似三角形的判定和性质，由，可证得；可用等边三角形的边长表示出的长，进而根据相似三角形的对应边成比例，求得的边长．
【详解】解：是等边三角形，
，；
，
；
，
，
，
，
又，
；
，
，
即；
解得．
故答案为：6．
17．
【分析】针对负整数指数幂，特殊角的三角函数值，零指数幂，二次根式化简4个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查了实数的混合运算，熟知实数的运算法则及运算顺序是解题的关键．
18．（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【分析】（1）根据平行四边形的性质可得AB=CD，AB∥CD，然后可证明∠ABE=∠CDF，再利用SAS来判定△ABE≌△DCF，从而得出AE=CF．
（2）首先根据全等三角形的性质可得∠AEB=∠CFD，根据等角的补角相等可得∠AEF=∠CFE，然后证明AE∥CF，从而可得四边形AECF是平行四边形．
【详解】（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD．
∴∠ABE=∠CDF．
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△DCF（SAS）．
∴AE=CF．
（2）∵△ABE≌△DCF，
∴∠AEB=∠CFD，
∴∠AEF=∠CFE，
∴AE∥CF，
∵AE=CF，
∴四边形AECF是平行四边形．
【点睛】此题考查了平行四边形的判定与性质，解题的关键是掌握平行四边形的判定方法与性质．
19．（1）在这项调查中，共调查了150名学生；
（2）本项调查中喜欢“立定跳远”的学生人数是45人，所占百分比是30%，图形见解析；
（3）刚好抽到同性别学生的概率是．
【详解】试题分析：（1）用A的人数除以所占的百分比，即可求出调查的学生数；
（2）用抽查的总人数减去A、C、D的人数，求出喜欢“立定跳远”的学生人数，再除以被调查的学生数，求出所占的百分比，再画图即可；
（3）用A表示男生，B表示女生，画出树形图，再根据概率公式进行计算即可．
试题解析：（1）根据题意得：
15÷10%=150（名）．
答：在这项调查中，共调查了150名学生；
（2）本项调查中喜欢“立定跳远”的学生人数是；150﹣15﹣60﹣30=45（人），
所占百分比是：×100%=30%，
画图如下：
（3）用A表示男生，B表示女生，画图如下：
共有20种情况，同性别学生的情况是8种，
则刚好抽到同性别学生的概率是=．
考点：1.条形统计图2.扇形统计图3.列表法与树状图法．
20．米
【分析】过A作于点D，利用等边对等角可得，则，在中，利用正切定义可得，然后解方程即可求出河宽的值．
【详解】解：过点作于点．
据题意，·
，
，

在中，
，

答：该河段的宽度为米．
【点睛】本题考查了根据方向角解直角三角形，解答本题的关键是利用方向角构造直角三角形，将实际问题转化为数学问题求解．
21．(1)反比函数的解析式为：，一次函数的解析式为：；
(2)；
(3)当最小时，点．
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的焦点问题，求函数解析式，利用轴对称求最短路径，利用数形结合的思想解决问题是关键．
（1）将代入反比函数，求出的值，进而得到，再利用待定系数法求出一次函数解析式即可；
（2）设直线与轴的交点为，求出，再利用求解即可；
（3）作点关于轴的对称点，则，连接交轴于点，连接，此时最小，最小值为，．利用待定系数法求出直线的解析式为，即可求出点的坐标．
【详解】（1）解：将代入反比函数，得：，
反比函数的解析式为：，
将代入，得：，
将代入，得：
，解得：，
一次函数的解析式为：；
（2）解：如图，设直线与轴的交点为，
令，则，解得：，
，
；

（3）解：如图，作点关于轴的对称点，则，
连接交轴于点，连接，
，
，此时最小，最小值为，
设直线的解析式为：，
则，解得：，
，
当时，，
故当最小时，点．

22．
【详解】解：根据，得出a+2b=6ab，再把ab=（a+2b）代入要求的代数式即可得出=．
故答案为：．
【点睛】本题考查分式的化简求值，掌握运算法则，整体代入思想解题是关键．
23．
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半的性质，根据直线l的解析式求出，从而得到，根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半求出然后表示出与的关系，再根据点在x轴上写出坐标即可．
【详解】解：∵直线l的解析式是，
∴，．
∵，轴，点N在直线上，
∴，，
∴．
又∵，即，
∴，．
同理，，
，
…
．
∴点的坐标是．
故答案是：．
24．
【分析】首先确定不等式组的解集，先利用含a的式子表示，根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于a的不等式，从而求出a的范围
【详解】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
不等式组有解,
∴不等式组的解集为： ，
不等式组恰有3个整数解，则整数解为1，2，3
，
解得．
故答案为：．
【点睛】考查不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．本题要根据整数解的取值情况分情况讨论结果，取出合理的答案．
25．
【分析】过作 于，则∠AHD=90°由等腰直角三角形的性质可得，，进而可得，由此得CH=15-DH，再证明，由相似三角形的对应边成比例可得，求出CE=10，代入相关数据可求得DH=9，继而根据勾股定理即可求得AD长.
【详解】过作 于，则∠AHD=90°
在等腰中，，，
，，
∴∠ADH=90°-∠CAD=45°=∠CAD，
，
∴CH=AC-AH=15-DH，
，
，
又∵∠ANH=∠DNF，
，
，
，
，CE+BE=BC=15，
∴，
∴，
，
，
故答案为．

【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质与判定，相似三角形的判定与性质等知识，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.
26．（1）证明见解析（2）
【详解】（1）证明：连接，则，
.
是的切线，

平分
（2）①连结，
为直径，
又由（1）知

，

②在中，



27．（1）应安排4天进行精加工，8天进行粗加工
（2）①=
②安排1天进行精加工，9天进行粗加工，可以获得最多利润为元
【分析】（1）本题等量关系为：精加工天数十粗加工天数=12，精加工吨数+粗加工吨数=140，列出方程组求解即可．
（2）①根据精加工吨数和粗加工吨数的等量关系，用精加工吨数m来表示粗加工吨数，在列出W与m之间的关系，
②根据题意要求先确定m的取值范围，然后表示W并求出W最大值．
【详解】解：（1）设应安排天进行精加工，天进行粗加工，
根据题意得
解得
答：应安排4天进行精加工，8天进行粗加工．
（2）①精加工吨，则粗加工（）吨，根据题意得
=
②要求在不超过10天的时间内将所有蔬菜加工完，
解得
又在一次函数中，，
随的增大而增大，
当时，
精加工天数为=1，
粗加工天数为
安排1天进行精加工，9天进行粗加工，可以获得最多利润为元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用和一次函数的应用，解题关键在于看清题意，找到正确的等量关系，列出方程式，最后解出答案．
28．(1)抛物线的解析式为：；
(2)面积最大时点的坐标为；
(3)点的坐标为或或或．
【分析】本题为二次函数综合题，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，三角形面积，勾股定理，一元二次方程等知识点．第三问，根据直角顶点的不同进行分类讨论是解答的关键．
（1）由对称轴公式及、两点的坐标代入直接求解即可；
（2）设点的坐标为，连接，然后表示出，然后利用二次函数的性质求解即可．
（3）设出点的纵坐标，分别表示出，，三条线段的长度的平方，分三种情况，用勾股定理列出方程求解即可．
【详解】（1）由题意得：解得：
抛物线的解析为：；
（2）设点的坐标为，连接
因为对称轴为，
所以，故
因为，故
∴当时，的面积最大，此时点的坐标为；
（3）设点的坐标为
，，
①当点为直角顶点时，
，解得：
②当点为直角顶点时，
，解得：
③当点为直角顶点时，
解得：或
或
综上所述，点的坐标为或或或．
销售方式
粗加工后销售
精加工后销售
每吨获利(元)
1000
2000