2024-2025学年江苏省镇江市扬中第二高级中学高三（上）期中数学模拟试卷（1）（含答案）

这是一份2024-2025学年江苏省镇江市扬中第二高级中学高三（上）期中数学模拟试卷（1）（含答案），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A={z|z=in+1in,n∈N∗}，则A的元素个数为( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
2.已知2sinα+csα= 102，则tan2α=( )
A. 34B. 43C. −34D. −43
3.若等比数列{an}的前n项和为Sn，且S5=10，S10=30，则S20=( )
A. 80B. 120C. 150D. 180
4.如图，在△ABC中，∠BAC=π3，AD=2DB，P为CD上一点，且满足AP=mAC+12AB，若|AC|=3，|AB|=4，则AP⋅CD的值为( )
A. −3B. −1312C. 1312D. 112
5.已知函数y=sin(ωx+φ)(ω>0,φ∈(0,2π))的一条对称轴为x=−π6，且f(x)在(π,4π3)上单调，则ω的最大值为( )
A. 52B. 3C. 72D. 83
6.已知函数f(2x+1)为奇函数，f(x+2)为偶函数，且当x∈(0,1]时，f(x)=lg2x，则f((32)2)=( )
A. 2B. −2C. 1D. −1
7.如图，在四边形ABCD中，AB⊥AD,csB= 55,cs∠ACB= 1010,BC= 5,△ACD的面积为3，则CD长为( )
A. 52B. 5
C. 172D. 11
8.已知函数f(x)=x+4x,x>0lg2|x|,x0，b>0，a2+b2+ab=1，则( )
A. ab≤13B. a+b≤2 33C. a2+b2≤23D. 1a+1b≤2 3
10.已知函数f(x)=lg12(x2−2ax+2)，则以下说法正确的是( )
A. ∃a∈R，使得f(x)为偶函数
B. 若f(x)的定义域为R，则a∈(− 2, 2)
C. 若f(x)在区间(−∞,1)上单调递增，则a的取值取值范围是[1,+∞)
D. 若f(x)的值域是(−∞,2]，则a∈{− 72, 72}
11.定义：a,b两个向量的叉乘a×b的模|a×b|=|a|⋅|b|⋅sin〈a,b〉，则下列命题正确的是( )
A. 若平行四边形ABCD的面积为4，则|AB×AD|=4
B. 在正△ABC中，若AD=|AB×AC|(AB+AC)，则|AD||BC|3=32
C. 若|a×b|= 3，a⋅b=1，则|a+2b|的最小值为12
D. 若|a×b|=1，|b×c|=2，且b为单位向量，则|a×c|的值可能为2+2 3
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.如图，圆O与x轴的正半轴的交点为A，点C、B在圆O上，且点C位于第一象限，点B的坐标为(45,−35)，∠AOC=α，若|BC|=1，则 3cs2α2−sinα2csα2− 32的值为______．
13.“中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？现有这样一个相关的问题：被3除余2且被5除余3的正整数按照从小到大的顺序排成一列，构成数列{an}，记数列{an}的前n项和为Sn，则Sn+120n的最小值为______．
14.与曲线y=1ex和曲线y=−lnx−2均相切的直线的方程为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题15分)
已知cs(α+β)=2 55，tanβ=17，且α,β∈(0,π2)．
(1)求cs2β−2sin2β+sinβcsβ的值；
(2)求2α+β的值．
16.(本小题15分)
设Sn为数列{an}的前n项和，已知a2=1，2Sn=nan．
(1)求{an}的通项公式；
(2)求数列{an+12n}的前n项和Tn．
17.(本小题15分)
锐角三角形ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知(b+c)(sinB−sinC)=(a−c)sinA，S△ABC= 34，点D是AB的中点，点E在线段BC上，且BE=2EC，线段CD与线段AE交于点M．
(1)求角B的大小；
(2)若BM=xBA+yBC，求x+y的值；
(3)若点G是三角形ABC的重心，求|GM|的最小值．
18.(本小题15分)
已知三棱柱ABC−A1B1C1，AB=AC=2，AA1=3，∠A1AB=∠A1AC=∠BAC=60°，M，N为线段AC1，BA1上的点，且满足AMAC1=BNBA1=t(03，都有f(x2)−f(x1)x2−x1>9成立，求实数a的取值范围．
参考答案
1.C
2.A
3.C
4.C
5.D
6.A
7.B
8.A
9.AB
10.ABD
11.ABD
12.35
13.1212
14.y=−ex
15.解：(1)因为tanβ=17，
所以cs2β−2sin2β+sinβcsβ=cs2β−2sin2β+sinβcsβsin2β+cs2β=1−2tan2β+tanβtan2β+1=2725．
(2)因为α,β∈(0,π2)，
所以0g(x1)成立，
∴g(x)在(3,+∞)单调递增，
∴g′(x)≥0在(3,+∞)上恒成立(且不恒等于0)，
即g′(x)=f′(x)−9≥0在(3,+∞)上恒成立，
即g′(x)=x2−2ax−3a2−9≥0在(3,+∞)上恒成立，
∴a≤3g′(3)≥0或a>3g(a)≥0，
∴a≤3−6a−3a2≥0或a>3−4a2−9≥0，
解得−2≤a≤0，
∴实数a的取值范围为[−2,0]．