精品解析：江西省宜春市丰城市第九中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题（日新班）

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一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 命题“，”的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】利用存在量词命题的否定是全称量词命题，即可作出判断.
【详解】由命题“，”的否定是“，”,
故选：C.
2. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用交集、补集的概念计算即可.
【详解】由题意可知，所以，则.
故选：A
3. 已知函数则下列结论正确是（ ）
A. 是偶函数B. 是增函数
C. 是周期函数D. 的值域为
【答案】D
【解析】
【分析】根据函数奇偶性、单调性、周期性的定义，逐一分析选项即可.
【详解】分段函数的左右两边的函数图像不关于轴对称， A不正确.
当时，不单调， B不正确.
当时，没有周期性， C不正确.
当时，的值域为，当时，的值域为，所以的值域为，D正确.
故选:D.
4. 已知函数的定义域为.记的定义域为集合的定义域为集合.则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】先利用抽象函数的定义域求得集合A，B，再利用充分条件、必要条件的定义判断.
【详解】的定义域为.
当时，的定义域为，即.
令，解得的定义域为1,2，即.
“”是“”必要不充分条件，
故选：B.
5. 函数的部分图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】确定奇偶性排除两个选项，再由单调性排除一个选项后得结论．
【详解】易知的定义域为R，，所以是偶函数，排除A，C；
当时，，则，当时，，单调递减，当时，，单调递增，排除B，
故选：D．
6. 镜片的厚度是由镜片的折射率决定，镜片的折射率越高，镜片越薄，同时镜片越轻，也就会带来更为舒适的佩戴体验．某次社会实践活动中，甲、乙、丙三位同学分别制作了三种不同的树脂镜片，折射率分别为，则这三种镜片中，制作出最薄镜片和最厚镜片的同学分别为（ ）
A. 丙同学和甲同学B. 乙同学和甲同学
C. 甲同学和丙同学D. 乙同学和丙同学
【答案】C
【解析】
【分析】根据对数运算公式，以及幂的运算公式，即可比较大小.
【详解】，
，，所以，
，所以，
所以甲同学制作的最薄，丙同学制作的最厚.
故选：C
7. 如图，矩形的三个顶点、、分别在函数，，的图象上，且矩形的边分别平行于两坐标轴．若点的纵坐标为2，则点的坐标为（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据指对幂函数的图象及解析式求出点的横坐标、点纵坐标，即可得点的坐标.
【详解】由图可知，点在函数的图象上，所以，
即，故，
则点在函数的图象上，所以，即，故，
则点在函数的图象上，所以，故，
又，，故点的坐标为，
故选：A
8. 已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设，把和用表示出来，根据等量关系求出的值，而，可得结果.
【详解】设，
则有，，，
可得，即，解得，
所以.
故选：D.
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分）
9. 设为非空实数集，定义，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据定义逐项判断可得答案.
【详解】对于A，由的定义得，显然成立，故A正确；
对于B，由的定义得，，故B错误；
对于C，设，则，
，所以成立，故C正确；
对于D，设，则，
所以，
又，
所以，
所以成立，故D正确.
故选：ACD.
10. 若正数，满足，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】利用基本（均值不等式）可判断ABD的真假；设函数（），分析其单调性，可判断C的真假.
【详解】因为，且，所以（当且仅当时取“”）.
所以，故A正确；
，故B正确；
设（），则在上恒成立，所以函数在上单调递增，所以，
所以成立，故C正确；
又，又，所以，即，故D错误.
故选：ABC
11. 已知函数．则下列结论正确的是（ ）
A. 图像关于点中心对称
B. 图像关于直线对称
C. 的最大值为
D. 既是奇函数又是周期函数
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据函数的对称性的性质、奇函数的定义、周期函数的定义，结合换元法、导数的性质逐一判断即可.
【详解】A：因为，
，
所以，
因此图像关于点中心对称，所以本选项结论正确；
B：因为，
，
所以，
因此图像关于直线对称，所以本选项结论正确；
C：，
设，所以，
当时，单调递减，当时，单调递增，当时，单调递减，当时，函数有极大值，
极大值为：，而，所以函数的最大值为，因此本选项结论不正确；
D：因为，
所以是奇函数，
因为，
所以是周期函数，因此本选项结论正确，
故选：ABD
【点睛】关键点睛：利用换元法，根据导数的性质求最值是解题的关键.
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分，请把正确答案填在题中横线上）
12. 若函数是奇函数，则______．
【答案】
【解析】
【分析】先由奇函数的定义及诱导公式计算参数a，再代入计算函数值即可.
【详解】由题意知，所以，
即.
故答案为：.
13. 函数在上单调递减，则实数a的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据分段函数单调性列式求解.
【详解】因为在R上单调递减，
所以，解得，
所以实数的取值范围是.
故答案为：.
14. 定义：如果集合存在一组两两不交（两个集合的交集为空集时，称为不交）的非空真子集，，且，那么称子集族构成集合的一个划分.已知集合，则集合的所有划分的个数为__________.
【答案】4
【解析】
【分析】解二次不等式得到集合，由子集族的定义对集合进行划分.
【详解】依题意，，
的2划分为，共3个，
的3划分为，共1个，
故集合的所有划分的个数为4.
故答案为：4
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算）
15. 已知集合
（1）若，求实数的取值范围；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）；
（2）或.
【解析】
【分析】（1）解一元二次不等式求集合，由并集结果知，列不等式组求参数范围；
（2）由补集运算求得或，根据集合包含关系列不等式组求参数范围.
【小问1详解】
由，
，
因为，即，显然，
所以，则.
【小问2详解】
由（1）知：或，又，
所以或，可得或.
16. 已知函数，．
（1）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围；
（2）若对任意，存在，使得，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）变形为，，结合开口方向和根的判别式得到不等式，求出答案；
（2）在上的值域包含在上的值域，其中，分和，得到在上的值域，根据包含关系得到不等式，得到答案.
【小问1详解】
，，
需满足，解得，
故的取值范围为.
【小问2详解】
对任意，存在，使得，
故在上的值域包含在上的值域，
其中时，，
的对称轴为，
若，则在上单调递增，
故，
但不会是1,2的子集，舍去；
当时，则在上单调递减，
故，
是1,2的子集，则，解得，
综上，的取值范围是.
17. 已知真命题：“函数y=fx的图象关于点成中心对称图形”的充要条件为“函数的图象关于原点对称”.
（1）将函数的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位，求此时图象对应的函数解析式，并利用题设中的真命题求函数y=gx图象对称中心的坐标；
（2）求函数图象对称中心的坐标.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）利用平移变换写出函数解析式并化简，分析得到函数图象关于原点对称，从而依题得到函数的对称中心；
（2）设函数hx的对称中心为，则得为奇函数，代入整理，由函数定义域关于原点对称求得的值，由函数为奇函数列方程求得的值，即得.
【小问1详解】
平移后图象对应的函数解析式为，
整理得，
由于函数的图象关于原点对称，由题设中真命题知，函数y=gx图象对称中心的坐标是.
【小问2详解】
设的对称中心为，由题设知函数的图象关于原点对称，即为奇函数，
设，则，即.
由不等式的解集关于原点对称，得，解得，.
此时，.
任取，由可得，，
化简得，，解得，，
所以函数图象对称中心的坐标是2,1.
18. 已知
（1）当，解关于的不等式；
（2）若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）答案见详解
（2）
【解析】
【分析】（1）分类讨论当、、、情况下，解一元二次不等式即可；
（2）将原不等式转化为，利用分离参数法可得，结合换元法和对勾函数的性质求出的最大值即可.
【小问1详解】
若即，原不等式为，解得，
即原不等式的解集为；
若即，方程的解为和，
当时，，原不等式的解集为或；
当时，，原不等式的解集为R；
当即时，，原不等式的解集为.
综上，当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为或；
当时，原不等式的解集为R.
【小问2详解】
由，得，
对于方程，，
所以在R上恒成立，故，
令，则，得可变形为，即，
对于对勾函数，在上单调递减，在上单调递增，
所以在处取得最小值，为，
所以在上的最大值为，
得.
综上，a的取值范围为.
19. 已知函数是偶函数，是自然对数的底数，
（1）求的最小值
（2）当时，
（i）令，，求的值域
（ii）记，已知，，且，当取最大值时，求的值．
【答案】（1）
（2）（i）；（ii）
【解析】
【分析】（1）由函数是偶函数，得到，再代入所求式子，表示为的二次函数求最值；
（2）（ⅰ）由条件可知，，求函数d的解析式，并判断函数的单调性，即可求解函数的值域；
（ⅱ）利用反证法进行证明.
【小问1详解】
函数的定义域为，根据偶函数的定义：
，f−x=fx，即，
即：上式对任意恒成立，这等价于．
，等号成立当且仅当，．
所以的最小值为．
【小问2详解】
（ⅰ）由（1）可得：，由于，为偶函数，故只需考虑时，的值域，
，
，
令，，，
∴，单调递增，∴上单调递增，
的值域为，，．
故的值域为．
（ⅱ）对于常数，令，为偶函数．
下面先证明一个结论：在上单调递增．
证明：
．
由(2)可得：为偶函数，在上单调递增，∴在上单调递增，
证毕．
对于，，且，
先证明：当取最大值时，，，，中最多只有一个，其余的数要么等于，要么等于．
用反证法，假如当取最大值时，，，，中存在两个数，，不妨设，
记，则，且，．
记，则，根据的单调性可知
，
在中，将，分别替换成，，
其余数不变的情况下，得到了更大的值，这与取最大值相矛盾
∴：，，，中最多只有一个．
，，，中没有数字在区间时，，，，中的每一个数，要么等于，要么等于，
记，，，中等于的元素个数为，，，这与为整数矛盾
，，，中只有一个数字在区间时，不妨记为，记等于的数字个数为，
则等于的数字个数为，则．
即：，由于，，
又∵，∴，，
∴这1000个数为，其中有333个，个2．
．
【点睛】关键点点睛：关键1是根据偶函数的条件，得到，关键2是判断函数的单调性，关键3的利用反证法证明，，，中最多只有一个.