福建省福州第一中学2025届九年级上学期期中考试数学试卷(含答案)

这是一份福建省福州第一中学2025届九年级上学期期中考试数学试卷(含答案)，共22页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．若两个相似图形的相似比是,则它们的面积比是( )
A.B.C.D.
2．把二次函数的图象向下平移1个单位长度后所得的图象的函数解析式为( )
A.B.C.D.
3．若关于x的方程有一个根为,则a的值为( )
A.6B.C.4D.
4．如图,将绕点A顺时针旋转得到,若,,,则的长为( )
A.5B.4C.3D.2
5．如图,C,D是上直径两侧的两点.设,则( )
A.B.C.D.
6．近年来,我国数字技术不断更新,影响着全民阅读形态.为预计某市2024年数字阅读市场规模,经查询得数据：该市2021年数字阅读市场规模为432万元,2023年数字阅读市场规模为507万元.设该市年平均增长率为x,则下列方程正确的是( )
A.B.
C.D.
7．如表中列出了二次函数的一些对应值,则一元二次方程的一个近似解x的范围是( )
A.B.C.D.
8．如图①所示,平整的地面上有一个不规则图案(图中阴影部分),小明想了解该图案的面积是多少,他采取了以下办法：用一个长为,宽为的长方形,将不规则图案围起来,然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球,并记录小球落在不规则图案上的次数(球扔在界线上或长方形区域外不计实验结果),他将若干次有效实验的结果绘制成了②所示的折线统计图,由此他估计不规则图案的面积大约为( )
A.B.C.D.
9．把边长分别为1和2的两个正方形按图的方式放置.则图中阴影部分的面积为( )
A.B.C.D.
10．点,在抛物线上,且满足,,,则m的取值范围是( )
A.B.或C.D.或
二、填空题
11．在做抛掷均匀硬币实验时,抛一次硬币,正面朝上的概率为______.
12．点A坐标为,点A与点B关于原点中心对称,点B坐标为______.
13．已知抛物线与x轴只有一个交点,则______.
14．如图,在中,AB是的弦,的半径为3cm,C为上一点,,则的长为______cm.
15．当与时,代数式的值相等,则时,代数式的值为______.
16．中,,,D在线段上运动,以为斜边作,使,点E和点A位于的两侧,连接,则的最小值为______.
三、解答题
17．解方程：
(1)；
(2).
18．如图,在中,,,于E.求证：.
19．如图,每个小正方形的边长均为1,方格纸中画有,、、均在小正方形的顶点上.
(1)将绕点逆时针旋转得到,画出；
(2)在(1)的旋转过程中,求点运动的路径的长度.
20．如图,以线段为直径作,交射线于点C,平分交于点D,过点D作直线于点E,交的延长线于点F.连接并延长交于点M.
(1)求证：直线是的切线；
(2)求证：.
21．已知抛物线经过点,,且有最大值4.
(1)求抛物线的表达式；
(2)若,求函数值y的取值范围.
22．一个不透明的袋中装有1个红球、2个黑球,它们除颜色不同外其余都相同.
(1)若从袋中随机摸出一球,求该球是红球的概率；
(2)先往袋中加入1个红球或黑球(它们与袋中的球大小、质地完全一样),再从袋中依次抽取两球(不放回),若要使得抽取的这两球颜色相同的概率较大,则应往袋中加入红球还是黑球？请利用树状图或列表法说明理由.
23．正五边形是一个具有和谐美的几何图形,其尺规作图法引起了学者们的关注,里士满提出了一个构造圆内接正五边形的尺规作图方法,并且通过计算得到,当圆的半径为1时,其内接正五边形的边长为.如图,圆O的半径1,和是相互垂直的直径,直线l是过点C的圆的切线.
(1)尺规作图：①作的中点E,②以C为圆心,的长为半径交切线于点F,③以F为圆心,的长半径交切线于点G,且F、G在直线的两侧,连接、.
(2)结合材料,在线段、、中,判断哪条线段的长度等于圆O的内接正五边形的边长,并说明理由.
24．根据以下的素材,制定方案,设计出面积最大的花圃：
素材1：有一堵长m米()的围墙,利用这堵墙和长为的篱笆围成矩形花圃,设花圃面积为y,甲、乙、丙三人讨论如何设计一个面积最大的花圃.
素材2：甲的设计方案,利用墙面作为矩形花圃的一边(如图1),求解决过程如下：
设平行于墙面的篱笆长为米,则垂直于墙面的篱笆长为
依题意得：
∵函数开口向下,对称轴为直线
∴当时,y随n的增大而增大
∴时,y的最大值为
素材3：受甲的方案的启发,乙、丙各自有了新的设计方案.乙的方案：利用全部围墙作为矩形一边的一部分(如图2)；丙的方案,利用部分围墙作为矩形一边的一部分(如图3)
设墙左端篱笆长为x米,解决下列问题：
任务1：当时,对于乙的方案,则可知______(用含x的代数式表示),花圃面积______(用含x的代数式表示),求该方案对应的花圃面积的最大值.
任务2：对于丙的方案,设所用墙的长度为a米(),求该方案对应的花圃面积的最大值.
任务3：比较甲、乙、丙三种方案,判断哪种方案设计出的花圃面积更大？并说明理由.
25．如图是一张矩形纸片,点M是对角线的中点,点E在边上.
(1)如图1,将沿直线折叠,使点C落在对角线上的点F处,连接,.
①若,,求对角线的长；
②若,求的度数及此时的值.
(2)如图2,若,,连接、,将沿折叠,点C的对应点为点G,当线段与线段交于点H且为直角三角形时,求此时的长.
参考答案
1．答案：D
解析：∵两个相似图形的相似比是,
∴它们的面积比是,
故选：D.
2．答案：C
解析：把二次函数的图象向下平移1个单位长度后所得的图象的函数解析式为.
故选：C.
3．答案：C
解析：∵关于x的方程有一个根为,
∴,解得,
故选：C.
4．答案：A
解析：将绕点A顺时针旋转得到,
,,
是等边三角形,
,
故选：A.
5．答案：D
解析：∵C,D是上直径AB两侧的两点,
∴,
∵,
∴,
∴,
故选：D.
6．答案：C
解析：设该市年平均增长率为x,
依题意,得：.
故选：C.
7．答案：A
解析：当时,；当时,,
∴方程的一个近似根x的范围是,
故选：A.
8．答案：B
解析：假设不规则图案面积为x,
由已知得：长方形面积为20,
根据几何概率公式小球落在不规则图案的概率为：,
当事件A实验次数足够多,即样本足够大时,其频率可作为事件A发生的概率估计值,故由折线图可知,小球落在不规则图案的概率大约为0.35,
综上有：,解得.
故选：B.
9．答案：A
解析：∵,
∴
∴
即
解得
∴阴影部分面积
10．答案：B
解析：,,
,
,
,
,
或,
解得：或,
故选：B.
11．答案：/0.5
解析：∵连续抛掷一枚硬币,有2种等可能结果：正面朝上,反面朝上,其中正面向上的只有1种情况,
∴正面朝上的概率为：.
故答案为：.
12．答案：
解析：∵点与点B关于原点中心对称,
∴点B的坐标为,
故答案为：.
13．答案：1
解析：当时,,
由题意得,,
解得：,
故答案为：1.
14．答案：
解析：连接OA、OB,过点O作于点D,
,,
,
,
,
,
,
,
,
,
故答案为：.
15．答案：
解析：由抛物线,
∴抛物线的对称轴为直线,
∵当或时,代数式的值相等,
∴当或时,抛物线的函数值相等,
∴以a、b为横坐标的点关于直线对称,
∴,
∴,
∵,
∴,
当时,,
即时,代数式的值为.
故答案为：.
16．答案：
解析：如图所示,作,过点A作于F,连接,
∵,,
∴；
∵,,
∴,
∴,
∴,
同理可得,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴,
∵F为定点,
∴点E在直线上运动,
设直线交于G,交于K,过点B作直线的垂线,垂足为H,连接,
∵,,
∴,
∴,
又∵,
∴,
∴,
∴是等腰直角三角形,
∴；
∵,
∴,
∴,
∴,
∴,
由垂线段最短可知,当点E与点H重合时,有最小值,最小值为
故答案为：.
17．答案：(1),
(2),
解析：(1)整理方程得：,
解得；
(2)整理方程得：,
∵,,,
∴,
∴,
∴,.
18．答案：证明见解析
解析：∵在中,,,
∴.
又∵,
∴,
又∵,
∴.
19．答案：(1)图见解析
(2)
解析：(1)如图,即为所求；
(2)由勾股定理,得：,
∴点运动的路径的长度为.
20．答案：(1)见解析
(2)见解析
解析：(1)证明：连接,
,
,
平分,
,
,
,
,
,
是的半径,
直线是的切线；
(2)线段是的直径,
,
,
,
,
,
,
.
21．答案：(1)
(2)
解析：(1)∵抛物线经过点,,
∴抛物线的对称轴为直线,
∵函数有最大值4,
∴抛物线的顶点坐标为,
设抛物线解析式为,
把代入得,解得,
∴抛物线的解析式为；
(2)∵,
∴抛物线开口向下,
离对称轴越远,y值越小,
,
当时,函数有最小值,最小值为,
当时,函数有最大值为4,
.
22．答案：(1)
(2)黑球,理由见解析
解析：(1)由题意得,该球是红球的概率为；
(2)当往袋中加入1个红球时,列表如下：
共有12种等可能的结果,其中抽取的这两球颜色相同的结果有4种,
抽取的这两球颜色相同的概率为；
当往袋中加入1个黑球时,列表如下：
共有12种等可能的结果,其中抽取的这两球颜色相同的结果有6种,
抽取的这两球颜色相同的概率为,
,
应往袋中加入黑球.
23．答案：(1)见解析
(2)的长度等于圆O的内接正五边形的边长
解析：(1)如图所示,即为所求,
(2)的长度等于圆O的内接正五边形的边长,理由如下：
由题意可知,,,
∵点E为的中点,
∴,
由以C为圆心,的长为半径交切线于点F,可知,
∴,,
由以F为圆心,的长半径交切线于点G,可知,
∴,
则
,
∴的长度等于圆O的内接正五边形的边长.
24．答案：任务1：；,该方案对应的花圃面积的最大值为
任务2：当时,花圃面积y取最大值
任务3：丙方案设计出的花圃面积更大
解析：任务1：∵,,
∴,
又∵篱笆总长为,,
∴,
∵乙的方案：利用全部围墙作为矩形一边的一部分,
∴,,
∴,
∴花圃面积,
即,
∵函数开口向下,对称轴为直线,
∴时,最大值,
故答案为：；,该方案对应的花圃面积的最大值为.
任务2：∵,,
∴,
又∵篱笆总长为,,
∴,
∵丙的方案,利用部分围墙作为矩形一边的一部分,
∴,,
∴,
∴花圃面积,
即,
∵函数开口向下,对称轴为直线,
∴当时,花圃面积y取最大值.
任务3：∵甲方案：y的最大值为；乙方案：最大值为,丙方案：最大值；
∴当时,的最大值为,的最大值为；当时,的最大值为,的最大值为,
∴排除乙方案,
设的最大值函数为,的最大值函数为,
令,则,
即,
∴,
∴与仅有一个交点,
当∵当时,,
∴在取值范围内,的最大值函数图象在的最大值函数图象的上方,
∴丙方案设计出的花圃面积更大.
25．答案：(1)①；②
(2)的长为或
解析：(1)①∵四边形为矩形,
∴,
∵,,
∴,,
由折叠的性质可得：,,
∴,
∴为等边三角形,
∴,
∴,
∴；
②如图,连接,
由折叠的性质可得,,,
∵,
∴,
∴,
设,则,
∵,
∴,
∵四边形为矩形,
∴,
∵M为的中点,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴,即,,
∵,
∴,
∵,
∴,即,
∵,,
∴,
∴,
∵,
∴,
解得：(负值已舍去),
∴,
∴,
∴；
(2)∵四边形为矩形,
∴,
∵,,
∴,
∵M为的中点,
∴,
∵为直角三角形,
∴当时,如图,
∵,
∴,
∵,
∴,
∴,
设,则,,,,
由折叠的性质可得：,,
∴,
∵,
∴由勾股定理可得：,
∴,
解得：,
∴,
∵,
∴；
当时,如图,
,
同理可得：,
∴,
设,则,,,,
由折叠的性质可得：,,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴由勾股定理可得：,
∴,
解得：或,
∴或,
∵,
∴；
综上所述,的长为或.
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
…
y
…
﹣11
﹣5
﹣1
1
1
…
红1
红2
黑1
黑2
红1
——
(红1,红2)
(红1,黑1)
(红1,黑2)
红2
(红2,红1)
——
(红2,黑1)
(红2,黑2)
黑1
(黑1,红1)
(黑1,红2)
——
(黑1,黑2)
黑2
(黑2,红1)
(黑2,红2)
(黑2,黑1)
——
红
黑1
黑2
黑3
红
——
(红,黑1)
(红,黑2)
(红,黑3)
黑1
(黑1,红)
——
(黑1,黑2)
(黑1,黑3)
黑2
(黑2,红)
(黑2,黑1)
——
(黑2,黑3)
黑3
(黑3,红)
(黑3,黑1)
(黑3,黑2)
——