2024年湖北省孝感市中考数学一模试卷

这是一份2024年湖北省孝感市中考数学一模试卷，共30页。试卷主要包含了选择题，四象限，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列各数中最小的是（ ）
A．﹣B．C．﹣2D．2
2．（3分）我国古代典籍《周易》中的“八卦”思想对我国建筑有一定的影响．如图是受“八卦”的启示，创作的正八边形窗户平面图，则对该图的对称性表述正确的是（ ）
A．只是轴对称图形
B．只是中心对称图形
C．既是轴对称图形，又是中心对称图形
D．既不是轴对称图形，又不是中心对称图形
3．（3分）1月9日，中国国家铁路集团有限公司发布数据称，2023年全年，国家铁路完成旅客发送量36.8亿人次，高峰日发送旅客突破2000万人次，全年和高峰日旅客发送量均创历史新高，其中数据“36.8亿”用科学记数法表示为（ ）
A．3.68×109B．36.8×109
C．3.68×1010D．0.368×1010
4．（3分）如图是一个由5个相同的小正方体组成的几何体，它的左视图是（ ）
A．B．C．D．
5．（3分）下列运算中正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6B．a2﹣2a2＝﹣a2
C．a8÷a4＝a2D．（a2）3＝a5
6．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．成语“刻舟求剑”描述的是必然事件
B．了解央视春晚的收视率适合用抽样调查
C．调查某品牌烟花的合格率适合用全面调查
D．如果某彩票的中奖率是1%，那么一次购买100张彩票一定会中奖
7．（3分）如图，将一个等腰直角三角形放在两条平行线上，若∠1＝50°，则∠2的度数为（ ）
A．75°B．80°C．85°D．90°
8．（3分）反比例函数y＝的图象经过点（3，﹣1），则下列说法错误的是（ ）
A．k＝﹣3
B．函数图象分布在第二、四象限
C．函数图象关于原点中心对称
D．当x＜0时，y随x的增大而减小
9．（3分）如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB，D为圆周上一点，若∠ADC的度数为35°，则∠ABO的度数为（ ）
A．15°B．20°C．25°D．30°
10．（3分）如图所示，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的对称轴是直线x＝1，且经过点（0，2）．有下列结论：①abc＞0；②a+b≥m（am+b）（m为常数）；③若（2，y1）为，（﹣2，y3）在该函数图象上，则y3＜y1＜y2；④﹣．其中正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分．请把答案填在答题卡相应题号的横线上）
11．（3分）若＞20240，则正整数a可以为 ．
12．（3分）若一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的两个实数根为x1，x2，则x1+x2﹣x1x2的值为 ．
13．（3分）如图，电路上有①、②、③3个开关和一个小灯泡，若任意闭合电路上2个开关，则小灯泡发光的概率为 ．
14．（3分）小明学习相交直线时发现：3条直线两两相交最多有3个交点，4条直线两两相交最多有6个交点，按照这样的规律，（1）5条直线两两相交最多有 个交点；（2）n条直线两两相交最多有 个交点．（用含有字母n的式子表示，n≥3）
15．（3分）如图，平行四边形ABCD中，AB＝4，BC＝，∠ABC＝120°，点E在AD上，将△ABE沿BE折叠得到△A′BE，若点A′恰好在线段CE上，则AE的长为 ．
三、解答题（本大题共9小题，满分75分，请认真读题，冷静思考，解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请把解题过程写在答题卡相应题号的位置）
16．（6分）先化简，再求值：，其中m＝﹣3+2．
17．（6分）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA＝OB＝5，AB＝6，求▱ABCD的面积．
18．（6分）“阅读陪伴成长，书香润泽人生”．启智学校本学期准备开展学生阅读活动，并计划网购甲、乙两种图书．已知甲种图书每本的价格比乙种图书每本的价格多5元，购买150本甲种图书和200本乙种图书共需6000元．求甲、乙两种图书每本的价格各是多少元？
19．（8分）“感受数学魅力，提升数学素养”，思远中学在校开展了数学文化知识竞赛，现从七年级和八年级参加竞赛的学生中各随机抽取了10名学生的成绩进行整理、描述和分析（单位：分，满分100分，成绩均不低于70分，90分及90分以上为优秀），并将学生竞赛成绩分为A，B，C三个等级：A：70≤x＜80，B：80≤x＜90，C：90≤x＜100．
下面给出了部分信息：
抽取的七年级10名学生的竞赛成绩为：75，76，84，84，84，86，86，94，95，96；
抽取的八年级10名学生的竞赛成绩在B等级的为：81，83，84，88，88．
两个年级抽取的学生成绩的平均数、中位数、众数如表所示：
抽取的八年级学生竞赛成绩扇形统计图如图所示．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：a＝ ，b＝ ，β＝ ；
（2）根据以上数据，请你对七年级竞赛成绩作出分析？（写一条即可）；
（3）若八年级共有300名学生参赛，请你估计八年级参赛学生中成绩为优秀的人数．
20．（8分）如图①是某款智能磁吸键盘，如图②是平板吸附在该款设备上的照片，图③是图②的示意图．已知BC＝8cm，CD＝20cm，∠BCD＝63°．当AE与BC形成的∠ABC为116°时，求DE的长．（参考数据：sin63°≈0.90，cs63°≈0.45，ct63°≈0.50；sin53°≈0.80，cs53°≈0.60，ct53°≈0.75）
21．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，O为AB上一点，经过点A、D的⊙O分别交边AB、AC于点E、F．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若BE＝4，，求阴影部分的面积．
22．（10分）网络直播带货已成为一种新业态，某网店尝试用60天的时间，按单价随天数而变化的直播带货模式销售一种成本为10元/每件的商品，经过统计得到此商品的日销售量m（件）、销售单价n（元/件）在第x天（x为正整数）销售的相关信息：
①m与x满足一次函数关系，且第1天的日销售量为98件，第4天的日销售量为92件；
②n与x的函数关系如图所示；
（1）第5天的日销售量 件；n与x的函数关系式为 ．
（2）在这60天中，网店哪天销售该商品的日利润y最大？最大是多少元？
（3）在这60天中，共有多少天日利润y不低于2418元？
23．（11分）【问题情境】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝kBC，CD是AB边上的高，点E是DB上一点，连接CE，过点A作AF⊥CE于F，交CD于点G．
（1）【特例证明】如图1，当k＝1时，求证：DG＝DE；
（2）【类比探究】如图2，当k≠1时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请指出此时DG与DE的数量关系，并说明理由；
（3）【拓展运用】如图3，连接DF，若k＝，AC＝AE，DG＝3，求DF的长．
24．（12分）如图1，已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C，连接BC．
（1）求a，b的值及直线BC的解析式；
（2）如图1，点P是抛物线上位于直线BC上方的一点，连接AP交BC于点E，过P作PF⊥x轴于点F，交BC于点G，（i）若EP＝EG，求点P的坐标；
（ⅱ）连接CP，CA，记△PCE的面积为S1，△ACE的面积为S2，求的最大值；
（3）如图2，将抛物线位于x轴下方面的部分不变，位于x轴上方面的部分关于x轴对称，得到新的图形，将直线BC向下平移n个单位，得到直线l，若直线l与新的图形有四个不同交点，请直接写出n的取值范围．
2024年湖北省孝感市中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分，在每小题给出的四个选项中只有一个正确选项，请在答题卡上把正确答案的代号涂黑）
1．（3分）下列各数中最小的是（ ）
A．﹣B．C．﹣2D．2
【分析】根据正数大于0，0大于负数，可得答案．
【解答】解：﹣2＜﹣＜＜2，
则最小的是：﹣2．
故选：C．
【点评】本题考查了有理数比较大小，正数大于0，0大于负数是解题关键．
2．（3分）我国古代典籍《周易》中的“八卦”思想对我国建筑有一定的影响．如图是受“八卦”的启示，创作的正八边形窗户平面图，则对该图的对称性表述正确的是（ ）
A．只是轴对称图形
B．只是中心对称图形
C．既是轴对称图形，又是中心对称图形
D．既不是轴对称图形，又不是中心对称图形
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：该图既是轴对称图形，又是中心对称图形．
故选：C．
【点评】本题主要考查了中心对称和轴对称图形的定义，中心对称图形是在平面内，把一个图形绕某一定点旋转180°，能够与自身重合的图形．轴对称图形是在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．
3．（3分）1月9日，中国国家铁路集团有限公司发布数据称，2023年全年，国家铁路完成旅客发送量36.8亿人次，高峰日发送旅客突破2000万人次，全年和高峰日旅客发送量均创历史新高，其中数据“36.8亿”用科学记数法表示为（ ）
A．3.68×109B．36.8×109
C．3.68×1010D．0.368×1010
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，据此判断即可．
【解答】解：36.8亿＝3.680000000＝3.68×109．
故选：A．
【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键．
4．（3分）如图是一个由5个相同的小正方体组成的几何体，它的左视图是（ ）
A．B．C．D．
【分析】找到从左面看所得到的图形即可．
【解答】解：从左面看易得下面一层有2个正方形，上面一层左边有1个正方形，
如图所示：
．
故选：C．
【点评】本题考查了三视图的知识，掌握所有的看到的棱都应表现在左视图中．
5．（3分）下列运算中正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6B．a2﹣2a2＝﹣a2
C．a8÷a4＝a2D．（a2）3＝a5
【分析】利用同底数幂的乘法的法则，合并同类项的法则，同底数幂的除法的法则，幂的乘方的法则对各项进行运算即可．
【解答】解：A、a2•a3＝a5，故A不符合题意；
B、a2﹣2a2＝﹣a2，故B符合题意；
C、a8÷a4＝a4，故C不符合题意；
D、（a2）3＝a6，故D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题主要考查同底数幂的除法，合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
6．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．成语“刻舟求剑”描述的是必然事件
B．了解央视春晚的收视率适合用抽样调查
C．调查某品牌烟花的合格率适合用全面调查
D．如果某彩票的中奖率是1%，那么一次购买100张彩票一定会中奖
【分析】根据概率的意义，全面调查与抽样调查，随机事件的特点，逐一判断即可解答．
【解答】解：A、成语“刻舟求剑”描述的是不可能事件，故A不符合题意；
B、了解央视春晚的收视率适合用抽样调查，故B符合题意；
C、调查某品牌烟花的合格率适合用抽样调查，故C不符合题意；
D、如果某彩票的中奖率是1%，那么一次购买100张彩票不一定会中奖，故D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了概率的意义，全面调查与抽样调查，随机事件，熟练掌握这些数学概念是解题的关键．
7．（3分）如图，将一个等腰直角三角形放在两条平行线上，若∠1＝50°，则∠2的度数为（ ）
A．75°B．80°C．85°D．90°
【分析】先根据等腰直角三角形的性质得出∠A＝45°，进而根据三角形的内角和求出∠4，再利用平行线的性质求出∠2即可．
【解答】解：如图，∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠A＝45°，
∵∠1＝50°，
∴∠4＝85°，
∵a∥b，
∴∠2＝∠4＝85°．
故选：C．
【点评】本题考查的是平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质并灵活运用，平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．
8．（3分）反比例函数y＝的图象经过点（3，﹣1），则下列说法错误的是（ ）
A．k＝﹣3
B．函数图象分布在第二、四象限
C．函数图象关于原点中心对称
D．当x＜0时，y随x的增大而减小
【分析】根据反比例函数的性质及图象上点的坐标特点对各选项进行逐一分析即可．
【解答】解：∵反比例函数y＝的图象经过点（3，﹣1），
∴k＝3×（﹣1）＝﹣3，故选项A正确，不合题意；
∵k＝﹣3＜0，
∴此函数图象的两个分支位于二四象限，故选选项B正确，不合题意；
∵反比例函数的图象关于原点对称，故选项C正确，不合题意；
∵反比例函数图象的两个分支位于二四象限，
∴当x＜0时，y随着x的增大而增大，故选项D错误，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，熟知反比例函数的性质是解答此题的关键．
9．（3分）如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB，D为圆周上一点，若∠ADC的度数为35°，则∠ABO的度数为（ ）
A．15°B．20°C．25°D．30°
【分析】证明＝，根据圆周角定理求出∠BOC＝70°，再根据直角三角形的性质可得结论．
【解答】解：∵OC⊥AB，
∴＝，∠BOC+∠ABO＝90°，
∴∠ADC＝∠BOC，
∵∠ADC＝35°，
∴∠BOC＝70°，
∴∠∠ABO＝20°，
故选：B．
【点评】本题考查垂径定理，圆周角定理等知识，解题的关键是掌握垂径定理，圆周角定理解决问题．
10．（3分）如图所示，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的对称轴是直线x＝1，且经过点（0，2）．有下列结论：①abc＞0；②a+b≥m（am+b）（m为常数）；③若（2，y1）为，（﹣2，y3）在该函数图象上，则y3＜y1＜y2；④﹣．其中正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】①根据开口方向，对称轴，以及与y轴的交点位置，判断出a，b，c的符号，即可得到abc的符号；
②求出二次函数的最值，进行判断即可；
③根据二次函数的增减性进行判断即可；
④综合对称轴和C的值，以及当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＜0，结合 x＝﹣1，y＞0，进行判断即可；
【解答】解：①∵抛物线的开口向下，a＜0，对称轴为直线x＝1，
∴b＞0，
∵图象过（0，2），
∴c＝2＞0，
∴abc＜0，
故①错误；
②由图象可知，当x＝1时，函数取得最大值为a+b+c，
∴a+b+c≥am2+bm+c，
∴a+b≥m（am+b） （m为常数），
故②正确；
③∵抛物线开口向下，
∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小，
∵|﹣2﹣1|＞|2﹣1|＞|﹣1|，
∴y3＜y1＜y2，
故③正确；
④由图可知，当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＜0，
∵b＝﹣2a，c＝2，
∴4a﹣2b+c＝4a+4a+2＜0，
∴a＜﹣，
∵x＝﹣1，y＞0，
∴a+2a+2＞0，
∴a＞﹣，
∴﹣＜a＜﹣，
故④正确；
综上所述，正确的个数为3．
故选：C．
【点评】本题考查根据二次函数的图象与系数的关系，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分．请把答案填在答题卡相应题号的横线上）
11．（3分）若＞20240，则正整数a可以为 2 （答案不唯一，大于1的整数即可） ．
【分析】先根据零指数幂运算法则：a0＝1（a≠0）计算，然后根据二次根式的性质解答即可．
【解答】解：∵，
∴，
∴正整数a可以为2，
故答案为：2 （答案不唯一，大于1的整数即可）．
【点评】本题考查了零指数幂，二次根式的性质，熟练掌握这两个知识点是解题的关键．
12．（3分）若一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的两个实数根为x1，x2，则x1+x2﹣x1x2的值为 3 ．
【分析】根据x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝，x1x2＝解答．
【解答】解：∵一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的两个实数根为x1，x2，
∴x1+x2＝2，x1x2＝﹣1，
∴x1+x2﹣x1x2
＝2﹣（﹣1）
＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，熟知x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝，x1x2＝是解题的关键．
13．（3分）如图，电路上有①、②、③3个开关和一个小灯泡，若任意闭合电路上2个开关，则小灯泡发光的概率为 ．
【分析】画树状图得出所有等可能的结果数以及小灯泡发光的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：由图可知，闭合开关①和②或①和③时小灯泡发光．
画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中小灯泡发光的结果有：①②，①③，②①，③①，共4种，
∴小灯泡发光的概率为＝．
故答案为：．
【点评】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
14．（3分）小明学习相交直线时发现：3条直线两两相交最多有3个交点，4条直线两两相交最多有6个交点，按照这样的规律，（1）5条直线两两相交最多有 10 个交点；（2）n条直线两两相交最多有 个交点．（用含有字母n的式子表示，n≥3）
【分析】依次求出2条，3条，4条，…，直线相交产生的最多交点数，发现规律即可解决问题．
【解答】解：由题知，
2条直线相交最多产生的交点数为：1＝1；
3条直线相交最多产生的交点数为：3＝1+2；
4条直线相交最多产生的交点数为：6＝1+2+3；
5条直线相交最多产生的交点数为：10＝1+2+3+4；
…，
所以n条直线相交最多产生的交点数为：1+2+3+…+n﹣1＝．
故答案为：10，．
【点评】本题考查图形变化的规律，能依次求出直线相交时所产生的最多交点个数并发现规律是解题的关键．
15．（3分）如图，平行四边形ABCD中，AB＝4，BC＝，∠ABC＝120°，点E在AD上，将△ABE沿BE折叠得到△A′BE，若点A′恰好在线段CE上，则AE的长为 ﹣3 ．
【分析】过C作CG⊥AD，交AD的延长线于G，在Rt△CDG中，求得DG＝2，CG＝．依据∠CBE＝∠CEB，可得CE＝CB＝．设DE＝x，则CE＝x+2，依据Rt△CEG中，CG2+EG2＝CE2，列方程求解，即可得到DE的长，进而得出AE的长．
【解答】解：如图所示，过C作CG⊥AD，交AD的延长线于G，
由题可得，∠CDG＝∠A＝60°，CD＝AB＝4，
∴Rt△CDG中，DG＝2，CG＝，
∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠CBE，
又∵∠AEB＝∠CEB，
∴∠CBE＝∠CEB，
∴CE＝CB＝，
设DE＝x，则CE＝x+2，
Rt△CEG中，CG2+EG2＝CE2，
即（2）2+（x+2）2＝（）2，
解得x1＝3，x2＝﹣7（舍去），
∴DE＝3，
又∵AD＝BC＝，
∴AE＝﹣3．
故答案为：﹣3．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质、勾股定理以及折叠变换的综合运用，解题的方法是设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．解决问题的关键是过C作CG⊥AD，交AD的延长线于G，构造Rt△CDG和Rt△CEG．
三、解答题（本大题共9小题，满分75分，请认真读题，冷静思考，解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请把解题过程写在答题卡相应题号的位置）
16．（6分）先化简，再求值：，其中m＝﹣3+2．
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把m的值代入进行计算即可．
【解答】解：
＝[﹣]•
＝•
＝•
＝，
当m＝﹣3+2时，原式＝＝．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．
17．（6分）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA＝OB＝5，AB＝6，求▱ABCD的面积．
【分析】根据平行四边形的性质得到OA＝OC＝AC，OB＝OD＝，得到四边形ABCD是矩形，根据勾股定理得到BC＝＝8，根据矩形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC＝AC，OB＝OD＝，
∵OA＝OB＝5，
∴AC＝BD＝10，
∴四边形ABCD是矩形，
∴AB⊥BC，
∴BC＝＝8，
∴▱ABCD的面积＝BC•AB＝8×6＝48．
【点评】本题考查了矩形的判定和性质，平行四边形的性质，勾股定理，熟练掌握矩形的判定和性质定理是解题的关键．
18．（6分）“阅读陪伴成长，书香润泽人生”．启智学校本学期准备开展学生阅读活动，并计划网购甲、乙两种图书．已知甲种图书每本的价格比乙种图书每本的价格多5元，购买150本甲种图书和200本乙种图书共需6000元．求甲、乙两种图书每本的价格各是多少元？
【分析】设甲种图书每本的价格是x元，乙种图书每本的价格是y元，根据“甲种图书每本的价格比乙种图书每本的价格多5元，购买150本甲种图书和200本乙种图书共需6000元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【解答】解：设甲种图书每本的价格是x元，乙种图书每本的价格是y元，
根据题意得：，
解得：．
答：甲种图书每本的价格是20元，乙种图书每本的价格是15元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
19．（8分）“感受数学魅力，提升数学素养”，思远中学在校开展了数学文化知识竞赛，现从七年级和八年级参加竞赛的学生中各随机抽取了10名学生的成绩进行整理、描述和分析（单位：分，满分100分，成绩均不低于70分，90分及90分以上为优秀），并将学生竞赛成绩分为A，B，C三个等级：A：70≤x＜80，B：80≤x＜90，C：90≤x＜100．
下面给出了部分信息：
抽取的七年级10名学生的竞赛成绩为：75，76，84，84，84，86，86，94，95，96；
抽取的八年级10名学生的竞赛成绩在B等级的为：81，83，84，88，88．
两个年级抽取的学生成绩的平均数、中位数、众数如表所示：
抽取的八年级学生竞赛成绩扇形统计图如图所示．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：a＝ 86 ，b＝ 84 ，β＝ 108° ；
（2）根据以上数据，请你对七年级竞赛成绩作出分析？（写一条即可）；
（3）若八年级共有300名学生参赛，请你估计八年级参赛学生中成绩为优秀的人数．
【分析】（1）根据中位数，众数定义可得a，b的值，由八年级A，B等级的人数可求出β的值；
（2）根据平均数，众数、中位数的意义解答即可；
（3）用总人数乘样本中成绩为优秀的人数所占比例即可．
【解答】解：（1）由扇形统计图可得，八年级A等级的有10×20%＝2（人），
把八年级10名同学的成绩从小到大排列，排在中间的数分别是84，88，故中位数a＝＝86；
在75，76，84，84，84，86，86，94，95，96中，出现次数最多的是84，
∴众数b＝84；
β＝360°×（1﹣20%﹣）＝108°，
故答案为：86，84，108°；
（2）七年级学生竞赛成绩的平均数约为86分（答案不唯一）；
（3）300××（1﹣20%﹣）＝300×30%＝90（名），
答：估计八年级参赛学生中成绩为优秀的人约90名．
【点评】本题考查了中位数，众数以及用样本估计总体等知识，掌握中位数，众数等概念是解答本题的关键．
20．（8分）如图①是某款智能磁吸键盘，如图②是平板吸附在该款设备上的照片，图③是图②的示意图．已知BC＝8cm，CD＝20cm，∠BCD＝63°．当AE与BC形成的∠ABC为116°时，求DE的长．（参考数据：sin63°≈0.90，cs63°≈0.45，ct63°≈0.50；sin53°≈0.80，cs53°≈0.60，ct53°≈0.75）
【分析】过B作BH⊥CE于H，解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：过B作BH⊥CE于H，
在Rt△BCH中，∵sin63°＝≈0.90，cs63°＝≈0.45，
∴BH≈7.2cm，CH＝3.6cm，
在Rt△BEH中，∵∠BEH＝∠ABC﹣∠BCE＝53°，
∴ct53°＝≈0.75，
∴HE＝5.4cm，
∴CE＝CH+EH＝3.6+5.4＝9（cm），
∴DE＝CD﹣CE＝20﹣9＝11（cm），
答：DE的长为11cm．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．
21．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，O为AB上一点，经过点A、D的⊙O分别交边AB、AC于点E、F．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若BE＝4，，求阴影部分的面积．
【分析】（1）先判断出OD∥AC，得出∠ODB＝90°，即可得出结论；
（2）先根据三角函数的定义求出OD，BD，再根据S阴影＝S△BOD﹣S扇形ODE即可求出阴影部分的面积．
【解答】解：（1）如图，连接OD，则OA＝OD，
∴∠ODA＝∠OAD，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠ODA＝∠CAD，
∴OD∥AC，
∴∠ODB＝∠C＝90°，
∵点D在⊙O上，
∴BC是⊙O的切线；
（2）∵∠BDO＝90°，
∴sinB＝＝＝＝，
∴OD＝4，∠B＝30°，
∴∠DOE＝60°，
∵tan∠B＝，
∴BD＝＝4，
∴S阴影＝S△BOD﹣S扇形ODE＝×4×4﹣＝8﹣．
【点评】此题考查了切线的判定，圆周角的性质，解直角三角形，扇形的面积公式，求出圆的半径是解本题的关键．
22．（10分）网络直播带货已成为一种新业态，某网店尝试用60天的时间，按单价随天数而变化的直播带货模式销售一种成本为10元/每件的商品，经过统计得到此商品的日销售量m（件）、销售单价n（元/件）在第x天（x为正整数）销售的相关信息：
①m与x满足一次函数关系，且第1天的日销售量为98件，第4天的日销售量为92件；
②n与x的函数关系如图所示；
（1）第5天的日销售量 90 件；n与x的函数关系式为 n＝．
（2）在这60天中，网店哪天销售该商品的日利润y最大？最大是多少元？
（3）在这60天中，共有多少天日利润y不低于2418元？
【分析】（1）求出m＝﹣2x+100，令x＝5时，m＝﹣2×5+100＝90，可知第5天的日销售量为90件；观察图象可知，当1≤x≤20时，n＝x+30；当20＜x≤60时，n＝50；
（2）当1≤x＜20时，y＝m（n﹣10）＝（﹣2x+100）（x+30﹣10）＝﹣2（x﹣15）2+2450，知当x＝15时，y有最大值2450；当20≤x≤60时，y＝m（n﹣10）＝40（﹣2x+100）＝﹣80x+4000，可得当x＝20时，y有最大值为﹣1600+4000＝2400，故第15天该网店销售该商品的日利润y最大，最大是2450元；
（3）可知20≤x≤60时，y≤2400＜2418，而1≤x＜20，令﹣2（x﹣15）2+2450＝2418，得x1＝11，x2＝19，故在这60天中，第11、12、13、14、15、16、17、18、19天的日利润y不低 于2418元．
【解答】解：（1）设m与x的函数关系式为：m＝kx+b，
∵当x＝1时，m＝98；当 x＝4时，m＝92，
∴，
解得，
∴m＝﹣2x+100，
当x＝5时，m＝﹣2×5+100＝90，
∴第5天的日销售量为90件；
观察图象可知，当1≤x≤20时，n＝x+30；
当20＜x≤60时，n＝50；
故答案为：90；n＝；
（2）当1≤x＜20时，y＝m（n﹣10）＝（﹣2x+100）（x+30﹣10）＝﹣2（x﹣15）2+2450，
∴当x＝15时，y有最大值2450；
当20≤x≤60时，y＝m（n﹣10）＝40（﹣2x+100）＝﹣80x+4000，
∵﹣80＜0，
∴y随x的增大而减小，
∴当x＝20时，y有最大值为：﹣1600+4000＝2400，
综上所述，第15天该网店销售该商品的日利润y最大，最大是2450元；
（3）由（2）知，当20≤x≤60时，y≤2400＜2418，
当1≤x＜20，由﹣2（x﹣15）2+2450＝2418，
解得：x1＝11，x2＝19，
∴在这60天中，第11、12、13、14、15、16、17、18、19天的日利润y不低 于2418元，
∴在这60天中，共有9天日利润y不低于2418元．
【点评】本题考查一次函数，二次函数的应用，涉及待定系数法．解题的关键是数形结合求出m，n与x的函数关系式．
23．（11分）【问题情境】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝kBC，CD是AB边上的高，点E是DB上一点，连接CE，过点A作AF⊥CE于F，交CD于点G．
（1）【特例证明】如图1，当k＝1时，求证：DG＝DE；
（2）【类比探究】如图2，当k≠1时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请指出此时DG与DE的数量关系，并说明理由；
（3）【拓展运用】如图3，连接DF，若k＝，AC＝AE，DG＝3，求DF的长．
【分析】（1）根据已知条件得到∠ADC＝∠BDC＝90°，AD＝CD＝BD，求得∠DAG＝∠DCE，根据全等三角形的性质得到结论；
（2）根据已知条件得到∠ADC＝∠BDC＝90°，∠ACD+∠BAC＝∠B+∠BAC＝90°，根据相似三角形的性质得到＝＝k，得到∠DAG＝∠DCE，推出△ADG∽△CDE，根据相似三角形的性质得到DG＝kDE；
（3）如图，连接GE，根据全等三角形的性质得到FC＝FE，求得GC＝GE，根据勾股定理得到GE＝＝5，求得CG＝5，得到CD＝CG+DG＝8，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°，AC＝kBC，CD是AB边上的高，
∴∠ADC＝∠BDC＝90°，AD＝CD＝BD，
∵AF⊥CE，
∴∠DAG+∠AEF＝∠DCE+∠AEF＝90°，
∴∠DAG＝∠DCE，
∴△ADG≌△CDE（ASA），
∴DG＝DE；
（2）解：当k≠1时，（1）中的结论不成立，此时DG＝kDE，
理由：∵∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，
∴∠ADC＝∠BDC＝90°，∠ACD+∠BAC＝∠B+∠BAC＝90°，
∴∠ACD＝∠B，
∴△ADC∽△ACB，
∴，
∴＝＝k，
∵AF⊥CE，
∴∠DAG+∠AEF＝∠DCE+∠AEF＝90°，
∴∠DAG＝∠DCE，
∴△ADG∽△CDE，
∴＝k，
∴DG＝kDE；
（3）解：如图，连接GE，
∵AF⊥CE，
∴∠AFC＝∠AFE＝90°，
∵AC＝AE，AF＝AF，
∴RtAFC≌Rt△AFE（HL），
∴FC＝FE，
∴GC＝GE，
∵∠CDE＝∠ACB＝90°，
∴DF＝CE，
∵DG＝DE，DG＝3，
∴DE＝4，GE＝＝5，
∴CG＝5，
∴CD＝CG+DG＝8，
∴CE＝＝4，
∴DF＝2．
【点评】本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理以及相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．
24．（12分）如图1，已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C，连接BC．
（1）求a，b的值及直线BC的解析式；
（2）如图1，点P是抛物线上位于直线BC上方的一点，连接AP交BC于点E，过P作PF⊥x轴于点F，交BC于点G，（i）若EP＝EG，求点P的坐标；
（ⅱ）连接CP，CA，记△PCE的面积为S1，△ACE的面积为S2，求的最大值；
（3）如图2，将抛物线位于x轴下方面的部分不变，位于x轴上方面的部分关于x轴对称，得到新的图形，将直线BC向下平移n个单位，得到直线l，若直线l与新的图形有四个不同交点，请直接写出n的取值范围．
【分析】（1）把点A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx+3，用待定系数法求出a，b，从而得出抛物线解析式，再令x＝0，求出点C坐标，然后用待定系数法求出直线BC的解析式；
（2）设P（m，﹣m2+2m+3）（﹣1＜m＜3），则G（m，﹣m+3），（i）由OB＝OC＝3，∠COB＝90°，得出△BOC是等腰直角三角形，再由平行线的性质得出△AFP是等腰直角三角形，从而得出AF＝PF，从而得出关于m的方程，解方程即可求出m的值，从而得出结论；
（ii）过A作AH⊥x轴，交BC于点H，则PF∥HA，那么△PGE∽△AHE得出，再由三角形的面积比＝，然后得出关于m的二次函数关系式，由函数的性质求最值；
（3）将直线BC向下平移n个单位所得直线l的解析式为y＝﹣x+3﹣n，当直线l过点A时求出n＝4；当直线l与抛物线y＝﹣x2+2x+3位于x轴上方面的部分关于x轴对称得到新的图形y＝﹣x2+2x+3（﹣1＜x＜3）相切时，根据Δ＝0求出n＝，结合图象得出直线l与新的图形有四个不同交点时n的取值范围．
【解答】解：（1）把点A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx+3得：
，
解得：，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3；
在y＝﹣x2+2x+3中令x＝0，得y＝3，
即C（0，3），
设直线BC的解析式为y＝kx+t，
将B（3，0），C（0，3）代入得：，
解得：，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3；
（2）设P（m，﹣m2+2m+3）（﹣1＜m＜3），则G（m，﹣m+3），
∴PG＝﹣m2+3m，
（i）∵OB＝OC＝3，∠COB＝90°，
∴△BOC是等腰直角三角形，
∴∠OCB＝45°，
∵PF∥CO，
∴∠PGE＝∠OCB＝45°，
∵EP＝EG，
∴∠EPG＝∠EGP＝45°，
∴△AFP是等腰直角三角形，
∴AF＝PF，
∴m+1＝﹣m2+2m+3，
解得m＝2，m＝﹣1（舍）
∴点P的坐标为P（2，3）；
（ⅱ）如图，
过A作AH⊥x轴，交BC于点H，则PF∥HA，那么△PGE∽△AHE，
∴，
∴，
∵﹣＜0，
∴当时，有最大值为；
（3）如图所示：
将直线BC向下平移n个单位所得直线l的解析式为y＝﹣x+3﹣n，
当直线l过点A时，﹣1×（﹣1）+3﹣n＝0，
解得n＝4；
将抛物线y＝﹣x2+2x+3位于x轴上方面的部分关于x轴对称，得到新的图形的解析式为y＝﹣x2+2x+3（﹣1＜x＜3），
当直线y＝﹣x+3﹣n与抛物线y＝﹣x2+2x+3（﹣1＜x＜3）相切时，
令x2﹣2x﹣3＝﹣x+3﹣n，
整理得x2﹣x﹣6+n＝0，
∴Δ＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣6+n）＝25﹣4n＝0，
解得n＝，
如图所示：
∴当4＜n＜时，直线l与新的图形有四个不同交点，
∴n的取值范围为4＜n＜．
【点评】本题考查二次函数综合题、待定系数法、平行线的性质、平移的性质、等腰直角三角形的性质，三角形相似的判定和性质，解题的关键是学会灵活应用所学知识解决问题，利用数形结合的思想解决问题，属于中考压轴题．
学生
平均数
中位数
众数
七年级
86
85
b
八年级
86
a
88
学生
平均数
中位数
众数
七年级
86
85
b
八年级
86
a
88