2024年陕西省榆林市子洲县周家硷中学中考数学二模试卷

这是一份2024年陕西省榆林市子洲县周家硷中学中考数学二模试卷，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）﹣5的倒数是（ ）
A．B．﹣C．﹣5D．5
2．（3分）如图，下列选项中不是四棱柱的三视图的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（3分）如图，AB，CD被直线EF所截，且AB∥CD，EG平分∠FEB，过点G作GH⊥EF，若∠FGH＝34°，则∠BEG的度数为（ ）
A．63°B．62°C．58°D．57°
4．（3分）计算：＝（ ）
A．B．
C．D．
5．（3分）在平面直角坐标系中，直线l1：y＝mx+m2（m是不等于0的常数）与x轴交于点A，与y轴交于点B（0，9），若直线l2与l1关于y轴对称，l2与x轴的交点为点A′，则△ABA′的面积是（ ）
A．18B．27C．54D．81
6．（3分）如图，在矩形ABCD中，点E在BC上，AE＝AD＝5，AB＝3，DG⊥AE，垂足为G，AE与DC的延长线交于点F，则CF的长是（ ）
A．B．C．D．
7．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD＝90°，∠ADC＝105°，AD＝2，C为的中点，则BC的长为（ ）
A．2B．C．D．4
8．（3分）已知二次函数y＝ax2﹣2ax+3（a＜0），当﹣1≤x≤时，y的最小值是﹣3，则下列说法正确的是（ ）
A．抛物线与x轴的两个交点在y轴同侧
B．当x＞0时，y随x的增大而减小
C．抛物线与y轴交点的坐标是（0，4）
D．该抛物线的顶点坐标是（1，5）
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9．（3分）一元二次方程x2＝5x的解为 ．
10．（3分）2023年10月29日，35000名马拉松跑者汇聚西安，用运动点燃健康活力，用奔跑感受古城文化．数据35000用科学记数法表示为 ．
11．（3分）工人师傅选用三种规格的边长都是1m的正多边形地砖铺地．他先用两块正六边形地砖和一块正方形地砖铺成如图所示的图形，若再用一块正多边形地砖无缝隙不重叠地铺在∠AOB处，则选用的这块正多边形地砖的周长是 米．
12．（3分）如图，△AOB在平面直角坐标系内，点B的坐标为（7，0），∠AOB＝45°，tan∠ABO＝，若反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点A，则k的值是 ．
13．（3分）如图，在矩形ABCD中，将边BC绕点B逆时针旋转至BE，连接CE，DE，AE，若∠CED＝90°，且CE＝4，DE＝3，则△ADE的面积为 ．
三、解答题（共13小题，计81分.解答应写出过程）
14．（5分）计算：．
15．（5分）化简：．
16．（5分）求不等式组的整数解．
17．（5分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝72°，请用尺规作图法，在边AB上求作一点D，边BC上求作一点E，使△CDE是以27°角为底角的等腰三角形．（保留作图痕迹，不写作法）
18．（5分）如图，在四边形ABCD，AD∥BC，AC＝DA，DF⊥AC，AE⊥BC，求证：AE＝DF．
19．（5分）一个不透明的袋子中装有4个小球，小球上分别标记数字1，2，3，5，它们除数字不同外其他完全相同．
（1）若从袋子中随机摸出1个小球，则小球上的数字是奇数的概率是 ．
（2）若从袋子中随机摸出1个小球，记录下球上的数字，放回，摇匀，再随机从中摸出1个小球，记录下球上的数字，请利用列表或画树状图的方法，求摸出的2个小球上的数字之和大于5的概率．
20．（5分）某校九（1）班的学生在两位老师的组织下到历史博物馆珍宝馆进行研学，珍宝馆门票每张30元，现有两种团体优惠方案可供选择，方案一：全部人员打八折．方案二：5人免票，其余人员打九折．班长思考了一会说：“算上两位老师的话，两种方案要付的钱是一样的．”求九（1）班的学生人数．
21．（6分）某晚小乐在路边散步，他想利用所学的数学知识测量路灯AB的高度，路灯下方因为有一个花坛而不可抵达底部．当他站在点C处时，他头顶的影子恰好落在点E处，测量得知影子EC的长与他的身高一样为1.8米，与此同时，他发现路灯右侧有一个平台，当他站在平台HP上时，测得点A的仰角（α≈53.13°，平台的高是1.9米（即HF＝1.9米），小乐的眼睛到平台HP的距离为1.7米（即GH＝1.7米），点C到点F的距离为6米．请你帮助他计算出路灯AB的高度．（所有的点均在同一平面内，E，C，B，F，Q在同一直线上，参考数据：（，，）
22．（7分）为提高学生的劳动技能，某学校开辟了一块空地并在空地上建有大棚．数学兴趣小组在空地上种下某速生植物的种子，种植后第5天种子刚刚发芽（记长度为0cm），组员在每天同一时间对该植物的长度进行了测量并记录，第10天该植物的长度为20cm，经过研究发现该植物的长度y（单位：cm）与种植时间x（单位：天）成一次函数关系．
（1）请根据以上信息在所给的平面直角坐标系中画出函数图象．
（2）求第20天该植物的长度．
23．（7分）为了进一步落实“双减”政策，某校随机抽取了七年级部分学生，对他们每天的作业项目、作业量、完成时间等情况进行了调研，制作了问卷调查表，调查完毕后对问卷结果进行了统计分析，并绘制了如下统计图表．（不足一分钟按一分钟算）
频数分布表
根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次对 名学生进行了问卷调查，频数a＝ ；
（2）本次问卷调查中完成作业的总时长的中位数落在 组．
（3）求这些被调查的学生完成所有作业的平均总时长．（结果四舍五入，保留整数）
24．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点O在边AC上，且∠CBO＝∠CAB，过点A作AD⊥BO交BO的延长线于点D，以点O为圆心，OD的长为半径作⊙O交BO于点E．
（1）求证：AB是⊙O的切线．
（2）若⊙O的半径为5，BE＝8，求线段AB的长．
25．（8分）抛物线Ly＝+bx+c与x轴交于点．A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C（0，﹣1）
（1）求抛物线L的函数表达式．
（2）抛物线L关于原点对称的抛物线记为L′，点P在抛物线L上，点P在抛物线L′上的对应点记为点Q，若四边形APBQ的面积为6，求点P的坐标．
26．（10分）
（1）如图1，AB∥CD，AB＝1，CD＝2，AD，BC交于点E，若AD＝4，则AE＝ ；
（2）如图2，矩形ABCD内接于⊙O，，点P在上运动，求△PBC的面积的最大值；
（3）为了提高居民的生活品质，市政部门计划把一块边长为120米的正方形荒地ABCD（如图3）改造成一个户外休闲区，计划在边AD，BC上分别取点P，Q，修建一条笔直的通道PQ，要求CQ＝2AP，过点B作BE⊥PQ于点E，在点E处修建一个应急处理中心，再修建三条笔直的道路BE，CE，DE，并计划在△CDE内种植花卉，△DEP内修建老年活动区，△BCE内修建休息区，在四边形ABEP内修建儿童游乐园．问种植花卉的△CDE的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．
2024年陕西省榆林市子洲县周家硷中学中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分.每小题只有一个选项是符合题意的）
1．【分析】根据倒数的意义进行解答即可．
【解答】解：∵（﹣5）×（﹣）＝1，
∴﹣5的倒数是﹣．
故选：B．
【点评】本题考查的是倒数，熟知乘积是1的两数互为倒数是解答此题的关键．
2．【分析】根据从正面，上面，左面看得到的视图即可求解．
【解答】解：四棱柱的主视图是：
左视图是：
俯视图是：
∴不是四棱柱的三视图的是，
故选：A．
【点评】本题考查了三视图，熟知三视图从物体的正面，上面，左面看得到的视图是解题的关键．
3．【分析】先在△FHG中通过三角形内角和定理得出∠EFG度数，再由平行线的性质求出∠FEB的度数，最后由角平分线的性质即可求出答案．
【解答】解：∵GH⊥EF，∠FGH＝34°，
∴∠EFG＝180°﹣90°﹣34°＝56°，
∵AB∥CD，
∴∠FEB+∠EFG＝180°，
∴∠FEB＝124°，
∵EG平分∠FEB，
∴．
故选：B．
【点评】本题考查了平行线的性质，三角形的内角和定理以及角平分线的性质，正确熟练运用知识点进行角度计算是解答本题的关键．
4．【分析】先计算积的乘方法，再计算各自幂的乘方乘方，最后把积相乘即可．
【解答】解：．
故选：C．
【点评】本题考查了积的乘方，幂的乘方运算，掌握相应的运算法则是关键．
5．【分析】利用与y轴交于点B（0，9），算出m的值，得到直线解析式，算出l1与x轴的交点A，再根据直线l2与l1关于y轴对称，l2与x轴的交点为点A′，得到点A′的坐标，最后利用三角形面积公式求解，即可解题．
【解答】解：∵与y轴交于点B（0，9），
∴m2＝9，
解得m＝±3，
当m＝3时，直线l1：y＝3x+9，
当y＝0时，x＝﹣3，如图1，
∴A（﹣3，0），
∵直线l2与l1关于y轴对称，l2与x轴的交点为点A′，
∴A′（3，0），
∴△ABA′的面积是，
当m＝﹣3时，直线l1：y＝﹣3x+9，
当y＝0时，x＝3，如图2，
∴A（3，0），
∵直线l2与l1关于y轴对称，l2与x轴的交点为点A′，
∴A′（﹣3，0），
∴△ABA′的面积是．
故答案为：B．
【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换待定系数法，求一次函数解析式，一次函数的坐标特点，以及对称的性质，解答本题的关键是熟练掌握对称的性质．
6．【分析】由四边形ABCD是矩形，得AB＝CD＝3，AD＝BC＝5，∠ADC＝∠B＝∠BCD＝90°，再由勾股定理求出BE＝4，则有EC＝1，再证△EFC∽△AFD，由相似三角形的性质即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝3，AD＝BC＝5，∠ADC＝∠B＝∠BCD＝90°，
∴∠ECF＝∠ABF＝90°，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：，
∴EC＝BC﹣BE＝5﹣4＝1，
∵∠EFC＝∠AFD，
∴△EFC∽△AFD，
∴，即，
∴，
故选：A．
【点评】此题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握以上知识点的应用．
7．【分析】根据C为的中点，得到BC＝DC，利用等腰三角形性质推出∠CDB＝∠CBD，利用圆内接四边形性质，得到∠DCB＝90°，推出∠CDB＝∠CBD＝45°，进而可得∠ADB，再利用解直角三角形推出，进而求得BC＝BD⋅sin45°即可解题．
【解答】解：∵C为的中点，
∴BC＝DC，
∴∠CDB＝∠CBD，
∵四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD＝90°，
∴∠DCB＝90°，
∴∠CDB＝∠CBD＝45°，
∵∠ADC＝105°，
∴∠ADB＝∠ADC﹣∠CDB＝60°，
∵AD＝2，
∴，
∴；
故选：C．
【点评】本题考查弧、弦、圆心角的关系，圆内接四边形性质，等腰三角形性质，解直角三角形，熟练掌握相关性质并灵活运用即可解题．
8．【分析】根据解析式求出抛物线对称轴，画出草图，根据条件可以得到当x＝﹣1时，y＝﹣3，从而求出a的值，得到抛物线解析式，根据抛物线的草图和解析式依次分析判断各选项即可得解．
【解答】解：二次函数y＝ax2﹣2ax+3（a＜0）的对称轴为，即x＝1，
如图画出草图，

∴选项A、B、C错误，
∵当 时，y的最小值是﹣3，
∴当x＝﹣1时，y＝﹣3，即a⋅（﹣1）2﹣2a⋅（﹣1）+3＝﹣3，
∴a＝﹣2，
∴二次函数解析式为y＝﹣2x2+4x+3，
将x＝1代入y＝﹣2x2+4x+3得到y＝5，
∴该抛物线的顶点坐标是（1，5），选项D正确．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，解题关键是根据题意画出草图．
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9．【分析】先移项，再提公因式，是每个因式为0，从而得出答案．
【解答】解：移项，得x2﹣5x＝0，
提公因式，得x（x﹣5）＝0，
x＝0或x﹣5＝0，
解得x1＝0，x2＝5，
故答案为x1＝0，x2＝5．
【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
10．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：35000＝3.5×104．
故答案为：3.5×104．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法，掌握科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，正确确定a的值以及n的值是解决问题的关键．
11．【分析】根据题意得到∠AOB的大小，结合多边形内角和列式求解即可得到答案．
【解答】解：∵一块正六边形和一块正方形地砖绕着点O进行的铺设，
∴，
∴设这块正多边形地砖的边数是n，
∴（n﹣2）×180°＝n×150°，
解得：n＝12，
∵选用三种规格的边长都是1m的正多边形地砖铺地，
∴这块正多边形地砖的周长＝12×1＝12（米），
故答案为：12．
【点评】本题考查的是密铺及正多边形的性质，掌握正多边形性质是解题的关键．
12．【分析】过点A作AH⊥x轴于H，先根据点B的坐标得到OB＝7，设OH＝4x，解Rt△AOH得到AH＝4x，再解Rt△ABH得到BH＝3x，进而得到4x+3x＝7，解方程得到OH＝AH＝4，则A（4，4），据此利用待定系数法求解即可．
【解答】解：如图所示，过点A作AH⊥x轴于H，
∵点B的坐标为（7，0），
∴OB＝7，
设OH＝4x，
在Rt△AOH中，∠AOH＝45°，∠AHO＝90°，
∴AH＝OH•tan∠AOH＝4x，
在Rt△ABH中，，
∴，
∵OH+BH＝OB＝7，
∴4x+3x＝7，
∴x＝1，
∴OH＝AH＝4，
∴A（4，4），
把A（4，4）代入中得：，
解得k＝16，
故答案为：16．
【点评】本题主要考查了解直角三角形，求反比例函数解析式，解答本题的关键是熟练掌握反比例函数的性质．
13．【分析】由∠1＝∠3，利用等角的三角函数值相等，由∠3的三角函数值，在Rt△BEG中解三角形，求出CG，BC，在Rt△DFE中解三角形中解三角形求出DF，最后代入面积公式即可．
【解答】解：如图，过点 B作BG⊥EC，垂足为G，过点E作EF⊥DC，垂足为 F，
∵∠1+∠2＝∠2+∠3＝90°，
∴∠1＝∠3，
则 ，
∵BC＝BE，BG⊥EC，CE＝4，
∴CG＝2，
∴，，
∴．
故答案为：3．
【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，还涉及矩形的性质，锐角三角函数以及三角形面积公式的运用，熟练掌握几何概念、判定与性质是解决问题的关键．
三、解答题（共13小题，计81分.解答应写出过程）
14．【分析】根据零指数幂，绝对值的性质以及二次根式的乘法法则分别化简计算即可．
【解答】解：原式＝
＝
＝．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，零指数幂，绝对值的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
15．【分析】先将括号里的异分母分式相减化为同分母分式相减，再算分式的除法运算得以化简．
【解答】解：原式＝，
＝，
＝，
＝﹣1．
【点评】本题考查了分式的化简，掌握分式的通分和约分是解题的关键．
16．【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集．
【解答】解：解不等式，得x＞﹣1，
解不等式x＞3（x﹣1），得x＜，
∴不等式组的解集为﹣1＜x＜，
∴不等式组的整数解为0，1．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的法则是解答此题的关键．
17．【分析】①作∠ACB的角平分线CD，②过DE作∠BDE＝∠A，则△CDE即为所求．
【解答】解：如图，
①作∠ACB的角平分线CD，
②过DE作∠BDE＝∠A，
∴△CDE即为所求，
∵AB＝AC，∠A＝72°，
∴∠ABC＝∠ACB＝54°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD＝27°，
∵DE∥AC，
∴∠EDC＝∠ACD＝∠BCD＝27°，
∴△CDE是等腰三角形．
【点评】本题考查了尺规作图和等腰三角形的判定，平行四边形的性质，角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握知识点的应用．
18．【分析】根据DF⊥AC，AE⊥BC得到∠AEC＝∠DFA＝90°，结合AD∥BC得到∠ACE＝∠DAF，利用△ACE≌△DAF（AAS）证明即可，
【解答】证明：∵DF⊥AC，AE⊥BC，
∴∠AEC＝∠DFA＝90°，
∵AD∥BC，
∴∠ACE＝∠DAF．
在△ACE与△DAF中，
，
∴△ACE≌△DAF（AAS），
∴AE＝DF．
【点评】本题考查了三角形全等的判定和性质，熟练掌握判定定理是解题的关键．
19．【分析】（1）奇数有3个，总数4个，利用概率计算公式即可．
（2）列表得出所有等可能的结果数以及符合题意的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：（1）∵奇数有1，3，5三个，总数四个，
∴．
故答案为：；
（2）列表法下：
由上表可知，共有16种等可能的结果，其中两数之和大于5 的结果共有8种，
∴摸出的 2 个小球上的数字之和大于5 的概率为：．
【点评】本题考查了列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
20．【分析】设共有x名师生参观珍宝馆，根据两种方案要付的钱是一样的，列出方程进行求解即可．
【解答】解：设共有x名师生参观珍宝馆，
依题意，有 ，
解得x＝45，
∴学生共有45﹣2＝43（人）．
答：九（1）班的学生人数为43，
【点评】本题考查一元一次方程的实际应用，关键是根据题意找到等量关系式，
21．【分析】过点G作GN⊥AB交AB于点N．得到，设AN＝4a，则NG＝3a，证明四边形BFGN为矩形，得到BF、NB，证明△DCE∽△ABE，推出AB＝BE，根据AB＝BE建立等式算出a值，即可解题．
【解答】解：如图，过点G作GN⊥AB交AB于点N．
在Rt△ANG中，∠ANG＝90°，
∴tan53.13°＝≈，
设AN＝4a米，则NG＝3a米，
∵AB⊥CF，GF⊥CF，GN⊥AB，
∴∠ABF＝∠CFB＝∠GNB＝90°，
∴四边形BFGN为矩形，
∴GF＝GH+HF＝1.7+1.9＝3.6米，
∴BF＝NG＝3a米．
∴AB＝（3.6+4a）米
∴BE＝1.8+6﹣3a＝（7.8﹣3a）米，
∴∠DCE＝∠ABE＝90°，∠E＝∠E，
∴△DCE∽△ABE，
∴＝，
∵DC＝CE，
∴AB＝BE，
∴3.6+4a＝7.8﹣3a，
解得a＝0.6，
∴AB＝3.6+4a＝3.6+4×0.6＝6 （米）．
答：路灯AB的高度约为6米．
【点评】本题考查矩形的性质和判定，解直角三角形，以及相似三角形的性质和判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解答本题的关键．
22．【分析】采用描点法，将题干中数值在图上描出，在用平滑的直线连接即可．先设出一次函数解析式y＝kx+b（k≠0），再将（5，0）和（10，20）代入求出k、b即可．
【解答】解：（1）列表如下：
作图如下图所示：
（2）设y＝kx+b（k≠0），将（5，0）和（10，20）代入，
得 ，
解得：，
∴y＝4x﹣20（x≥5）．
当x＝20时，y＝60．
答：第20天该植物的长度是60cm．
【点评】本题考查了一次函数的应用，主要利用了待定系数法来求一次函数解析式，已知自变量求函数值，仔细观察函数图象，准确代入信息是解题关键．
23．【分析】（1）先求出总人数，再用总人数减去其他组的人数即可；
（2）根据中位数的定义可得答案；
（3）用求算术平均数的公式计算即可．
【解答】解：（1）；
故答案为：180；69；
（2）因为本次调查了解180名同学，中位数是第90、91个的平均数，A组22名，B组69名，22+69＝91，
所以中位数在B组；
故答案为：B．
（3）设被调查的学生完成所有作业的平均总时长为x分钟．

≈69（分钟）．
答：这些被调查的学生完成所有作业的平均总时长为69分钟
【点评】本题考查读频数分布表的能力和利用统计图表获取信息的能力；利用统计图表获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图表，才能作出正确的判断和解决问题．
24．【分析】（1）过点O作OF⊥AB，垂足为F．根据AD⊥BO，结合∠AOD＝∠BOC，得到∠DAO＝∠CBO，结合∠CBO＝∠CAB，得∠DAO＝∠BAO，证明OD＝OF即可证明AB是⊙O的切线．
（2）⊙O的半径为5，BE＝8，由题意得 OB＝13，OF＝5．根据勾股定理计算BF，再证明△OBF∽△ABD即可．
【解答】解：（1）过点O作OF⊥AB，垂足为F．
∵AD⊥BO，∠C＝90°，∠AOD＝∠BOC，
∴∠DAO＝∠CBO，
∵∠CBO＝∠CAB，
∴∠DAO＝∠BAO，
∵AD⊥BO，OF⊥AB，
∴OD＝OF，
即OF为⊙O的半径，
∴AB是⊙O的切线．
（2）∵⊙O的半径为5，BE＝8，
由题意得 OB＝13，OF＝5．
在Rt△OBF中，由勾股定理可得 ．
∵∠OBF＝∠ABD，∠OFB＝∠ADB，
∴△OBF∽△ABD，
∴
∴
∴．
【点评】本题考查了切线的证明，三角形相似，熟练掌握切线的证明是解题的关键．
25．【分析】（1）用待定系数法求函数解析式即可；
（2）根据P与Q关于原点对称可以得到，然后得出yP＝±2，再把yP＝±2代入中，求出x即可．
【解答】解：（1）将点A（﹣1，0）和点C（0，﹣1）代入 中，
得 ，
解得 ，
∴抛物线L的函数表达式是 ，
（2）当y＝0时，，
解得 x1＝﹣1，x2＝2，
∴点A 的坐标是（﹣1，0），点 B的坐标是（2，0），
∴AB＝3，
∵如图，点 P 与点Q关于原点对称，
∴，
∴，
∴解得yP＝±2，
当yp＝2时，，
解得 x1＝3，x2＝﹣2，
∴P1（3，2），P2（﹣2，2）；
当yp＝﹣2时，，此方程无解．
综上所述，点P的坐标是（3，2）或（﹣2，2）．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的解析式，二次函数关于原点对称的特征，四边形的面积转化为三角形的面积问题，其中（2）要注意分类求解，避免遗漏．
26．【分析】（1）由AB∥CD得△ABE∽△DCE，得对应成比例的线段，于是得到结论；
（2）当PO⊥BC时，△PBC的面积有最大值，解直角三角形求出△PBC的高即可得到结论；
（3）连接AC交 PQ于点M，作△BME的外接圆⊙O，过点O作 OF2⊥DC于点 F2，交MR于点 E2，交AB于点I，连接 E2D，E2C，此时△E2CD的面积最小．
【解答】解：（1）∵AB∥CD，
∴△ABE∽△DCE，
∴，即 ，
∴设AE＝a，DE＝2a，
∴a+2a＝4，解得 ．
故答案为：；
（2）如图1，连接AC．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，
∴AC是⊙O的直径．
在Rt△ABC中，，
∴∠BPC＝∠BAC＝60°
过点O作OE⊥BC，垂足为E，延长EO交于点 P2，
连接 P2B，P2C，此时△P2BC的面积最大．
理由：在上任意另取一点P1，过点P1作 P1E1⊥BC，垂足为 E1，
连接 P1O，P1E，则 OP2+OE＝OP3+OE＞P1E＞P1E1，即 P2E＞P1E1，
∴当P2，O，E三点共线，且 P2E⊥BC时，P2E最大，即△PBC的面积最大．
连接OB，则∠BOC＝2∠BPC＝120°．
在Rt△OBE中，． ，
∴，
∴S△PBC＝，
（3）如图2，连接AC交 PQ于点M．

∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，AB＝BC＝120，∠ABC＝90°，∠CAB＝45°，
∴．
∵AD∥BC，
∴∠MAP＝∠MCQ，∠MPA＝∠MQC，
∴△AMP∽△CMQ，
∴，
∴．
过点 M作MN⊥AB于点N，
∴AB∥MN∥CD，
∴，
∵AN+BN＝120，
∴AN＝40，BN＝80．
在 Rt△MNB中，根据勾股定理得 ，
作△BME的外接圆⊙O，则O为BM的中点，
且点 E 在上运动，
过点O作 OF2⊥DC于点 F2，交MR于点 E2，交AB于点I，
连接 E2D，E2C，此时△E2CD的面积最小．
理由：在MR上任意另取一点E1，
过点E1作 E1F1⊥DC于点 F1，连接 OE1，OF1，
则 OE1+E1F1＞OF1＞OF2，即 E1F1＞E2F2
∴当O，E2，F2三点共线，且 OF2⊥CD时，E2F2最小，即△CDE的面积最小．
由题意可得四边形BCF2I为矩形，
∴F2I＝BC＝120．
∵∠OBI＝∠MBN，∠OIB＝∠MNB，
∴△OBI∽△MBN，
∴，
∴OI＝20，
∴，
∴S△CDE的最小值＝平方米．
【点评】本题考查了正方形的性质和判定，矩形的性质，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，正确的理解题意，画出图形是解题的关键．
组别
所有作业完成的总时长t/分钟
频数
组内学生完成所有作业总时长的平均值
A组
0＜t≤30
22
25
B组
30＜t≤60
a
50
C组
60＜t≤90
56
80
D组
90＜t≤120
28
115
E组
t＞120
5
130
1
2
3
5
1
2
3
4
6
2
3
4
5
7
3
4
5
6
8
5
6
7
8
10
x
．．．
5
10
．．．
y
．．．
0
20
．．．