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    吉林省2024−2025学年高二上学期11月期中联考 数学试题(含解析)

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    吉林省2024−2025学年高二上学期11月期中联考 数学试题(含解析)

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    这是一份吉林省2024−2025学年高二上学期11月期中联考 数学试题(含解析),共15页。试卷主要包含了单选题,多选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
    一、单选题(本大题共8小题)
    1.直线的倾斜角为( )
    A.B.C.D.
    2.若直线与直线平行,则( )
    A.B.C.1D.
    3.已知向量,,则向量在向量上的投影向量为( )
    A.B.C.D.
    4.若构成空间的一个基底,则下列选项中能作为基底的是( )
    A.B.
    C.D.
    5.空间内有三点,则点到直线的距离为( )
    A.B.C.D.
    6.已知椭圆的右焦点为,上顶点为,点是上一点,则的最小值为( )
    A.B.C.D.
    7.如图,在棱长为3的正四面体中,为的中心,为PA的中点,,则( )
    A.2B.3C.4D.6
    8.如图,已知半椭圆与半椭圆组成的曲线称为“果圆”,其中.“果圆”与轴的交点分别为,与轴的交点分别为,点为半椭圆上一点(不与重合),若存在.,则半椭圆的离心率的取值范围为( )
    A.B.C.D.
    二、多选题(本大题共3小题)
    9.已知曲线,则下列说法正确的是( )
    A.若,则是椭圆,其焦点在轴上
    B.若,则是双曲线,其渐近线方程为
    C.若,则是椭圆,其离心率为
    D.若,则是双曲线,其离心率为
    10.已知球的半径为,则( )
    A.球的内接正方体的内切球表面积为
    B.球的内接正方体的内切球体积为
    C.球的内接正四面体的内切球半径为
    D.球的内接正四面体的内切球半径为
    11.如图,正方体的棱长为分别为的中点,为底面内的动点,且,则( )
    A.动点的轨迹长度为
    B.存在点,使异面直线与所成的角为
    C.点到平面的距离的最小值为
    D.点到平面的距离的最大值为
    三、填空题(本大题共3小题)
    12.在平行六面体中,设,则 .(用表示)
    13.若点在圆的外部,则正实数的取值范围是 .
    14.已知圆,直线,为直线上一动点,为圆上一动点,定点,则的最小值为 .
    四、解答题(本大题共5小题)
    15.已知直线,圆.
    (1)证明:直线与圆相交.
    (2)记直线与圆的交点为,求AB的最小值.
    16.已知椭圆的焦距为12,长半轴长为.
    (1)求椭圆的方程;
    (2)直线与椭圆相交于两点,若线段的中点坐标为,求直线的方程.
    17.如图,在体积为的三棱柱中,平面平面,,.

    (1)证明:平面.
    (2)求平面与平面夹角的余弦值
    18.如图,在三棱台中,平面,,,,是棱的中点,为棱上一动点.
    (1)若,证明:平面;
    (2)是否存在,使平面平面?若存在,求此时与平面所成角的正弦值;若不存在,说明理由.
    19.已知分别为椭圆的左、右焦点,分别为椭圆的左、右顶点,Px0,y0为椭圆上的动点,过动点Px0,y0作椭圆的切线.分别与直线和相交于两点,四边形的对角线相交于点,记动点的轨迹为.
    (1)证明:椭圆在点处的切线方程为.
    (2)求动点的轨迹的方程.
    (3)过点作斜率不为的直线与相交于点,直线与的交点为,判断点是否在定直线上.
    参考答案
    1.【答案】B
    【详解】由,可得,
    则直线斜率为,故倾斜角为.
    故选:B.
    2.【答案】C
    【详解】因为,所以,解得或.
    当时,重合,不合题意;
    当时,,符合题意.
    故选:C.
    3.【答案】A
    【详解】向量在向量上的投影向量为.
    故选:A
    4.【答案】D
    【详解】对于A,由,可知共面,故不能作为基底,即A错误;
    对于B,由,可知共面,故B错误;
    对于C,由,可知共面,故C错误;
    对于D,因为不存在,使得,所以不共面,即可以作为基底,故D正确.
    故选:D.
    5.【答案】A
    【详解】因为,所以的一个单位方向向量为.
    因为,
    所以点到直线的距离为.
    故选:A
    6.【答案】C
    【详解】设椭圆的左焦点为,则由椭圆的定义知,
    所以.
    当三点共线时,,
    所以的最小值为.
    故选:C.
    7.【答案】B
    【详解】连接AO,AE,PE.
    因为,

    所以.
    故选:B.
    8.【答案】D
    【详解】
    (解法1)设,
    因为,所以.
    ,所以.
    因为,所以.
    因为,所以,即,解得.
    (解法2)设,
    因为,所以,
    所以.
    因为,所以.
    因为存在.,所以在上有解.
    因为,且,
    所以在上有解,
    即在上有解.
    因为,所以,即解得.
    9.【答案】ACD
    【详解】若,则的方程可整理成,其表示焦点在轴上的椭圆,所以A正确;
    若,则的方程可整理成,其表示双曲线,渐近线方程为,所以B不正确;
    若,则的方程可整理成,其表示椭圆,离心率为,所以C正确;
    若,则的方程可整理成,其表示双曲线,离心率为,所以D正确.
    故选:ACD
    10.【答案】BC
    【详解】对于A,B,设球的内接正方体的棱长为,球的内接正方体的内切球的半径为,
    则球的内接正方体的内切球半径,球的半径,
    所以,所以表面积,体积,故A不正确,B正确;
    对于C,D,设球的内接正四面体的棱长为,球的内接正四面体的内切球半径为,如图,

    可知,,,
    由可得,解得,
    因为球的内接正四面体的体积,
    球的内接正四面体的表面积,
    又因为,
    所以球的内接正四面体的内切球半径,故C正确,D不正确.
    故选:BC.
    11.【答案】ACD
    【详解】因为为底面内的动点,且,所以,
    所以动点的轨迹是以为圆心,1为半径的圆落在底面内的部分,
    所以动点的轨迹长度为,故A正确.
    如图,建立空间直角坐标系,则,
    设,因为,所以.
    因为无解,
    所以不存在满足条件的点,故B错误.
    设平面的法向量为n=x,y,z,因为,
    所以令,得.因,
    所以点到平面的距离,
    当时,,所以C确.
    当或时,,所以D正确.
    故选:ACD.
    12.【答案】
    【详解】.
    故答案为:.
    13.【答案】
    【详解】由题意可得,解得,
    故正实数的取值范围是.
    故答案为:.
    14.【答案】
    【详解】圆的圆心为,半径为,
    圆心到直线的距离为,则直线与圆相离,
    设点关于的对称点为,则,解得,
    即,由对称性可知,,,
    因为为圆上一点,则,
    所以.
    当且仅当、、三点共线,且为线段与圆的交点时,
    上述两个等号同时成立,故的最小值为.
    故答案为:.
    15.【答案】(1)证明见解析
    (2)
    【详解】(1)直线:,
    令,解得,
    则直线过定点,
    圆的圆心,半径,
    而,
    因此点在圆的内部,
    所以直线与圆相交.
    (2)由(1)知,,当且仅当时,弦长最短,
    所以AB的最小值为.
    16.【答案】(1)
    (2)
    【详解】(1)由题意可知
    则,所以椭圆的方程为.
    (2)

    由题意直线l的斜率存在,如图,设Ax1,y1,Bx2,y2,则
    两式相减得,整理可得.
    因为线段的中点坐标为,所以,
    所以直线的斜率,
    故直线的方程为,即.
    17.【答案】(1)证明见解析
    (2).
    【详解】(1)证明:取的中点,连接.由为正三角形,得.
    因为平面平面且交于,所以平面,即为该三棱柱的高.
    因为三棱柱的体积,且,所以.
    因为,所以,即.
    由平面平面且交于,平面,可得平面.
    因为平面,所以.
    因为,所以.
    在菱形中,.
    又因,平面,平面,所以平面.
    (2)如图,过作直线平行于交于,以为原点,以的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系,
    则,B1,0,0,,.

    设平面的法向量为,因为.
    所以
    令,得.
    设平面的法向量为,
    因为,
    所以
    令,得.
    因为,
    所以平面与平面夹角的余弦值为.
    18.【答案】(1)证明见解析
    (2)存在,且与平面所成角的正弦值为
    【详解】(1)因为平面,
    如图,以为原点,以、的方向分别为、轴的正方向建立空间直角坐标系,
    则、、、、、,.
    因为,设点,则,
    则,解得,则,
    设平面的法向量为,因为,,
    所以,令,得.
    因为,所以,
    因为平面,所以,平面.
    (2)设平面的法向量为,
    因为,,
    所以,令,得.
    设,则,
    设平面的法向量为,
    因为,,
    所以,令,可得,
    假设平面平面,则.
    由,解得,所以.
    设与平面所成的角为,
    则,
    所以存在,使平面平面,此时与平面所成角的正弦值为.
    19.【答案】(1)证明见解析
    (2)
    (3)在
    【详解】(1)证明:联立方程组,
    消去整理得,又,
    即,
    整理得,解得,
    所以直线与椭圆有且仅有一个交点Px0,y0,
    即切线方程为.
    (2)解:由(1)中切线方程,令,得,
    令,得,
    因为,所以直线,①
    因为,所以直线,②
    由①②得.
    因为,得,
    所以动点的轨迹的方程为).
    (3)解:设直线的方程为,
    联立方程组得,
    则,所以.
    因为直线的方程为,直线的方程为,
    所以,所以,
    所以,
    整理得
    所以,即点在定直线上.

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