吉林省2024−2025学年高二上学期11月期中联考 数学试题(含解析)
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这是一份吉林省2024−2025学年高二上学期11月期中联考 数学试题(含解析),共15页。试卷主要包含了单选题,多选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
一、单选题(本大题共8小题)
1.直线的倾斜角为( )
A.B.C.D.
2.若直线与直线平行,则( )
A.B.C.1D.
3.已知向量,,则向量在向量上的投影向量为( )
A.B.C.D.
4.若构成空间的一个基底,则下列选项中能作为基底的是( )
A.B.
C.D.
5.空间内有三点,则点到直线的距离为( )
A.B.C.D.
6.已知椭圆的右焦点为,上顶点为,点是上一点,则的最小值为( )
A.B.C.D.
7.如图,在棱长为3的正四面体中,为的中心,为PA的中点,,则( )
A.2B.3C.4D.6
8.如图,已知半椭圆与半椭圆组成的曲线称为“果圆”,其中.“果圆”与轴的交点分别为,与轴的交点分别为,点为半椭圆上一点(不与重合),若存在.,则半椭圆的离心率的取值范围为( )
A.B.C.D.
二、多选题(本大题共3小题)
9.已知曲线,则下列说法正确的是( )
A.若,则是椭圆,其焦点在轴上
B.若,则是双曲线,其渐近线方程为
C.若,则是椭圆,其离心率为
D.若,则是双曲线,其离心率为
10.已知球的半径为,则( )
A.球的内接正方体的内切球表面积为
B.球的内接正方体的内切球体积为
C.球的内接正四面体的内切球半径为
D.球的内接正四面体的内切球半径为
11.如图,正方体的棱长为分别为的中点,为底面内的动点,且,则( )
A.动点的轨迹长度为
B.存在点,使异面直线与所成的角为
C.点到平面的距离的最小值为
D.点到平面的距离的最大值为
三、填空题(本大题共3小题)
12.在平行六面体中,设,则 .(用表示)
13.若点在圆的外部,则正实数的取值范围是 .
14.已知圆,直线,为直线上一动点,为圆上一动点,定点,则的最小值为 .
四、解答题(本大题共5小题)
15.已知直线,圆.
(1)证明:直线与圆相交.
(2)记直线与圆的交点为,求AB的最小值.
16.已知椭圆的焦距为12,长半轴长为.
(1)求椭圆的方程;
(2)直线与椭圆相交于两点,若线段的中点坐标为,求直线的方程.
17.如图,在体积为的三棱柱中,平面平面,,.
(1)证明:平面.
(2)求平面与平面夹角的余弦值
18.如图,在三棱台中,平面,,,,是棱的中点,为棱上一动点.
(1)若,证明:平面;
(2)是否存在,使平面平面?若存在,求此时与平面所成角的正弦值;若不存在,说明理由.
19.已知分别为椭圆的左、右焦点,分别为椭圆的左、右顶点,Px0,y0为椭圆上的动点,过动点Px0,y0作椭圆的切线.分别与直线和相交于两点,四边形的对角线相交于点,记动点的轨迹为.
(1)证明:椭圆在点处的切线方程为.
(2)求动点的轨迹的方程.
(3)过点作斜率不为的直线与相交于点,直线与的交点为,判断点是否在定直线上.
参考答案
1.【答案】B
【详解】由,可得,
则直线斜率为,故倾斜角为.
故选:B.
2.【答案】C
【详解】因为,所以,解得或.
当时,重合,不合题意;
当时,,符合题意.
故选:C.
3.【答案】A
【详解】向量在向量上的投影向量为.
故选:A
4.【答案】D
【详解】对于A,由,可知共面,故不能作为基底,即A错误;
对于B,由,可知共面,故B错误;
对于C,由,可知共面,故C错误;
对于D,因为不存在,使得,所以不共面,即可以作为基底,故D正确.
故选:D.
5.【答案】A
【详解】因为,所以的一个单位方向向量为.
因为,
所以点到直线的距离为.
故选:A
6.【答案】C
【详解】设椭圆的左焦点为,则由椭圆的定义知,
所以.
当三点共线时,,
所以的最小值为.
故选:C.
7.【答案】B
【详解】连接AO,AE,PE.
因为,
,
所以.
故选:B.
8.【答案】D
【详解】
(解法1)设,
因为,所以.
,所以.
因为,所以.
因为,所以,即,解得.
(解法2)设,
因为,所以,
所以.
因为,所以.
因为存在.,所以在上有解.
因为,且,
所以在上有解,
即在上有解.
因为,所以,即解得.
9.【答案】ACD
【详解】若,则的方程可整理成,其表示焦点在轴上的椭圆,所以A正确;
若,则的方程可整理成,其表示双曲线,渐近线方程为,所以B不正确;
若,则的方程可整理成,其表示椭圆,离心率为,所以C正确;
若,则的方程可整理成,其表示双曲线,离心率为,所以D正确.
故选:ACD
10.【答案】BC
【详解】对于A,B,设球的内接正方体的棱长为,球的内接正方体的内切球的半径为,
则球的内接正方体的内切球半径,球的半径,
所以,所以表面积,体积,故A不正确,B正确;
对于C,D,设球的内接正四面体的棱长为,球的内接正四面体的内切球半径为,如图,
可知,,,
由可得,解得,
因为球的内接正四面体的体积,
球的内接正四面体的表面积,
又因为,
所以球的内接正四面体的内切球半径,故C正确,D不正确.
故选:BC.
11.【答案】ACD
【详解】因为为底面内的动点,且,所以,
所以动点的轨迹是以为圆心,1为半径的圆落在底面内的部分,
所以动点的轨迹长度为,故A正确.
如图,建立空间直角坐标系,则,
设,因为,所以.
因为无解,
所以不存在满足条件的点,故B错误.
设平面的法向量为n=x,y,z,因为,
所以令,得.因,
所以点到平面的距离,
当时,,所以C确.
当或时,,所以D正确.
故选:ACD.
12.【答案】
【详解】.
故答案为:.
13.【答案】
【详解】由题意可得,解得,
故正实数的取值范围是.
故答案为:.
14.【答案】
【详解】圆的圆心为,半径为,
圆心到直线的距离为,则直线与圆相离,
设点关于的对称点为,则,解得,
即,由对称性可知,,,
因为为圆上一点,则,
所以.
当且仅当、、三点共线,且为线段与圆的交点时,
上述两个等号同时成立,故的最小值为.
故答案为:.
15.【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】(1)直线:,
令,解得,
则直线过定点,
圆的圆心,半径,
而,
因此点在圆的内部,
所以直线与圆相交.
(2)由(1)知,,当且仅当时,弦长最短,
所以AB的最小值为.
16.【答案】(1)
(2)
【详解】(1)由题意可知
则,所以椭圆的方程为.
(2)
由题意直线l的斜率存在,如图,设Ax1,y1,Bx2,y2,则
两式相减得,整理可得.
因为线段的中点坐标为,所以,
所以直线的斜率,
故直线的方程为,即.
17.【答案】(1)证明见解析
(2).
【详解】(1)证明:取的中点,连接.由为正三角形,得.
因为平面平面且交于,所以平面,即为该三棱柱的高.
因为三棱柱的体积,且,所以.
因为,所以,即.
由平面平面且交于,平面,可得平面.
因为平面,所以.
因为,所以.
在菱形中,.
又因,平面,平面,所以平面.
(2)如图,过作直线平行于交于,以为原点,以的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系,
则,B1,0,0,,.
设平面的法向量为,因为.
所以
令,得.
设平面的法向量为,
因为,
所以
令,得.
因为,
所以平面与平面夹角的余弦值为.
18.【答案】(1)证明见解析
(2)存在,且与平面所成角的正弦值为
【详解】(1)因为平面,
如图,以为原点,以、的方向分别为、轴的正方向建立空间直角坐标系,
则、、、、、,.
因为,设点,则,
则,解得,则,
设平面的法向量为,因为,,
所以,令,得.
因为,所以,
因为平面,所以,平面.
(2)设平面的法向量为,
因为,,
所以,令,得.
设,则,
设平面的法向量为,
因为,,
所以,令,可得,
假设平面平面,则.
由,解得,所以.
设与平面所成的角为,
则,
所以存在,使平面平面,此时与平面所成角的正弦值为.
19.【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)在
【详解】(1)证明:联立方程组,
消去整理得,又,
即,
整理得,解得,
所以直线与椭圆有且仅有一个交点Px0,y0,
即切线方程为.
(2)解:由(1)中切线方程,令,得,
令,得,
因为,所以直线,①
因为,所以直线,②
由①②得.
因为,得,
所以动点的轨迹的方程为).
(3)解:设直线的方程为,
联立方程组得,
则,所以.
因为直线的方程为,直线的方程为,
所以,所以,
所以,
整理得
所以,即点在定直线上.
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