陕西省西安市第八十三中学2024-2025学年高三上学期期中暨第三次阶段考试数学试题（解析版）

这是一份陕西省西安市第八十三中学2024-2025学年高三上学期期中暨第三次阶段考试数学试题（解析版），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若集合，则下列关系成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先解对数不等式化简集合，再利用元素与集合、集合与集合的关系判断各选项即可.
【详解】因为，
，，排除A、B；
又空集是任何集合的子集，所以，排除D，
因为任何集合都是该集合的子集，所以，C正确，
故选：C.
2. 已知复数满足，则复数的共轭复数的模（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据复数四则运算法则和共轭复数定义求解即可.
【详解】，
所以，所以.
故选：B.
3. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】根据对数函数的单调性及定义域求解即可.
【详解】因为等价于，即，解得，
所以是的充要条件.
故选：C.
4. 中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知,则A=
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】试题分析：由余弦定理得：，因为，所以，因为，所以，因为，所以，故选C.
【考点】余弦定理
【名师点睛】本题主要考查余弦定理的应用、同角三角函数的基本关系，是高考常考知识内容.本题难度较小，解答此类问题，注重边角的相互转换是关键，本题能较好地考查考生分析问题、解决问题的能力及基本计算能力等.
5. 已知函数，函数图象可以由函数的图象先向右平移个单位长度，再将所得函数图象保持纵坐标不变，横坐标变为原来的倍得到，若函数在上没有零点，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由函数，根据三角函数的图象变换得到，令，结合函数零点存在的条件建立不等式求解即可.
【详解】函数，向右平移个单位长度，得，
再将所得函数图象保持纵坐标不变，横坐标变为原来的倍得到，
令，
得，
所以，
若函数在上没有零点，
则需，
所以，
所以，
若函数在上有零点，
则，
当k=0时，得，解得，
当k=1时，得，解得，
综上：函数在上有零点时，或，
所以函数在上没有零点，.
所以的取值范围是.
故选：A
【点睛】本题主要考查三角函数的图象变换及函数零点问题，还考查了转化求解问题的能力，属于难题.
6. 已知、均为正实数，且，则的最小值为 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】转化，结合均值不等式，即可得解.
【详解】均为正实数，且，则

当且仅当时取等号.
的最小值为20.
故选：C.
7. 已知， ，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】构造函数，通过其单调性可得答案.
【详解】因，则.
构造函数，，则.
令，，则.
则在上单调递增，得，
则在上单调递增.
又注意到，则.
故选：D
8. 如图，在函数的部分图象中，若，则点的纵坐标为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意首先得，进一步得由得，将它们代入函数表达式结合诱导公式二倍角公式即可求解.
详解】由题意，则，所以，
设Ax1,y1,Bx2,y2，因为，
所以，解得，
所以
，
所以，又由图可知，所以.
故选：B.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 若函数fx=Asinωx+φ，的部分图象如图中实线所示，记其与x轴在原点右侧的第一个交点为C，图中圆C与的图象交于M，N两点，且M在y轴上，则下列说法正确的是（ ）
A. 函数的最小正周期是π
B. 函数在上单调递减
C. 函数的图象向左平移个单位后关于对称
D. 若圆C的半径为，则
【答案】AD
【解析】
【分析】A选项，由图象得到，进而得到的最小正周期；B选项，求出，，从而得到，判断出函数不单调；C选项，求出平移后的解析式，得到当时，，故不关于对称；D选项，由圆的半径求出，进而代入解析式，求出，得到答案.
【详解】A选项，由图象可知，关于点中心对称，
故，设的最小正周期为，则，
解得，A正确；
B选项，因为，所以，
故，将代入解析式得，，
因为，所以，
故，解得，
故，
当时，，
因为在上不单调，
故在上不单调，B错误；
C选项，函数的图象向左平移个单位后，
得到，
当时，，故不关于对称，C错误；
D选项，圆C的半径为，由勾股定理得，
故，将其代入中，得，
解得，故，D正确.
故选：AD
10. 已知正实数、满足，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】构造函数、，利用导数分析这两个函数在上的单调性，可得出，结合函数的单调性可得出、的大小，逐项判断即可.
【详解】由，可得，
构造函数，其中，则，
当且仅当时，等号成立，
故函数在上为增函数，
当时，，即，
因为、为正实数，所以，，
构造函数，其中，则，
故函数在上为增函数，由可得，
所以，，A对B错，
因为对数函数在上为增函数，则，C对；
因为，则，即，D对.
故选：ACD.
11. 已知函数，若存在，使得成立，则（ ）
A. 当时，B. 当时，
C. 当时，D. 当时，的最小值为
【答案】ACD
【解析】
【分析】求出，则可得f(x)在上单调递增在上单调递减，则可画出f(x)的图像，利用同构可知等价于，结合图像则可判断AB选项，当时，则可得，，构造函数即可判断CD选项.
【详解】，，
，
当时，，f(x)在上单调递增，
当时，，f(x)在上单调递减，
所以的图像如图所示：
又，即，
当时，要使越小，则取，故有，故A正确；
又与均可趋向于，故B错误；
当，且，
记，，
恒成立，即在上单调递增，
所以，即当成立，故C正确；
，令，
在单调递减，在单调递增，
，故D正确，
故选：ACD.
【点睛】关键点点睛：
本题考查利用导数研究函数的单调性与交点，属于难题；画出f(x)的图像，利用同构可知等价于，则可求出判断出AB选项，构造函数，则可判断C选项，构造函数则可判断D选项.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知平面向量，，且．则____________．
【答案】5
【解析】
【分析】根据得到，解得，然后利用坐标求模长即可.
【详解】因为，所以，解得，所以，.
故答案为：5.
13. 在微积分中“以直代曲”是最基本、最朴素的思想方法，中国古代数学家刘徽创立的“割圆术”：用圆的外切正边形和内接正边形“内外夹逼”的办法求出了圆周率的近似值，事实上就是用“以直代曲”的思想进行近似计算的.借用“以直代曲”的方法，在切点附近可以用函数图象的切线代替在切点附近的曲线来“近似计算”.则用函数“近似计算”的值为_______.（结果用分数表示）.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意发现非常接近，从而求得在处的切线方程，从而在附近用代替计算即可得解.
【详解】函数的导数为，所以，又，
则函数在点处的切线，
所以在附近可以用代替，即，
因为非常接近，故.
故答案为：.
14. 已知，则使不等式能成立的正整数的最大值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】先研究的单调性，故可得，从而可求正整数的最大值.
【详解】设，故，
当时，f′x>0；当时，f′xt25min=0，因此，实数的取值范围是0,+∞.
17. 已知在锐角三角形中，内角A，B，C所对的边分别为.
（1）求；
（2）若，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用两角和的正弦公式、二倍角公式、辅助角公式可得，再结合为锐角三角形，可得角.
（2）根据正弦定理，结合三角形内角和定理，把表示成角的函数，结合角的范围，可得的范围.
【小问1详解】
由，得，
得，
得，得，
所以，即，
又，所以.
【小问2详解】
在中，由正弦定理得，
所以.
因为，所以
所以
因为为锐角三角形，所以，解得，
所以，所以，所以，
即，
故的取值范围为.
18. 已知函数．
（1）若，求证：在上单调递增；
（2）若，判断极大值点的个数．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）求导，分、两种情况，令，分析函数的单调性，再利用函数单调性与导数的关系可证得结论成立；
（2）当时，利用导数分析函数的单调性，利用函数极值点与导数的关系可得出结论.
【小问1详解】
因为，所以．
若，因为函数、在上均为增函数，
则在上单调递增，且，，
故当时，，在上单调递增；
若，设，则，
因为函数、在上均为增函数，
则在上单调递增，
故当时，，在上单调递增，
由得，
所以当时，，在上单调递增．
综上，当时，在上单调递增．
【小问2详解】
由（1）得，
当时，因为函数、在上均为增函数，
则在上单调递增，
又，
因为函数在上单调递增，则，
则，，
所以存在，使得，
则，当时，，单调递减，
当时，，单调递增．
，
又，所以存使得，
且当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以是的极大值点．
由当时，，单调递增，
可知在上没有极大值点．
所以有唯一极大值点，故极大值点的个数为．
【点睛】思路点睛：若函数的零点存在，但无法求出，我们常先设其为，再利用函数的单调性及零点存在定理确定所在的区间，进而解决问题，我们把这类问题称为“隐零点”问题．利用函数零点存在定理时，不仅要求函数图象在区间上是连续不断的曲线，且，还需要结合函数的图象与性质（如单调性、奇偶性）才能确定函数有多少个零点．
19. 已知，函数.
（1）当时，解不等式；
（2）若关于的方程的解集中恰有一个元素，求的取值范围；
（3）设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求的取值范围.
【答案】（1）．（2）．（3）．
【解析】
【详解】试题分析：（1）当时，解对数不等式即可；（2）根据对数的运算法则进行化简，转化为一元二次方程，讨论的取值范围进行求解即可；（3）根据条件得到，恒成立，利用换元法进行转化，结合对勾函数的单调性进行求解即可.
试题解析：（1）由，得，解得．
（2）由f（x）﹣lg2[（a﹣4）x+2a﹣5]＝0得lg2（a）﹣lg2[（a﹣4）x+2a﹣5]＝0．
即lg2（a）＝lg2[（a﹣4）x+2a﹣5]，
即a＝（a﹣4）x+2a﹣5＞0，①
则（a﹣4）x2+（a﹣5）x﹣1＝0，
即（x+1）[（a﹣4）x﹣1]＝0，②，
当a＝4时，方程②的解为x＝﹣1，代入①，成立
当a＝3时，方程②的解为x＝﹣1，代入①，成立
当a≠4且a≠3时，方程②的解为x＝﹣1或x，
若x＝﹣1是方程①的解，则a＝a﹣1＞0，即a＞1，
若x是方程①的解，则a＝2a﹣4＞0，即a＞2，
则要使方程①有且仅有一个解，则1＜a≤2．
综上，若方程f（x）﹣lg2[（a﹣4）x+2a﹣5]＝0的解集中恰好有一个元素，
则a的取值范围是1＜a≤2，或a＝3或a＝4．
（3）函数f（x）在区间[t，t+1]上单调递减，
由题意得f（t）﹣f（t+1）≤1，
即lg2（a）﹣lg2（a）≤1，
即a≤2（a），即a
设1﹣t＝r，则0≤r，
，
当r＝0时，0，
当0＜r时，，
∵y＝r在（0，2）上递减，
∴r，
∴，
∴实数a的取值范围是a．
【一题多解】（3）还可采用：当时，，，
所以0,+∞上单调递减．
则函数在区间上的最大值与最小值分别为，．
即，对任意成立．
因为，所以函数在区间上单调递增，
时，有最小值，由，得．
故的取值范围为．