湖北省部分普通高中2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷(含答案)

这是一份湖北省部分普通高中2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷(含答案)，共15页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．直线的倾斜角是( )
A.B.C.D.
2．第33届夏季奥林匹克运动会于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行，金牌榜前10名的国家的金牌数依次为，则这10个数的分位数是( )
A.14.5B.15C.16D.17
3．如图,在四面体OABC中,,,,点M在线段OA上,且,N为BC中点,则等于( )
A.B.C.D.
4．如图所示，下列频率分布直方图显示了三种不同的形态.图(1)形成对称形态，图(2)形成“右拖尾”形态，图(3)形成“左拖尾”形态，根据所给图作出以下判断，正确的是( )
A.图(1)的平均数＝中位数＞众数B.图(2)的众数＜中位数＜平均数
C.图(2)的平均数＜众数＜中位数D.图(3)的中位数＜平均数＜众数
5．如图，在长方体中，，，E为中点，则到平面的距离为( )
A.1B.C.D.2
6．已知定点，若直线过定点M且方向向量是，直线过定点M且方向向量是，直线在y轴上的截距是a，直线在y轴上的截距是b，则( )
A.2B.-2C.1D.-1
7．已知事件A,B满足,,则( )
A.若A与B相互独立,则
B.若A与B互斥,
C.若,则C与B相互对立
D.若,则
8．设定点，当P到直线距离最大时，直线l与x轴的交点A，则此时过点A且与直线l垂直的直线方程是( )
A.B.
C.D.
二、多项选择题
9．抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚硬币正面向上”，事件“第二枚硬币反面向上”，下列结论中正确的是( )
A.A与B互为对立事件B.A与B为相互独立事件
C.A与B相等D.
10．已知直线，直线，则下列结论正确的是( )
A.在x轴上的截距为B.恒过定点
C.若，则或D.若，则
11．在空间直角坐标系中,已知向量,点,点.
(1)若直线l经过点,且以为方向向量,P是直线l上的任意一点且其坐标满足,称为直线l的方程;
(2)若平面经过点,且以为法向量,P是平面内的任意一点且其坐标满足,称为平面的方程.
设直线l的方程为,平面的方程为,,则( )
A.,
B.直线l与平面所成角的余弦值为
C.N到平面的距离为
D.向量是平面内的任意一个向量,则存在唯一的有序实数对,使得,其中,.
三、填空题
12．一组数据的平均数等于21，方差，则这组数据中______．
13．在正方体中，E，F，G分别是，，各棱的中点．则与平面所成角的余弦值________．
14．在平面直角坐标系中，A为直线上在第一象限内的点，，线段的垂直平分线分别交直线和直线l于C，D两点．若，则点A的横坐标为________．
四、解答题
15．袋中有形状、大小都相同编号为的4只小球，从中随机摸出1只小球，设事件A：摸出1或2号小球，B：摸出1或3号小球，C：摸出1或4号小球．
(1)求事件A发生的概率．
(2)求的值．
16．如图，在棱长为1的正方体中，E、F分别是棱，上的中点．
(1)求直线与所成角的余弦值；
(2)求平面与平面夹角的正切值．
17．江夏区金口“草把龙”是武汉市级非物质文化遗产．“草把龙”是利用金灿灿的稻草包裹而成，制作“草把龙”的稻草要长，颜色要鲜，成色要新．为了提高收割机脱粒和稻草的质量，某企业对现有的一条水稻收割机产品生产线进行技术升级改造，为了分析改造的效果，该企业质检人员从该条生产线所生产的产品中随机抽取了1000台，检测产品的某项质量指标值，根据检测数据得到下表（单位：件）
(1)估计产品的某项质量指标值的70百分位数．
(2)经计算这组样本的质量指标值的平均数和方差分别是61和241．设表示不大于x的最大整数，表示不小于x的最小整数，s精确到个位，，，根据检验标准，技术升级改造后，若质量指标值至少有落在内，则可以判断技术改造后的产品质量初级稳定；若至少有落在内，则可以判断技术改造后的产品质量稳定，可认为生产线技术改造成功，请问：根据样本数据估计，是否可以判定生产线的技术改造是成功的？（参考数据：）
18．已知直线过定点，直线的方程是．
(1)若直线的横截距为纵截距2倍，求直线的方程．
(2)若直线与x，y轴正半轴分别交于P，Q两点，过P，Q分别作直线垂线，垂足分别是R，S．求四边形面积最小值．
19．在如图所示的试验装置中，两个正方形框架，的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直．活动弹子M，N分别在正方形对角线和上移动，且和的长度保持相等，记．
(1)求的长（用a表示）；
(2)a为何值时，的长最小？
(3)当平面与平面夹角时．求的长．
参考答案
1．答案：A
解析：直接利用直线的斜率求出直线的倾斜角即可
2．答案：D
解析：
3．答案：D
解析：依题意,
.
故选：D.
4．答案：B
解析：图(1)的分布直方图是对称的，
平均数=中位数=众数，故A错误;
图(2)中众数最小，右拖尾平均数大于中位数，故B正
确，C错误;
图(3)中左拖尾众数最大，平均数小于中位数，故D错误
故选:B.
5．答案：C
解析：
6．答案：A
解析：由题意知直线的斜率,直线的斜率,
所以直线的方程为,
直线的方程为,
所以,
所以.
故选：A
7．答案：D
解析：选项A,若A与B相互独立,则A与相互独立,
所以,故A错误;
选项B,若A与B互斥,则A,B不可能同时发生,
即,故B错误;
选项C,若,则由于不确定C与B是否互斥,
所以无法确定两事件是否对立,如抛掷一枚质地均匀的骰子,观察试验的结果,
设事件“出现奇数点”;事件“出现点数不大于3”,
则,,
但事件B,C并不互斥,也不对立,故C错误;
选项D,若,则,
则,故D正确
故选：D.
8．答案：D
解析：
9．答案：BD
解析：由对立事件是在一次试验中，故A错误；
A，B为独立事件，B正确；
事件不是在一次试验中，事件不会相等，由，
可得C错误；D正确.
故选：BD.
10．答案：ABD
解析：直线中，令，得，故A正确；
直线中，令，得，故B正确；
若两直线平行，则有，且，可得，故C错误；
若两直线垂直，则有，得，故D正确.故选ABD.
11．答案：ACD
解析：对于A,因为,,所以,,故A正确;
对于B,平面的一个法向量为,直线l的方向向量为,
由,得直线l与平面所成角的余弦值为,故B错误;
对于C,因为,所以,所以N到平面的距离为,故C正确;
对于D,因为,所以,
又,,则,,即,在平面内,
由空间向量基本定理可得存在唯一的有序实数对,使得,故D正确.
故选：ACD.
12．答案：
解析：由题意可知
即
又
所以
故答案为：21
13．答案：
解析：
14．答案：
解析：因为,所以,
又点C为AB的中点
所以.设直线l的倾鈄角为,直线AB的斜率为k,
则.
又,所以直线AB的方程为,
又A为直线上在第一象限内的点,
联立直线AB与直线l的方程,得,
解得,
所以点A的横坐标为3.
15．答案：(1)
(2)2
解析：(1)样本空间为，，
所以
(2)因为，
所以，所以，
又因为，
所以，
所以.
16．答案：(1)
(2)
解析：(1)以D为原点，以的方向分别为轴的正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则
所以．
故
设直线与所成角为，
则
(2)因为，所以．
设平面的法向量为，
则，
令，得．
取平面的一个法向量．
设平面与平面的夹角为，
则，
故，
即平面与平面夹角的正切值为．
17．答案：(1)69
(2)答案见解析
解析：(1)设产品的某项质量指标值的70百分位数为x，
则，
解得．
(2)由，知，
则，
，
该抽样数据落在内的频率约为，
，，
该抽样数据落在内的频率约为，
可以判断技术改造后的产品质量初稳定，但不能判定生产线技术改造成功．
18．答案：(1)或
(2)4
解析：(1)当经过时，设，
代入，所以，即，
当不经过时，设，
代入，解得，即，
所以直线的方程为或.
(2)由题意设，
令，则，所以，
令，则，所以，
所以，，
因为的倾斜角为，
所以，
所以均为等腰直角三角形，
所以，
所以
，
因为，
所以，
当且仅当，即(舍)时取等号，
由二次函数性质可知，，
当且仅当时取等号，
所以四边形面积的最小值为4.
19．答案：(1)答案见解析
(2)
(3)
解析：(1)因为，为正方形，
所以，
又平面平面
所以，
如图建立空间直角坐标系，
，，，，
分别作，垂足分别为，
易知，
因为，
由相似比可得，
所以，．
；
(2)，
当时，最小，最小值为；
(3)，
设平面与平面的法向量分别为，
则，
，
令，得，
令，，
因为平面与平面夹角，
所以，
即，
解得（增根已舍去），
所以此时.
质量指标值
产品
60
100
160
300
200
100
80