湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2024-2025学年高三上学期11月期中考试数学试卷（Word版附解析）

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时限：120分钟 满分：150分 命题人：潘天群 付靖宜 审题人：钟涛
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 已知集合，则（ ）
A B. C. D.
2. 若，则在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
3. 已知为单位向量，向量在向量上的投影向量是，且，则的值为（ ）
A. 2B. 0
C. D.
4. 已知展开式各项系数之和为64，则展开式中的系数为（ ）
A. 31B. 30C. 29D. 28
5. 在某班进行的歌唱比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生，2位男生．如果2位男生不能连着出场，且女生甲不能排在第一个，那么出场顺序的排法种数为
A. 30B. 36C. 60D. 72
6. 函数（，，）的部分图象如图所示，图象上的所有点向左平移个单位长度得到函数的图象.若对任意的都有，则图中的值为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知数列的通项公式，在其相邻两项，之间插入个，得到新的数列，记的前项和为，则使成立的的最小值为（ ）
A. 28B. 29C. 30D. 31
8. 已知点、是椭圆的左、右焦点，点为椭圆上一点，点关于的角平分线的对称点也在椭圆B上，若，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
9. 已知直线和圆相交于M，N两点，则下列说法正确的是（ ）
A. 直线过定点
B. 最小值为3
C. 最小值为
D. 圆上到直线的距离为的点恰好有三个，则
10. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点，，，…，均在x轴正半轴上，点，，，…，均在y轴正半轴上.已知，，，…，，，，四边形，，，…，均为长方形.当时，记为第个倒“L”形，则（ ）

A. 点的纵坐标为
B. 点，，，…，均曲线上
C. 长方形的面积为
D. 第10个倒“L”形的面积为100
11. 如图，已知四面体的各条棱长均等于2，E，F分别是棱AD，的中点.G为平面上的一动点，则下列说法中正确的有（ ）
A. 三棱锥体积为
B. 线段的最小值为
C. 当G落在直线BD上时，异面直线与所成角余弦值最大为
D. 垂直于的一个面，截该四面体截得的截面面积最大为1
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 无人酒店是利用人工智能与物联网技术为客人提供自助入住等服务的新型酒店，胜在科技感与新奇感.去某地旅游的游客有无人酒店和常规酒店两种选择.某游客去该地旅游，第一天随机选择一种酒店入住，如果第一天入住无人酒店，那么第二天还入住无人酒店的概率为0.8；如果第一天入住常规酒店，那么第二天入住无人酒店的概率为0.6，则该游客第二天入住无人酒店的概率为__________.
13. 在中，，，，则的最大值为__________.
14. 已知定义在R上的函数满足：对任意实数m，n均有，若，且时，，则关于x的不等式的解集为__________.
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 如图，在三棱柱中，平面平面，为的中点.
（1）证明：平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值.
16. 红蜘蛛是柚子的主要害虫之一，能对柚子树造成严重伤害，每只红蜘蛛的平均产卵数（个）和平均温度（℃）有关.现收集了某地关于红蜘蛛的平均产卵数和平均温度的7组数据，得到如下散点图.
（1）根据散点图，判断模型与（其中e为自然对数的底数）哪一个更适合作为平均产卵数与平均温度的回归分析模型；（给出判断即可，不必说明理由）
（2）由（1）的判断结果，求出关于的经验回归方程；
（3）根据以往每年平均气温以及对果园年产值的统计，得到以下数据：平均气温在以下的年数占，对柚子的产量影响不大，不需要采取防虫措施；平均气温在至的年数占，柚子的产量会下降；平均气温在以上的年数占，柚子的产量会下降.为了更好的防治红蜘蛛虫害，农科所研发出多种防害措施供果农选择.在每年价格不变且无虫害的情况下，某果园的年产值为万元，根据以上数据，以得到最高收益（收益=年产值一防害费用）为目标，请为果农从以下个方案中选择最佳防害方案，并说明理由.
方案1：选择防害措施，可以防治各种气温的红蜘蛛虫害且不减产，费用是18万元；
方案2：选择防害措施，可以防治至的红蜘蛛虫害，但无法防治以上的红蜘蛛虫害，费用是万元；
方案3：不采取防虫害措施.
附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，
17. 在数列{an}中，已知，.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）记，且数列{bn}的前项和为，若为数列中的最小项，求的取值范围.
18. 已知抛物线，顶点为O，过焦点F的直线交抛物线于A，B两点.
（1）若，求线段中点到y轴的距离；
（2）设点G是线段上的动点，顶点O关于点G的对称点为C，求四边形面积的最小值；
（3）设D为抛物线上的一点，过点D作直线，分别交抛物线于M，N两点，作直线，分别交抛物线于P，Q两点，且，，设线段与线段的交点为T，求直线斜率的取值范围.
19. 函数，．
（1）若函数在0,+∞上单调递增，求实数的取值范围；
（2）若直线是函数图象的切线，求的最小值；
（3）当时，若与的图象有两个交点，，试比较与的大小．（取为2.8，取为0.7，取为1.4）
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27
81.3
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