还剩24页未读，
继续阅读
2022年湖北省孝感市孝南区中考数学一模试卷
展开
这是一份2022年湖北省孝感市孝南区中考数学一模试卷，共27页。试卷主要包含了选择题，五世纪．其中记载，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022年湖北省孝感市孝南区中考数学一模试卷
一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分，每题只有一个选项是正确的）
1．（3分）下列四个数中，最小的数是（ ）
A．﹣1 B．1 C．0 D．−2
2．（3分）第24届冬季奥林匹克运动会，即北京冬季奥运会，于2022年2月4日开幕，2022年2月20日闭幕．据报道，在赛事期间，创纪录地有超过6400万人使用奥林匹克网站和APP关注冬奥会，数据6400万用科学记数法可以表示为（ ）
A．6.4×108 B．0.64×108 C．6.4×107 D．64×106
3．（3分）如图是由三个相同的小正方体组成的几何体，则该几何体的左视图是（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）在平面直角坐标系中，点A（2，m）与点B（n，3）关于原点对称，则（ ）
A．m＝3，n＝2 B．m＝﹣3，n＝﹣2 C．m＝3，n＝﹣2 D．m＝﹣3，n＝2
5．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．（a2）3＝a5 B．a8÷a4＝a2
C．a2•a＝a3 D．（﹣ab）2＝﹣a2b2
6．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．“每天太阳从西边出来”是随机事件
B．为了解全国中学生视力和用眼卫生情况，适宜采用全面调查
C．甲、乙两人射中环数的方差分别是S 甲2=2，S 乙2=1.2，说明甲的射击成绩更稳定
D．数据4，3，5，5，2的中位数是4
7．（3分）《孙子算经》是中国古代最重要的数学著作，约成书于四、五世纪．其中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸，屈绳量之，不足一尺．木长几何？”译文：“用一根绳子去量一根长木，绳子还余4.5尺，将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问长木多少尺？”设绳子长x尺，木长y尺，可列方程组为（ ）
A．x−y=4.512x=y−1 B．x−y=4.512x=y+1
C．y−x=4.512x=y+1 D．x−y=4.512y=x−1
8．（3分）如图1，正方形ABCD中，点E是边AD的中点，点P以lcm/s的速度从点A出发，沿A→B→C运动到点C后，再沿线段CA到达点A．图2是点P运动时，△PEC的面积y（cm2）随时间x（s）变化的部分图象．根据图象判断：下列能表示点P在整个运动过程中y随x变化的完整图象为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分）
9．（3分）如图，若a∥b，∠1＝60°，则∠2的度数为 度．
10．（3分）分式方程1x−1=1的解是 ．
11．（3分）某扇形的圆心角为150°，其弧长为20π，则此扇形的半径是 ．
12．（3分）若方程x2﹣3x﹣1＝0的两根为x1，x2，则x1（1+x2）+x2的值为 ．
13．（3分）如图，为了测量某建筑物AB的高度，在平地上C处测得建筑物顶端A的仰角为30°，沿CB方向前进12m到达D处，在D处测得建筑物顶端A的仰角为45°，则建筑物AB的高度等于 ．
14．（3分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD＝6，AB＝16，则△ABD的面积是 ．
15．（3分）双减政策背景下，为落实“五育并举”，某学校准备打造学生第二课堂，有四类课程可供选择，分别是“A．书画类、B．文艺类、C．社会实践类、D．体育类”．现随机抽取了七年级部分学生对报名意向进行调查，并根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图，若该校七年级共有800名学生，根据上述调查结果估计该校学生选择“社会实践类”的学生共有 名．
16．（3分）如图，是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形EFGH拼成的一个大正方形ABCD，连CH和AF，若CH＝CB，则S阴影S正方形ABCD= ．
三、解答题（共8大题，共72分，解答应写文字说明、演算步骤或证明过程。）
17．（6分）计算：|2−3|+20220−(12)−1+tan60°．
18．（8分）化简：M=x2−2xx−1÷(1x−1+1)，同时求出M有意义时x的取值范围，并从不等式组1−3x＜x+3x−13＜1的解集中取一个合适的整数值代入求值．
19．（8分）到目前为止，北京是世界上唯一一个既举办过夏季奥运会，又举办过冬季奥运会的城市，以下是北京奥运会、残奥会、冬奥会及冬残奥会的会徽卡片（除字母和内容外，其余完全相同），四张卡片分别用编号A、B、C、D来表示．现将这四张会徽卡片背面朝上，洗匀放好．
（1）从中任意抽取一个会徽卡片，恰好是“中国印•舞动的北京”的概率为 ．
（2）小思从中随机抽取一张卡片（不放回），再从余下的卡片中随机抽取一张，请你用列表或画树状图的方法求抽到的两张会徽卡片中至少有一张“冬梦”的概率．
20．（9分）如图，平面直角坐标系中，直线L：y1＝k1x+b与双曲线C：y2=k2x交于A（﹣2，3），B（m，﹣2）两点．
（1）分别求y1，y2对应的函数表达式；
（2）过点A作AP⊥x轴交x轴于点P，求△ABP的面积；
（3）点M（x，y）为第四象限双曲线C上的一个动点，过M作y轴垂线分别交y轴和直线L于点Q、点N，直接写出QM＜QN时，点M的横坐标x的取值范围为 ．
21．（9分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，以CD为直径的⊙O分别交AC，BC于点E，F两点，过点F作FG⊥AB于点G．
（1）试判断FG与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若CD＝5，sin∠B=35，求FG的长．
22．（10分）某企业接到一批零件的加工任务，要求在20天内完成，这批零件的出厂价为每个6元．为按时完成任务，该企业招收了新工人，在6天的培训期内，新工人小亮第x天能加工80x个零件，培训后小亮第x天内加工的零件个数为（50x+200）个．
（1）小亮第几天加工零件数量为650个？
（2）如图所示，设第x天每个零件的加工成本是P元，P与x之间的函数关系可用图中的函数图象来刻画，若小亮第x天创造的利润为w元，求出w与x之间的函数表达式．
（3）试确定第几天的生产利润最大？最大利润是多少？（利润＝出厂价﹣进价）
23．（10分）在△ABC中，D为边AC上一点．
（1）如图1，若∠ABD＝∠C，求证：AB2＝AD•AC；
（2）如图2，F为线段BD上一点，且满足∠ABD＝∠ACF．
①当AC＝3，AB＝2，点F为BD中点时，求CD的长；
②延长CF交AB于E，当点D为AC中点且BD＝CF时，直接写出DFBD的值为 ．
24．（12分）如图1，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，直线y＝x+4经过点A和点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，点P为y轴左侧抛物线上一动点，连CP、CB和AP．
①当点P在直线AC上方时，连PB交AC于D，记M＝S△APC﹣S△BPC，求M的最大值及M取最大值时点P的坐标？
②当点P满足∠CBA﹣∠PCA＝45°时，直接写出P点坐标为 ．
2022年湖北省孝感市孝南区中考数学一模试卷
答案与详解
一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分，每题只有一个选项是正确的）
1．（3分）下列四个数中，最小的数是（ ）
A．﹣1 B．1 C．0 D．−2
【分析】根据实数的大小比较法则（正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，两个负数比较大小，绝对值大的反而小）比较即可．
【解答】解：∵−2＜−1＜0＜1，
∴最小的数是−2，
故选：D．
2．（3分）第24届冬季奥林匹克运动会，即北京冬季奥运会，于2022年2月4日开幕，2022年2月20日闭幕．据报道，在赛事期间，创纪录地有超过6400万人使用奥林匹克网站和APP关注冬奥会，数据6400万用科学记数法可以表示为（ ）
A．6.4×108 B．0.64×108 C．6.4×107 D．64×106
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【解答】解：6400万＝64000000＝6.4×107．
故选：C．
3．（3分）如图是由三个相同的小正方体组成的几何体，则该几何体的左视图是（ ）
A． B． C． D．
【分析】细心观察图中几何体中正方体摆放的位置，根据左视图是从左面看到的图形判定则可．
【解答】解：从左边看竖直叠放2个正方形．
故选：C．
4．（3分）在平面直角坐标系中，点A（2，m）与点B（n，3）关于原点对称，则（ ）
A．m＝3，n＝2 B．m＝﹣3，n＝﹣2 C．m＝3，n＝﹣2 D．m＝﹣3，n＝2
【分析】直接利用关于原点对称点的性质求出m，n的值，进而得出答案．两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（﹣x，﹣y）．
【解答】解：∵点A（2，m）与点B（n，3）关于原点对称，
∴m＝﹣3，n＝﹣2，
故选：B．
5．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．（a2）3＝a5 B．a8÷a4＝a2
C．a2•a＝a3 D．（﹣ab）2＝﹣a2b2
【分析】利用同底数幂的乘法的法则，幂的乘方与积的乘方的法则，同底数幂的除法的法则对各项进行运算即可．
【解答】解：A、（a2）3＝a6，故A不符合题意；
B、a8÷a4＝a4，故B不符合题意；
C、a2•a＝a3，故C符合题意；
D、（﹣ab）2＝a2b2，故D不符合题意；
故选：C．
6．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．“每天太阳从西边出来”是随机事件
B．为了解全国中学生视力和用眼卫生情况，适宜采用全面调查
C．甲、乙两人射中环数的方差分别是S 甲2=2，S 乙2=1.2，说明甲的射击成绩更稳定
D．数据4，3，5，5，2的中位数是4
【分析】根据事件发生的可能性大小、全面调查的、方差的意义以及中位数的概念进行分析判断．
【解答】解：A、“每天太阳从西边出来”是不可能事件，不符合题意；
B、为了解全国中学生视力和用眼卫生情况，适宜采用抽样调查，不符合题意；
C、甲、乙两人射中环数的方差分别是S 甲2=2，S 乙2=1.2，说明乙的射击成绩更稳定，不符合题意；
D、数据4，3，5，5，2按照从小到大排列顺序为：2，3，4，5，5，中间的数字是4，则中位数是4，符合题意．
故选：D．
7．（3分）《孙子算经》是中国古代最重要的数学著作，约成书于四、五世纪．其中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸，屈绳量之，不足一尺．木长几何？”译文：“用一根绳子去量一根长木，绳子还余4.5尺，将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问长木多少尺？”设绳子长x尺，木长y尺，可列方程组为（ ）
A．x−y=4.512x=y−1 B．x−y=4.512x=y+1
C．y−x=4.512x=y+1 D．x−y=4.512y=x−1
【分析】设绳子长x尺，长木长y尺，根据“用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺，将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺”，可得出关于x，y的二元一次方程组．
【解答】解：设绳子长x尺，长木长y尺，
依题意，得：x−y=4.512x=y−1，
故选：A．
8．（3分）如图1，正方形ABCD中，点E是边AD的中点，点P以lcm/s的速度从点A出发，沿A→B→C运动到点C后，再沿线段CA到达点A．图2是点P运动时，△PEC的面积y（cm2）随时间x（s）变化的部分图象．根据图象判断：下列能表示点P在整个运动过程中y随x变化的完整图象为（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】从图2中点（4，0）得到正方形的边长＝2cm，当点P在AB上运动时，列出y的函数式，判断出点P在B点处时，△PEC的面积最大；当点P在BC上运动时，CP越来越小，△PEC的面积y也越来越小，所以当点P运动到点B时，△PEC的面积最大，从而得到a的值；当点P从点C到点A时，x的值为4+22，画出图形，表示出此时y与x的关系式即可．
【解答】解：∵函数图象经过点（4，0），
∴AB+BC＝1×4＝4（cm），
∴AB＝BC＝CD＝DA＝2cm，
∵点E是边AD的中点，
∴DE＝AE＝1cm，
当点P在AB上运动时，即0＜x≤2时，
AP＝xcm，BP＝（2﹣x）cm，
y＝S正方形ABCD﹣S△ECD﹣S△AEP﹣S△PCB
＝2×2−12×1×2−12×1•x−12×2×（2﹣x）
=12x+1，
∵k=12＞0，
∴y随x的增大而增大，
∴当x＝2时，即点P与点B重合时，y最大＝2；
当点P在BC上运动时，
这时△PEC的高不变，底边CP越来越小，
∴△PEC的面积也越来越小，
即y越来越小．
综上所述，点P运动时，△PEC的面积的最大值是2，则a＝2．由此可排除C，D．
当点P在CA上时，CP＝（x﹣4）cm，
过点E作EM⊥AC于点M，则EM=2cm，
∴y=12×2•（x﹣4）
=22x﹣22，是一条直线．由此可排除B．
故选：A．
二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分）
9．（3分）如图，若a∥b，∠1＝60°，则∠2的度数为 120 度．
【分析】由对顶角相等可得∠3＝∠1＝60°，再根据平行线性质可得∠2度数．
【解答】解：如图，
∵∠1＝60°，
∴∠3＝∠1＝60°，
又∵a∥b，
∴∠2+∠3＝180°，
∴∠2＝120°，
故答案为：120．
10．（3分）分式方程1x−1=1的解是 x＝2 ．
【分析】先把方程两边都乘以x﹣1得到1＝x﹣1，解得x＝2，然后进行检验得到原方程的解为x＝2．
【解答】解：去分母得1＝x﹣1，
解得x＝2，
检验：当x＝2时，x﹣1≠0，
所以原方程的解为x＝2．
故答案为：x＝2．
11．（3分）某扇形的圆心角为150°，其弧长为20π，则此扇形的半径是 24 ．
【分析】根据弧长公式即可得到关于扇形半径的方程即可求解．
【解答】解：设扇形的半径是r，则150⋅π×r180=20π，
解得：r＝24．
故答案为：24．
12．（3分）若方程x2﹣3x﹣1＝0的两根为x1，x2，则x1（1+x2）+x2的值为 2 ．
【分析】利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积，原式变形后代入计算即可求出值．
【解答】解：∵方程x2﹣3x﹣1＝0的两根为x1，x2，
∴x1+x2＝3，x1x2＝﹣1，
则原式＝x1+x1x2+x2
＝（x1+x2）+x1x2
＝3﹣1
＝2．
故答案为：2．
13．（3分）如图，为了测量某建筑物AB的高度，在平地上C处测得建筑物顶端A的仰角为30°，沿CB方向前进12m到达D处，在D处测得建筑物顶端A的仰角为45°，则建筑物AB的高度等于 6（3+1）m ．
【分析】根据题意得出AB＝BD，再利用锐角三角函数关系得出tan30°=ABBC求出即可．
【解答】解：设AB＝xm，由题意可得：BD＝x，∠C＝30°，
则tan30°=ABBC=xx+12，
故33=xx+12，
解得：x＝6（3+1）．
故答案为：6（3+1）m．
14．（3分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD＝6，AB＝16，则△ABD的面积是 48 ．
【分析】根据作图过程可得，AD是∠CAB的平分线，过点D作DE⊥AB于点E，根据∠C＝90°，可得DC⊥AC，可得DE＝CD＝6，进而可得△ABD的面积．
【解答】解：根据作图过程可知：
AD是∠CAB的平分线，
如图，过点D作DE⊥AB于点E，
∵∠C＝90°，
∴DC⊥AC，
∴DE＝CD＝6，
∴S△ABD=12AB•DE=12×16×6＝48．
故答案为：48．
15．（3分）双减政策背景下，为落实“五育并举”，某学校准备打造学生第二课堂，有四类课程可供选择，分别是“A．书画类、B．文艺类、C．社会实践类、D．体育类”．现随机抽取了七年级部分学生对报名意向进行调查，并根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图，若该校七年级共有800名学生，根据上述调查结果估计该校学生选择“社会实践类”的学生共有 128 名．
【分析】根据D类的人数和所占的百分比，可以求得本次被抽查的学生人数；根据“C．社会实践类”的学生有8名，可以计算出该校学生选择“C．社会实践类”的学生共有多少名．
【解答】解：本次被抽查的学生共有：20÷40%＝50（名），800×850=128（名），
即该校学生选择“C．社会实践类”的学生共有128名．
故答案为：128．
16．（3分）如图，是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形EFGH拼成的一个大正方形ABCD，连CH和AF，若CH＝CB，则S阴影S正方形ABCD= 110 ．
【分析】记CH与DF的交点为点N，AF与BH的交点为点M，设直角三角形的较短直角边的长为a，长直角边的长为b，然后得到正方形ABCD的面积，CF＝BE＝a，BH＝CE＝b，得到EH＝EF＝b﹣a，再由CE⊥BH，CH＝CB得到BE＝EH＝a，从而得到b＝2a，△CFN∽△CEH，再由相似三角形的性质求得FN的长，即可求得阴影部分的面积，最后求得结果．
【解答】解：如图，记CH与DF的交点为点N，AF与BH的交点为点M，则四边形MHNF是平行四边形，
设直角三角形的较短直角边的长为a，长直角边的长为b，
∴S正方形ABCD＝AD2＝a2+b2，CF＝BE＝a，BH＝CE＝b，
∴EH＝EF＝b﹣a，
∵CE⊥BH，CH＝CB，
∴BE＝EH＝a，
∴b＝2a，
∴S正方形ABCD＝a2+b2＝a2+（2a）2＝5a2，EF＝2a﹣a＝a，
∵∠NFC＝∠HEC＝90°，
∴FN∥EH，
∴△CFN∽△CEH，
∴FNEH=FCEC，即FNa=a2a，
解得：FN=12a，
∴S阴影＝FN•EF=12a•a=12a2，
∴S阴影S正方形ABCD=12a25a2=110，
故答案为：110．
三、解答题（共8大题，共72分，解答应写文字说明、演算步骤或证明过程。）
17．（6分）计算：|2−3|+20220−(12)−1+tan60°．
【分析】化简绝对值，零指数幂，负整数指数幂，代入特殊角的三角函数值，然后再计算．
【解答】解：原式＝2−3+1﹣2+3
＝1．
18．（8分）化简：M=x2−2xx−1÷(1x−1+1)，同时求出M有意义时x的取值范围，并从不等式组1−3x＜x+3x−13＜1的解集中取一个合适的整数值代入求值．
【分析】先根据分式的加法法则算括号里面的，再根据分式的除法法则进行计算，即可得出化简的结果，根据分式有意义的条件得出x﹣1≠0且x≠0，求出x不能为1和0，求出不等式组的解集，再求出不等式组的整数解，取x＝2，再把x＝2代入化简的结果x﹣2，即可求出分式的值．
【解答】解：M=x2−2xx−1÷(1x−1+1)
=x(x−2)x−1÷1+x−1x−1
=x(x−2)x−1÷xx−1
=x(x−2)x−1•x−1x
＝x﹣2，
要使分式x2−2xx−1÷(1x−1+1)有意义，必须x﹣1≠0，x≠0，
即x≠1和0，
所以x的取值范围是x≠1且x≠0，
解不等式组1−3x＜x+3x−13＜1得：−12＜x＜4，
所以不等式组的整数解是0，1，2，3，
取x＝2，
当x＝2时，原式＝2﹣2＝0．
19．（8分）到目前为止，北京是世界上唯一一个既举办过夏季奥运会，又举办过冬季奥运会的城市，以下是北京奥运会、残奥会、冬奥会及冬残奥会的会徽卡片（除字母和内容外，其余完全相同），四张卡片分别用编号A、B、C、D来表示．现将这四张会徽卡片背面朝上，洗匀放好．
（1）从中任意抽取一个会徽卡片，恰好是“中国印•舞动的北京”的概率为 14 ．
（2）小思从中随机抽取一张卡片（不放回），再从余下的卡片中随机抽取一张，请你用列表或画树状图的方法求抽到的两张会徽卡片中至少有一张“冬梦”的概率．
【分析】（1）根据概率公式直接得出答案；
（2）先由题意先画树状图列出所有等可能的结果数，其中抽到的两张会徽卡片中至少有一张“冬梦”的结果数为6，再由概率公式求解可得．
【解答】解：从中任意抽取一个会徽卡片，恰好是“中国印•舞动的北京”的概率为14，
故答案为：14；
（2）画树状图如图：
共有12种等可能的结果数，其中抽到的两张会徽卡片中至少有一张“冬梦”的结果数为6，
则抽到的两张会徽卡片中至少有一张“冬梦”的概率=612=12．
20．（9分）如图，平面直角坐标系中，直线L：y1＝k1x+b与双曲线C：y2=k2x交于A（﹣2，3），B（m，﹣2）两点．
（1）分别求y1，y2对应的函数表达式；
（2）过点A作AP⊥x轴交x轴于点P，求△ABP的面积；
（3）点M（x，y）为第四象限双曲线C上的一个动点，过M作y轴垂线分别交y轴和直线L于点Q、点N，直接写出QM＜QN时，点M的横坐标x的取值范围为 0＜x＜3 ．
【分析】（1）把A（﹣2，3）代入到y2=k2x求得k2的值，再把B（m，﹣2）代入双曲线函数的表达式中，可求得m的值；把A，B两点的坐标代入到一次函数表达式中，可求得一次函数的表达式；
（2）S△ABP＝S△APC+S△BPC进行求解即可；
（3）观察图象即可求得．
【解答】解：（1）∵直线L：y1＝k1x+b与双曲线C：y2=k2x交于A（﹣2，3），B（m，﹣2）两点，
∴3=k2−2，解得：k2＝﹣6，
∴双曲线的表达式为：y2=−6x，
∴把B（m，﹣2）代入y2=−6x，得﹣2=−6m，解得：m＝3，
∴B（3，﹣2），
把A（﹣2，3）和B（3，﹣2）代入y1＝k1x+b得：−2k1+b=33k1+b=−2，
解得：k1=−1b=1，
∴直线的表达式为：y1＝﹣x+1；
（2）∵A（﹣2，3），AP⊥x轴交x轴于点P，
∴P（﹣2，0），
设直线AB交x轴于C，
在y1＝﹣x+1中，令y＝0，则﹣x+1＝0，解得x＝1，
∴C（1，0），
∴PC＝3，
∴S△ABP＝S△APC+S△BPC=12×3×3+12×3×2=152；
（3）∵当M点与B重合时，QM＝QN，
观察图象，当x＜3时，QM＜QN，
故QM＜QN时，点M的横坐标x的取值范围为0＜x＜3．
故答案为：0＜x＜3．
21．（9分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，以CD为直径的⊙O分别交AC，BC于点E，F两点，过点F作FG⊥AB于点G．
（1）试判断FG与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若CD＝5，sin∠B=35，求FG的长．
【分析】（1）如图，连接OF，根据直角三角形的性质得到CD＝BD，得到∠DBC＝∠DCB，根据等腰三角形的性质得到∠OFC＝∠OFC，得到∠OFC＝∠DBC，推出∠OFG＝90°，即可求解；
（2）连接DF，根据勾股定理得到BC＝8，根据圆周角定理得出∠DFC＝90°，根据三角形函数的定义即可得出结论．
【解答】（1）证明：如图，连接OF，
∵∠ACB＝90°，D为AB的中点，
∴CD＝BD，
∴∠DBC＝∠OCF，
∵OF＝OC，
∴∠OFC＝∠OCF，
∴∠OFC＝∠DBC，
∴OF∥DB，
∴∠OFG+∠DGF＝180°，
∵FG⊥AB，
∴∠DGF＝90°，
∴∠OFG＝90°，
∵OF为半径，
∴FG是⊙O的切线；
（2）解：如图，连接DF，
∵CD＝5，
∴AB＝2CD＝10，
∵sinB=35，
∴AC＝6，
∴BC=AB2−AC2=8，
∵CD为⊙O的直径，
∴∠DFC＝90°，
∴FD⊥BC，
∵DB＝DC，
∴BF=12BC＝4，
∵sin∠ABC=ACAB=FGFB，即610=FG4，
∴FG=125．
22．（10分）某企业接到一批零件的加工任务，要求在20天内完成，这批零件的出厂价为每个6元．为按时完成任务，该企业招收了新工人，在6天的培训期内，新工人小亮第x天能加工80x个零件，培训后小亮第x天内加工的零件个数为（50x+200）个．
（1）小亮第几天加工零件数量为650个？
（2）如图所示，设第x天每个零件的加工成本是P元，P与x之间的函数关系可用图中的函数图象来刻画，若小亮第x天创造的利润为w元，求出w与x之间的函数表达式．
（3）试确定第几天的生产利润最大？最大利润是多少？（利润＝出厂价﹣进价）
【分析】（1）把y＝650代入y＝50x+200，解方程即可求得；
（2）先根据图象求得成本P与x之间的关系式，再根据利润等于出厂价减去成本价，整理即可得到w与x之间的函数表达式；
（3）根据一次函数的增减性和二次函数的增减性分别求出（2）中所求w的最大值，比较即可．
【解答】解：（1）设小亮第n天加工零件数量为650个，
由题意可知：50n+200＝650，
解得n＝9．
答：小亮第9天加工零件数量为650个；
（2）由图象得，当0≤x≤12时，P＝5.2；
当12＜x≤20时，设P＝kx+b，
把点（12，5.2），（20，6）代入得，
12k+b=5.220k+b=6，解得k=0.1b=4，
所以P＝0.1x+4．
①0≤x≤6时，w＝（6﹣5.2）×80x＝64x；
②6＜x≤12时，w＝（6﹣5.2）×（50x+200）＝40x+160；
③12＜x≤20时，w＝（6﹣0.1x﹣4）×（50x+200）＝﹣5x2+80x+400；
（3）①0≤x≤6时，w＝64x；
当x＝6时，w最大＝384（元）；
②6＜x≤12时，w＝40x+160；
当x＝12时，w最大＝640（元）；
③12＜x≤20时，w＝﹣5x2+80x+400＝﹣5（x﹣8）2+720；
∵a＝﹣5＜0，x是整数，
∴当x＝13时，w最大＝599（元）；
综上，当x＝12时，w有最大值，最大值为640．
答：第12天的利润最大，最大利润是640元．
23．（10分）在△ABC中，D为边AC上一点．
（1）如图1，若∠ABD＝∠C，求证：AB2＝AD•AC；
（2）如图2，F为线段BD上一点，且满足∠ABD＝∠ACF．
①当AC＝3，AB＝2，点F为BD中点时，求CD的长；
②延长CF交AB于E，当点D为AC中点且BD＝CF时，直接写出DFBD的值为 5−12 ．
【分析】（1）根据相似三角形的判定证得△ABD∽△ACB，再根据相似三角形的性质可证得结论；
（2）①延长DC到点E，使CE＝DC，连接BE，由三角形中位线的性质得到FC∥BE，由平行线的性质得到∠DCF＝∠E，由（1）得到△ABD∽△AEB，根据相似三角形的性质得到AB2＝AE•AD，设CD＝CE＝x，则AD＝AC﹣CD＝3﹣x，AE＝AC+CE＝3+x，代入上式求解可得结论；
②如图3，延长BD至M，使BD＝DM，连接CM，证明△ADB≌△CDM（SAS），得∠ACF＝∠M，再证明△CFD∽△MFC，设CF＝x，DF＝y，列比例式可得x=(5+1)y2，从而得结论．
【解答】（1）证明：∵∠ABD＝∠C，∠A＝∠A，
∴△ABD∽△ACB，
∴ABAC=ADAB，
∴AB2＝AD•AC；
（2）解：如图2，延长DC到点E，使CE＝DC，连接BE，
∵点F是BD的中点，
∴FC是△DBE的中位线，
∴FC∥BE，
∴∠DCF＝∠E，
∵∠DCF＝∠ABD，
∴∠E＝∠ABD，
又∵∠A＝∠A，
∴△ABD∽△AEB，
∴ABAE=ADAB，
∴AB2＝AE•AD，
设CD＝CE＝x，则AD＝AC﹣CD＝3﹣x，AE＝AC+CE＝3+x，
∴22＝（3+x）•（3﹣x），
∴x2＝5．
∴x=5（舍负），
∴CD的长为5；
（3）解：如图3，延长BD至M，使BD＝DM，连接CM，
∵AD＝CD，∠ADB＝∠CDM，
∴△ADB≌△CDM（SAS），
∴∠ABD＝∠M，
∵∠ABD＝∠ACF，
∴∠ACF＝∠M，
∵∠CFD＝∠CFM，
∴△CFD∽△MFC，
∴CFFM=DFCF，
设CF＝x，DF＝y，
∴x2＝y（x+y），
x2﹣xy﹣y2＝0，
x=y±5y2，
∴x1=(5+1)y2，x2=(1−5)y2（舍），
∴DFBD=y(5+1)y2=5−12．
故答案为：5−12．
24．（12分）如图1，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，直线y＝x+4经过点A和点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，点P为y轴左侧抛物线上一动点，连CP、CB和AP．
①当点P在直线AC上方时，连PB交AC于D，记M＝S△APC﹣S△BPC，求M的最大值及M取最大值时点P的坐标？
②当点P满足∠CBA﹣∠PCA＝45°时，直接写出P点坐标为 （−125，175）或（﹣7，﹣24） ．
【分析】（1）由直线解析式y＝x+4可得出点A和点C的坐标，代入抛物线解析式即可求出抛物线的解析式；
（2）①由（1）中的抛物线的解析式可求出点A，B，C的坐标，进而可求出直线BC的解析式，过点P作x轴的垂线交x轴于点E，由三角形的面积之间的关系可得出M＝S△ABP﹣S△ABC，再利用二次函数的性质求出M的最大值和最小值，由此可得出结论；
②分两种情况：当点P在直线AC上方时，设直线CP交x轴于点K，易证△OCK∽△OBC，可得出点K的坐标，进而得出直线CP的解析式，联立即可得出点P的坐标；当点P在直线AC下方时，设直线CP′交x轴于点G，易得△CBG是等腰三角形，得出点G的坐标，进而可得出直线CP′的解析式，联立即可得出点P的坐标．
【解答】解：（1）直线y＝x+4经过点A和点C，
当x＝0时，y＝4当y＝0时，x＝﹣4，
∴A（﹣4，0），C （0，4），
∵拋物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，
∴c=40=−16−4b+c，解得b=−3c=4，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣3x+4．
（2）①过点P作PE⊥x轴，垂足为E，
∵抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣3x+4，
当y＝0时，﹣x2﹣3x+4＝0，解得x＝1或x＝﹣4，
∴B（1，0），
∴C（0，4），A（﹣4，0），
∴AO＝4，CO＝4，BO＝1．
设P （x，﹣x2﹣3x+4），
∴PE＝﹣x2﹣3x+4，OE＝﹣x，
∵M＝S△APC﹣S△BPC
＝S△APD+S△PDC﹣S△PDC﹣S△BCD
＝S△APD﹣S△BCD
＝S△APD+S△ABD﹣S△ABD﹣S△BCD
＝S△APB﹣S△ABC，
∵S△APB=12•AB•PE=52（﹣x2﹣3x+4），
S△ABC=12•AB•OC＝10．
∴M＝S△APB﹣S△ABC=52（﹣x2﹣3x+4）﹣10=−52（x+32）2+458，
∴当x=−32时，M有最大值458，
此时P（−32，254）．
②根据题意可知，OA＝OC＝4，
∴∠OAC＝∠OCA＝45°．
需要分两种情况：
当点P在直线AC上方时，设直线CP交x轴于点K，
∵∠CBA﹣∠PCA＝45°，
∴∠CBA＝45°+∠PCA＝∠OCK，
∴△OCK∽△OBC，
∴OK：OC＝OC：OB，即OK：4＝4：1，
∴OK＝16，即K（﹣16，0）．
∴直线CP的解析式为：y=14x+4，
令y=14x+4＝﹣x2﹣3x+4，解得x＝0（舍去）或x=−125，
∴P（−125，175）；
当点P在直线AC下方时，设直线CP′交x轴于点G，
∵∠CBA﹣∠P′CA＝45°，
∴∠CBA＝45°+∠P′CA＝∠CGB，
∴CG＝CB，
∴点O是BG的中点，
∴G（﹣1，0），
∴直线CP′的解析式为：y＝4x+4，
令4x+4＝﹣x2﹣3x+4，解得x＝0（舍去）或x＝﹣7，
∴P′（﹣7，﹣24）．
综上，点P的坐标为：（−125，175）或（﹣7，﹣24）．
2022年湖北省孝感市孝南区中考数学一模试卷
一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分，每题只有一个选项是正确的）
1．（3分）下列四个数中，最小的数是（ ）
A．﹣1 B．1 C．0 D．−2
2．（3分）第24届冬季奥林匹克运动会，即北京冬季奥运会，于2022年2月4日开幕，2022年2月20日闭幕．据报道，在赛事期间，创纪录地有超过6400万人使用奥林匹克网站和APP关注冬奥会，数据6400万用科学记数法可以表示为（ ）
A．6.4×108 B．0.64×108 C．6.4×107 D．64×106
3．（3分）如图是由三个相同的小正方体组成的几何体，则该几何体的左视图是（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）在平面直角坐标系中，点A（2，m）与点B（n，3）关于原点对称，则（ ）
A．m＝3，n＝2 B．m＝﹣3，n＝﹣2 C．m＝3，n＝﹣2 D．m＝﹣3，n＝2
5．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．（a2）3＝a5 B．a8÷a4＝a2
C．a2•a＝a3 D．（﹣ab）2＝﹣a2b2
6．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．“每天太阳从西边出来”是随机事件
B．为了解全国中学生视力和用眼卫生情况，适宜采用全面调查
C．甲、乙两人射中环数的方差分别是S 甲2=2，S 乙2=1.2，说明甲的射击成绩更稳定
D．数据4，3，5，5，2的中位数是4
7．（3分）《孙子算经》是中国古代最重要的数学著作，约成书于四、五世纪．其中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸，屈绳量之，不足一尺．木长几何？”译文：“用一根绳子去量一根长木，绳子还余4.5尺，将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问长木多少尺？”设绳子长x尺，木长y尺，可列方程组为（ ）
A．x−y=4.512x=y−1 B．x−y=4.512x=y+1
C．y−x=4.512x=y+1 D．x−y=4.512y=x−1
8．（3分）如图1，正方形ABCD中，点E是边AD的中点，点P以lcm/s的速度从点A出发，沿A→B→C运动到点C后，再沿线段CA到达点A．图2是点P运动时，△PEC的面积y（cm2）随时间x（s）变化的部分图象．根据图象判断：下列能表示点P在整个运动过程中y随x变化的完整图象为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分）
9．（3分）如图，若a∥b，∠1＝60°，则∠2的度数为 度．
10．（3分）分式方程1x−1=1的解是 ．
11．（3分）某扇形的圆心角为150°，其弧长为20π，则此扇形的半径是 ．
12．（3分）若方程x2﹣3x﹣1＝0的两根为x1，x2，则x1（1+x2）+x2的值为 ．
13．（3分）如图，为了测量某建筑物AB的高度，在平地上C处测得建筑物顶端A的仰角为30°，沿CB方向前进12m到达D处，在D处测得建筑物顶端A的仰角为45°，则建筑物AB的高度等于 ．
14．（3分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD＝6，AB＝16，则△ABD的面积是 ．
15．（3分）双减政策背景下，为落实“五育并举”，某学校准备打造学生第二课堂，有四类课程可供选择，分别是“A．书画类、B．文艺类、C．社会实践类、D．体育类”．现随机抽取了七年级部分学生对报名意向进行调查，并根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图，若该校七年级共有800名学生，根据上述调查结果估计该校学生选择“社会实践类”的学生共有 名．
16．（3分）如图，是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形EFGH拼成的一个大正方形ABCD，连CH和AF，若CH＝CB，则S阴影S正方形ABCD= ．
三、解答题（共8大题，共72分，解答应写文字说明、演算步骤或证明过程。）
17．（6分）计算：|2−3|+20220−(12)−1+tan60°．
18．（8分）化简：M=x2−2xx−1÷(1x−1+1)，同时求出M有意义时x的取值范围，并从不等式组1−3x＜x+3x−13＜1的解集中取一个合适的整数值代入求值．
19．（8分）到目前为止，北京是世界上唯一一个既举办过夏季奥运会，又举办过冬季奥运会的城市，以下是北京奥运会、残奥会、冬奥会及冬残奥会的会徽卡片（除字母和内容外，其余完全相同），四张卡片分别用编号A、B、C、D来表示．现将这四张会徽卡片背面朝上，洗匀放好．
（1）从中任意抽取一个会徽卡片，恰好是“中国印•舞动的北京”的概率为 ．
（2）小思从中随机抽取一张卡片（不放回），再从余下的卡片中随机抽取一张，请你用列表或画树状图的方法求抽到的两张会徽卡片中至少有一张“冬梦”的概率．
20．（9分）如图，平面直角坐标系中，直线L：y1＝k1x+b与双曲线C：y2=k2x交于A（﹣2，3），B（m，﹣2）两点．
（1）分别求y1，y2对应的函数表达式；
（2）过点A作AP⊥x轴交x轴于点P，求△ABP的面积；
（3）点M（x，y）为第四象限双曲线C上的一个动点，过M作y轴垂线分别交y轴和直线L于点Q、点N，直接写出QM＜QN时，点M的横坐标x的取值范围为 ．
21．（9分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，以CD为直径的⊙O分别交AC，BC于点E，F两点，过点F作FG⊥AB于点G．
（1）试判断FG与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若CD＝5，sin∠B=35，求FG的长．
22．（10分）某企业接到一批零件的加工任务，要求在20天内完成，这批零件的出厂价为每个6元．为按时完成任务，该企业招收了新工人，在6天的培训期内，新工人小亮第x天能加工80x个零件，培训后小亮第x天内加工的零件个数为（50x+200）个．
（1）小亮第几天加工零件数量为650个？
（2）如图所示，设第x天每个零件的加工成本是P元，P与x之间的函数关系可用图中的函数图象来刻画，若小亮第x天创造的利润为w元，求出w与x之间的函数表达式．
（3）试确定第几天的生产利润最大？最大利润是多少？（利润＝出厂价﹣进价）
23．（10分）在△ABC中，D为边AC上一点．
（1）如图1，若∠ABD＝∠C，求证：AB2＝AD•AC；
（2）如图2，F为线段BD上一点，且满足∠ABD＝∠ACF．
①当AC＝3，AB＝2，点F为BD中点时，求CD的长；
②延长CF交AB于E，当点D为AC中点且BD＝CF时，直接写出DFBD的值为 ．
24．（12分）如图1，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，直线y＝x+4经过点A和点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，点P为y轴左侧抛物线上一动点，连CP、CB和AP．
①当点P在直线AC上方时，连PB交AC于D，记M＝S△APC﹣S△BPC，求M的最大值及M取最大值时点P的坐标？
②当点P满足∠CBA﹣∠PCA＝45°时，直接写出P点坐标为 ．
2022年湖北省孝感市孝南区中考数学一模试卷
答案与详解
一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分，每题只有一个选项是正确的）
1．（3分）下列四个数中，最小的数是（ ）
A．﹣1 B．1 C．0 D．−2
【分析】根据实数的大小比较法则（正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，两个负数比较大小，绝对值大的反而小）比较即可．
【解答】解：∵−2＜−1＜0＜1，
∴最小的数是−2，
故选：D．
2．（3分）第24届冬季奥林匹克运动会，即北京冬季奥运会，于2022年2月4日开幕，2022年2月20日闭幕．据报道，在赛事期间，创纪录地有超过6400万人使用奥林匹克网站和APP关注冬奥会，数据6400万用科学记数法可以表示为（ ）
A．6.4×108 B．0.64×108 C．6.4×107 D．64×106
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【解答】解：6400万＝64000000＝6.4×107．
故选：C．
3．（3分）如图是由三个相同的小正方体组成的几何体，则该几何体的左视图是（ ）
A． B． C． D．
【分析】细心观察图中几何体中正方体摆放的位置，根据左视图是从左面看到的图形判定则可．
【解答】解：从左边看竖直叠放2个正方形．
故选：C．
4．（3分）在平面直角坐标系中，点A（2，m）与点B（n，3）关于原点对称，则（ ）
A．m＝3，n＝2 B．m＝﹣3，n＝﹣2 C．m＝3，n＝﹣2 D．m＝﹣3，n＝2
【分析】直接利用关于原点对称点的性质求出m，n的值，进而得出答案．两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（﹣x，﹣y）．
【解答】解：∵点A（2，m）与点B（n，3）关于原点对称，
∴m＝﹣3，n＝﹣2，
故选：B．
5．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．（a2）3＝a5 B．a8÷a4＝a2
C．a2•a＝a3 D．（﹣ab）2＝﹣a2b2
【分析】利用同底数幂的乘法的法则，幂的乘方与积的乘方的法则，同底数幂的除法的法则对各项进行运算即可．
【解答】解：A、（a2）3＝a6，故A不符合题意；
B、a8÷a4＝a4，故B不符合题意；
C、a2•a＝a3，故C符合题意；
D、（﹣ab）2＝a2b2，故D不符合题意；
故选：C．
6．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．“每天太阳从西边出来”是随机事件
B．为了解全国中学生视力和用眼卫生情况，适宜采用全面调查
C．甲、乙两人射中环数的方差分别是S 甲2=2，S 乙2=1.2，说明甲的射击成绩更稳定
D．数据4，3，5，5，2的中位数是4
【分析】根据事件发生的可能性大小、全面调查的、方差的意义以及中位数的概念进行分析判断．
【解答】解：A、“每天太阳从西边出来”是不可能事件，不符合题意；
B、为了解全国中学生视力和用眼卫生情况，适宜采用抽样调查，不符合题意；
C、甲、乙两人射中环数的方差分别是S 甲2=2，S 乙2=1.2，说明乙的射击成绩更稳定，不符合题意；
D、数据4，3，5，5，2按照从小到大排列顺序为：2，3，4，5，5，中间的数字是4，则中位数是4，符合题意．
故选：D．
7．（3分）《孙子算经》是中国古代最重要的数学著作，约成书于四、五世纪．其中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸，屈绳量之，不足一尺．木长几何？”译文：“用一根绳子去量一根长木，绳子还余4.5尺，将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问长木多少尺？”设绳子长x尺，木长y尺，可列方程组为（ ）
A．x−y=4.512x=y−1 B．x−y=4.512x=y+1
C．y−x=4.512x=y+1 D．x−y=4.512y=x−1
【分析】设绳子长x尺，长木长y尺，根据“用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺，将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺”，可得出关于x，y的二元一次方程组．
【解答】解：设绳子长x尺，长木长y尺，
依题意，得：x−y=4.512x=y−1，
故选：A．
8．（3分）如图1，正方形ABCD中，点E是边AD的中点，点P以lcm/s的速度从点A出发，沿A→B→C运动到点C后，再沿线段CA到达点A．图2是点P运动时，△PEC的面积y（cm2）随时间x（s）变化的部分图象．根据图象判断：下列能表示点P在整个运动过程中y随x变化的完整图象为（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】从图2中点（4，0）得到正方形的边长＝2cm，当点P在AB上运动时，列出y的函数式，判断出点P在B点处时，△PEC的面积最大；当点P在BC上运动时，CP越来越小，△PEC的面积y也越来越小，所以当点P运动到点B时，△PEC的面积最大，从而得到a的值；当点P从点C到点A时，x的值为4+22，画出图形，表示出此时y与x的关系式即可．
【解答】解：∵函数图象经过点（4，0），
∴AB+BC＝1×4＝4（cm），
∴AB＝BC＝CD＝DA＝2cm，
∵点E是边AD的中点，
∴DE＝AE＝1cm，
当点P在AB上运动时，即0＜x≤2时，
AP＝xcm，BP＝（2﹣x）cm，
y＝S正方形ABCD﹣S△ECD﹣S△AEP﹣S△PCB
＝2×2−12×1×2−12×1•x−12×2×（2﹣x）
=12x+1，
∵k=12＞0，
∴y随x的增大而增大，
∴当x＝2时，即点P与点B重合时，y最大＝2；
当点P在BC上运动时，
这时△PEC的高不变，底边CP越来越小，
∴△PEC的面积也越来越小，
即y越来越小．
综上所述，点P运动时，△PEC的面积的最大值是2，则a＝2．由此可排除C，D．
当点P在CA上时，CP＝（x﹣4）cm，
过点E作EM⊥AC于点M，则EM=2cm，
∴y=12×2•（x﹣4）
=22x﹣22，是一条直线．由此可排除B．
故选：A．
二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分）
9．（3分）如图，若a∥b，∠1＝60°，则∠2的度数为 120 度．
【分析】由对顶角相等可得∠3＝∠1＝60°，再根据平行线性质可得∠2度数．
【解答】解：如图，
∵∠1＝60°，
∴∠3＝∠1＝60°，
又∵a∥b，
∴∠2+∠3＝180°，
∴∠2＝120°，
故答案为：120．
10．（3分）分式方程1x−1=1的解是 x＝2 ．
【分析】先把方程两边都乘以x﹣1得到1＝x﹣1，解得x＝2，然后进行检验得到原方程的解为x＝2．
【解答】解：去分母得1＝x﹣1，
解得x＝2，
检验：当x＝2时，x﹣1≠0，
所以原方程的解为x＝2．
故答案为：x＝2．
11．（3分）某扇形的圆心角为150°，其弧长为20π，则此扇形的半径是 24 ．
【分析】根据弧长公式即可得到关于扇形半径的方程即可求解．
【解答】解：设扇形的半径是r，则150⋅π×r180=20π，
解得：r＝24．
故答案为：24．
12．（3分）若方程x2﹣3x﹣1＝0的两根为x1，x2，则x1（1+x2）+x2的值为 2 ．
【分析】利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积，原式变形后代入计算即可求出值．
【解答】解：∵方程x2﹣3x﹣1＝0的两根为x1，x2，
∴x1+x2＝3，x1x2＝﹣1，
则原式＝x1+x1x2+x2
＝（x1+x2）+x1x2
＝3﹣1
＝2．
故答案为：2．
13．（3分）如图，为了测量某建筑物AB的高度，在平地上C处测得建筑物顶端A的仰角为30°，沿CB方向前进12m到达D处，在D处测得建筑物顶端A的仰角为45°，则建筑物AB的高度等于 6（3+1）m ．
【分析】根据题意得出AB＝BD，再利用锐角三角函数关系得出tan30°=ABBC求出即可．
【解答】解：设AB＝xm，由题意可得：BD＝x，∠C＝30°，
则tan30°=ABBC=xx+12，
故33=xx+12，
解得：x＝6（3+1）．
故答案为：6（3+1）m．
14．（3分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD＝6，AB＝16，则△ABD的面积是 48 ．
【分析】根据作图过程可得，AD是∠CAB的平分线，过点D作DE⊥AB于点E，根据∠C＝90°，可得DC⊥AC，可得DE＝CD＝6，进而可得△ABD的面积．
【解答】解：根据作图过程可知：
AD是∠CAB的平分线，
如图，过点D作DE⊥AB于点E，
∵∠C＝90°，
∴DC⊥AC，
∴DE＝CD＝6，
∴S△ABD=12AB•DE=12×16×6＝48．
故答案为：48．
15．（3分）双减政策背景下，为落实“五育并举”，某学校准备打造学生第二课堂，有四类课程可供选择，分别是“A．书画类、B．文艺类、C．社会实践类、D．体育类”．现随机抽取了七年级部分学生对报名意向进行调查，并根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图，若该校七年级共有800名学生，根据上述调查结果估计该校学生选择“社会实践类”的学生共有 128 名．
【分析】根据D类的人数和所占的百分比，可以求得本次被抽查的学生人数；根据“C．社会实践类”的学生有8名，可以计算出该校学生选择“C．社会实践类”的学生共有多少名．
【解答】解：本次被抽查的学生共有：20÷40%＝50（名），800×850=128（名），
即该校学生选择“C．社会实践类”的学生共有128名．
故答案为：128．
16．（3分）如图，是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形EFGH拼成的一个大正方形ABCD，连CH和AF，若CH＝CB，则S阴影S正方形ABCD= 110 ．
【分析】记CH与DF的交点为点N，AF与BH的交点为点M，设直角三角形的较短直角边的长为a，长直角边的长为b，然后得到正方形ABCD的面积，CF＝BE＝a，BH＝CE＝b，得到EH＝EF＝b﹣a，再由CE⊥BH，CH＝CB得到BE＝EH＝a，从而得到b＝2a，△CFN∽△CEH，再由相似三角形的性质求得FN的长，即可求得阴影部分的面积，最后求得结果．
【解答】解：如图，记CH与DF的交点为点N，AF与BH的交点为点M，则四边形MHNF是平行四边形，
设直角三角形的较短直角边的长为a，长直角边的长为b，
∴S正方形ABCD＝AD2＝a2+b2，CF＝BE＝a，BH＝CE＝b，
∴EH＝EF＝b﹣a，
∵CE⊥BH，CH＝CB，
∴BE＝EH＝a，
∴b＝2a，
∴S正方形ABCD＝a2+b2＝a2+（2a）2＝5a2，EF＝2a﹣a＝a，
∵∠NFC＝∠HEC＝90°，
∴FN∥EH，
∴△CFN∽△CEH，
∴FNEH=FCEC，即FNa=a2a，
解得：FN=12a，
∴S阴影＝FN•EF=12a•a=12a2，
∴S阴影S正方形ABCD=12a25a2=110，
故答案为：110．
三、解答题（共8大题，共72分，解答应写文字说明、演算步骤或证明过程。）
17．（6分）计算：|2−3|+20220−(12)−1+tan60°．
【分析】化简绝对值，零指数幂，负整数指数幂，代入特殊角的三角函数值，然后再计算．
【解答】解：原式＝2−3+1﹣2+3
＝1．
18．（8分）化简：M=x2−2xx−1÷(1x−1+1)，同时求出M有意义时x的取值范围，并从不等式组1−3x＜x+3x−13＜1的解集中取一个合适的整数值代入求值．
【分析】先根据分式的加法法则算括号里面的，再根据分式的除法法则进行计算，即可得出化简的结果，根据分式有意义的条件得出x﹣1≠0且x≠0，求出x不能为1和0，求出不等式组的解集，再求出不等式组的整数解，取x＝2，再把x＝2代入化简的结果x﹣2，即可求出分式的值．
【解答】解：M=x2−2xx−1÷(1x−1+1)
=x(x−2)x−1÷1+x−1x−1
=x(x−2)x−1÷xx−1
=x(x−2)x−1•x−1x
＝x﹣2，
要使分式x2−2xx−1÷(1x−1+1)有意义，必须x﹣1≠0，x≠0，
即x≠1和0，
所以x的取值范围是x≠1且x≠0，
解不等式组1−3x＜x+3x−13＜1得：−12＜x＜4，
所以不等式组的整数解是0，1，2，3，
取x＝2，
当x＝2时，原式＝2﹣2＝0．
19．（8分）到目前为止，北京是世界上唯一一个既举办过夏季奥运会，又举办过冬季奥运会的城市，以下是北京奥运会、残奥会、冬奥会及冬残奥会的会徽卡片（除字母和内容外，其余完全相同），四张卡片分别用编号A、B、C、D来表示．现将这四张会徽卡片背面朝上，洗匀放好．
（1）从中任意抽取一个会徽卡片，恰好是“中国印•舞动的北京”的概率为 14 ．
（2）小思从中随机抽取一张卡片（不放回），再从余下的卡片中随机抽取一张，请你用列表或画树状图的方法求抽到的两张会徽卡片中至少有一张“冬梦”的概率．
【分析】（1）根据概率公式直接得出答案；
（2）先由题意先画树状图列出所有等可能的结果数，其中抽到的两张会徽卡片中至少有一张“冬梦”的结果数为6，再由概率公式求解可得．
【解答】解：从中任意抽取一个会徽卡片，恰好是“中国印•舞动的北京”的概率为14，
故答案为：14；
（2）画树状图如图：
共有12种等可能的结果数，其中抽到的两张会徽卡片中至少有一张“冬梦”的结果数为6，
则抽到的两张会徽卡片中至少有一张“冬梦”的概率=612=12．
20．（9分）如图，平面直角坐标系中，直线L：y1＝k1x+b与双曲线C：y2=k2x交于A（﹣2，3），B（m，﹣2）两点．
（1）分别求y1，y2对应的函数表达式；
（2）过点A作AP⊥x轴交x轴于点P，求△ABP的面积；
（3）点M（x，y）为第四象限双曲线C上的一个动点，过M作y轴垂线分别交y轴和直线L于点Q、点N，直接写出QM＜QN时，点M的横坐标x的取值范围为 0＜x＜3 ．
【分析】（1）把A（﹣2，3）代入到y2=k2x求得k2的值，再把B（m，﹣2）代入双曲线函数的表达式中，可求得m的值；把A，B两点的坐标代入到一次函数表达式中，可求得一次函数的表达式；
（2）S△ABP＝S△APC+S△BPC进行求解即可；
（3）观察图象即可求得．
【解答】解：（1）∵直线L：y1＝k1x+b与双曲线C：y2=k2x交于A（﹣2，3），B（m，﹣2）两点，
∴3=k2−2，解得：k2＝﹣6，
∴双曲线的表达式为：y2=−6x，
∴把B（m，﹣2）代入y2=−6x，得﹣2=−6m，解得：m＝3，
∴B（3，﹣2），
把A（﹣2，3）和B（3，﹣2）代入y1＝k1x+b得：−2k1+b=33k1+b=−2，
解得：k1=−1b=1，
∴直线的表达式为：y1＝﹣x+1；
（2）∵A（﹣2，3），AP⊥x轴交x轴于点P，
∴P（﹣2，0），
设直线AB交x轴于C，
在y1＝﹣x+1中，令y＝0，则﹣x+1＝0，解得x＝1，
∴C（1，0），
∴PC＝3，
∴S△ABP＝S△APC+S△BPC=12×3×3+12×3×2=152；
（3）∵当M点与B重合时，QM＝QN，
观察图象，当x＜3时，QM＜QN，
故QM＜QN时，点M的横坐标x的取值范围为0＜x＜3．
故答案为：0＜x＜3．
21．（9分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，以CD为直径的⊙O分别交AC，BC于点E，F两点，过点F作FG⊥AB于点G．
（1）试判断FG与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若CD＝5，sin∠B=35，求FG的长．
【分析】（1）如图，连接OF，根据直角三角形的性质得到CD＝BD，得到∠DBC＝∠DCB，根据等腰三角形的性质得到∠OFC＝∠OFC，得到∠OFC＝∠DBC，推出∠OFG＝90°，即可求解；
（2）连接DF，根据勾股定理得到BC＝8，根据圆周角定理得出∠DFC＝90°，根据三角形函数的定义即可得出结论．
【解答】（1）证明：如图，连接OF，
∵∠ACB＝90°，D为AB的中点，
∴CD＝BD，
∴∠DBC＝∠OCF，
∵OF＝OC，
∴∠OFC＝∠OCF，
∴∠OFC＝∠DBC，
∴OF∥DB，
∴∠OFG+∠DGF＝180°，
∵FG⊥AB，
∴∠DGF＝90°，
∴∠OFG＝90°，
∵OF为半径，
∴FG是⊙O的切线；
（2）解：如图，连接DF，
∵CD＝5，
∴AB＝2CD＝10，
∵sinB=35，
∴AC＝6，
∴BC=AB2−AC2=8，
∵CD为⊙O的直径，
∴∠DFC＝90°，
∴FD⊥BC，
∵DB＝DC，
∴BF=12BC＝4，
∵sin∠ABC=ACAB=FGFB，即610=FG4，
∴FG=125．
22．（10分）某企业接到一批零件的加工任务，要求在20天内完成，这批零件的出厂价为每个6元．为按时完成任务，该企业招收了新工人，在6天的培训期内，新工人小亮第x天能加工80x个零件，培训后小亮第x天内加工的零件个数为（50x+200）个．
（1）小亮第几天加工零件数量为650个？
（2）如图所示，设第x天每个零件的加工成本是P元，P与x之间的函数关系可用图中的函数图象来刻画，若小亮第x天创造的利润为w元，求出w与x之间的函数表达式．
（3）试确定第几天的生产利润最大？最大利润是多少？（利润＝出厂价﹣进价）
【分析】（1）把y＝650代入y＝50x+200，解方程即可求得；
（2）先根据图象求得成本P与x之间的关系式，再根据利润等于出厂价减去成本价，整理即可得到w与x之间的函数表达式；
（3）根据一次函数的增减性和二次函数的增减性分别求出（2）中所求w的最大值，比较即可．
【解答】解：（1）设小亮第n天加工零件数量为650个，
由题意可知：50n+200＝650，
解得n＝9．
答：小亮第9天加工零件数量为650个；
（2）由图象得，当0≤x≤12时，P＝5.2；
当12＜x≤20时，设P＝kx+b，
把点（12，5.2），（20，6）代入得，
12k+b=5.220k+b=6，解得k=0.1b=4，
所以P＝0.1x+4．
①0≤x≤6时，w＝（6﹣5.2）×80x＝64x；
②6＜x≤12时，w＝（6﹣5.2）×（50x+200）＝40x+160；
③12＜x≤20时，w＝（6﹣0.1x﹣4）×（50x+200）＝﹣5x2+80x+400；
（3）①0≤x≤6时，w＝64x；
当x＝6时，w最大＝384（元）；
②6＜x≤12时，w＝40x+160；
当x＝12时，w最大＝640（元）；
③12＜x≤20时，w＝﹣5x2+80x+400＝﹣5（x﹣8）2+720；
∵a＝﹣5＜0，x是整数，
∴当x＝13时，w最大＝599（元）；
综上，当x＝12时，w有最大值，最大值为640．
答：第12天的利润最大，最大利润是640元．
23．（10分）在△ABC中，D为边AC上一点．
（1）如图1，若∠ABD＝∠C，求证：AB2＝AD•AC；
（2）如图2，F为线段BD上一点，且满足∠ABD＝∠ACF．
①当AC＝3，AB＝2，点F为BD中点时，求CD的长；
②延长CF交AB于E，当点D为AC中点且BD＝CF时，直接写出DFBD的值为 5−12 ．
【分析】（1）根据相似三角形的判定证得△ABD∽△ACB，再根据相似三角形的性质可证得结论；
（2）①延长DC到点E，使CE＝DC，连接BE，由三角形中位线的性质得到FC∥BE，由平行线的性质得到∠DCF＝∠E，由（1）得到△ABD∽△AEB，根据相似三角形的性质得到AB2＝AE•AD，设CD＝CE＝x，则AD＝AC﹣CD＝3﹣x，AE＝AC+CE＝3+x，代入上式求解可得结论；
②如图3，延长BD至M，使BD＝DM，连接CM，证明△ADB≌△CDM（SAS），得∠ACF＝∠M，再证明△CFD∽△MFC，设CF＝x，DF＝y，列比例式可得x=(5+1)y2，从而得结论．
【解答】（1）证明：∵∠ABD＝∠C，∠A＝∠A，
∴△ABD∽△ACB，
∴ABAC=ADAB，
∴AB2＝AD•AC；
（2）解：如图2，延长DC到点E，使CE＝DC，连接BE，
∵点F是BD的中点，
∴FC是△DBE的中位线，
∴FC∥BE，
∴∠DCF＝∠E，
∵∠DCF＝∠ABD，
∴∠E＝∠ABD，
又∵∠A＝∠A，
∴△ABD∽△AEB，
∴ABAE=ADAB，
∴AB2＝AE•AD，
设CD＝CE＝x，则AD＝AC﹣CD＝3﹣x，AE＝AC+CE＝3+x，
∴22＝（3+x）•（3﹣x），
∴x2＝5．
∴x=5（舍负），
∴CD的长为5；
（3）解：如图3，延长BD至M，使BD＝DM，连接CM，
∵AD＝CD，∠ADB＝∠CDM，
∴△ADB≌△CDM（SAS），
∴∠ABD＝∠M，
∵∠ABD＝∠ACF，
∴∠ACF＝∠M，
∵∠CFD＝∠CFM，
∴△CFD∽△MFC，
∴CFFM=DFCF，
设CF＝x，DF＝y，
∴x2＝y（x+y），
x2﹣xy﹣y2＝0，
x=y±5y2，
∴x1=(5+1)y2，x2=(1−5)y2（舍），
∴DFBD=y(5+1)y2=5−12．
故答案为：5−12．
24．（12分）如图1，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，直线y＝x+4经过点A和点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，点P为y轴左侧抛物线上一动点，连CP、CB和AP．
①当点P在直线AC上方时，连PB交AC于D，记M＝S△APC﹣S△BPC，求M的最大值及M取最大值时点P的坐标？
②当点P满足∠CBA﹣∠PCA＝45°时，直接写出P点坐标为 （−125，175）或（﹣7，﹣24） ．
【分析】（1）由直线解析式y＝x+4可得出点A和点C的坐标，代入抛物线解析式即可求出抛物线的解析式；
（2）①由（1）中的抛物线的解析式可求出点A，B，C的坐标，进而可求出直线BC的解析式，过点P作x轴的垂线交x轴于点E，由三角形的面积之间的关系可得出M＝S△ABP﹣S△ABC，再利用二次函数的性质求出M的最大值和最小值，由此可得出结论；
②分两种情况：当点P在直线AC上方时，设直线CP交x轴于点K，易证△OCK∽△OBC，可得出点K的坐标，进而得出直线CP的解析式，联立即可得出点P的坐标；当点P在直线AC下方时，设直线CP′交x轴于点G，易得△CBG是等腰三角形，得出点G的坐标，进而可得出直线CP′的解析式，联立即可得出点P的坐标．
【解答】解：（1）直线y＝x+4经过点A和点C，
当x＝0时，y＝4当y＝0时，x＝﹣4，
∴A（﹣4，0），C （0，4），
∵拋物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，
∴c=40=−16−4b+c，解得b=−3c=4，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣3x+4．
（2）①过点P作PE⊥x轴，垂足为E，
∵抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣3x+4，
当y＝0时，﹣x2﹣3x+4＝0，解得x＝1或x＝﹣4，
∴B（1，0），
∴C（0，4），A（﹣4，0），
∴AO＝4，CO＝4，BO＝1．
设P （x，﹣x2﹣3x+4），
∴PE＝﹣x2﹣3x+4，OE＝﹣x，
∵M＝S△APC﹣S△BPC
＝S△APD+S△PDC﹣S△PDC﹣S△BCD
＝S△APD﹣S△BCD
＝S△APD+S△ABD﹣S△ABD﹣S△BCD
＝S△APB﹣S△ABC，
∵S△APB=12•AB•PE=52（﹣x2﹣3x+4），
S△ABC=12•AB•OC＝10．
∴M＝S△APB﹣S△ABC=52（﹣x2﹣3x+4）﹣10=−52（x+32）2+458，
∴当x=−32时，M有最大值458，
此时P（−32，254）．
②根据题意可知，OA＝OC＝4，
∴∠OAC＝∠OCA＝45°．
需要分两种情况：
当点P在直线AC上方时，设直线CP交x轴于点K，
∵∠CBA﹣∠PCA＝45°，
∴∠CBA＝45°+∠PCA＝∠OCK，
∴△OCK∽△OBC，
∴OK：OC＝OC：OB，即OK：4＝4：1，
∴OK＝16，即K（﹣16，0）．
∴直线CP的解析式为：y=14x+4，
令y=14x+4＝﹣x2﹣3x+4，解得x＝0（舍去）或x=−125，
∴P（−125，175）；
当点P在直线AC下方时，设直线CP′交x轴于点G，
∵∠CBA﹣∠P′CA＝45°，
∴∠CBA＝45°+∠P′CA＝∠CGB，
∴CG＝CB，
∴点O是BG的中点，
∴G（﹣1，0），
∴直线CP′的解析式为：y＝4x+4，
令4x+4＝﹣x2﹣3x+4，解得x＝0（舍去）或x＝﹣7，
∴P′（﹣7，﹣24）．
综上，点P的坐标为：（−125，175）或（﹣7，﹣24）．
相关试卷
2023年湖北省孝感市孝南区中考数学三模试卷（含解析）： 这是一份2023年湖北省孝感市孝南区中考数学三模试卷（含解析），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
湖北省孝感市孝南区重点达标名校2022年中考数学全真模拟试卷含解析： 这是一份湖北省孝感市孝南区重点达标名校2022年中考数学全真模拟试卷含解析，共16页。试卷主要包含了考生必须保证答题卡的整洁，- 的绝对值是，点A等内容，欢迎下载使用。
湖北省孝感市孝南区部分校2022年中考数学最后冲刺模拟试卷含解析： 这是一份湖北省孝感市孝南区部分校2022年中考数学最后冲刺模拟试卷含解析，共21页。试卷主要包含了平面直角坐标系中的点P，计算3–，计算3的结果是等内容，欢迎下载使用。
