湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2022-2023学年高二数学上学期期中考试试卷（Word版附解析）

华中师大一附中2022-2023学年度上学期高二期中检测

数学试题

考试时间：120分钟  试卷满分：150分

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 若直线的方向向量是，则直线的倾斜角是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】由斜率与倾斜角，方向向量的关系求解，

【详解】由题意得直线的斜率为，则直线的倾斜角是，

故选：C

2. 直线，，若，则的值为（    ）

A  B.  C.  D. 或

【答案】D

【解析】

【分析】根据两直线垂直可得出关于的等式，即可得解.

【详解】因为，则，解得或.

故选：D.

3. 在下列四个命题中，正确的是（    ）

A. 若直线的倾斜角越大，则直线斜率越大

B. 过点的直线方程都可以表示为：

C. 经过两个不同的点，的直线方程都可以表示为：

D. 经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为

【答案】C

【解析】

【分析】根据直线倾斜角和斜率的关系，以及点斜式，两点式，截距式方程的适用范围，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.

【详解】对A：当直线的倾斜角时，倾斜角越大，斜率越大；当时，不存在斜率；

当时，倾斜角越大，斜率越大，故A错误；

对B：当直线斜率不存在时，不可以用表示，故B错误；

对C：经过任意两个不同的点，的直线，当斜率等于零时，，，方程为，能用方程表示；当直线的斜率不存在时，，，方程为，

能用方程表示，故C正确，

对D：经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为，，故D错误.

故选：C.

4. 已知直线上动点，过点向圆引切线，则切线长的最小值是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据切线长，半径以及圆心到点的距离的关系，求得圆心到直线的距离，再求切线长距离的最小值即可.

【详解】圆，其圆心为，半径，则到直线的距离；

设切线长为，则，若最小，则取得最小值，显然最小值为，

故的最小值为，即切线长的最小值为.

故选：A.

5. 已知分别为椭圆的左、右焦点，是椭圆E上一动点，G点是三角形的重心，则点G的轨迹方程为（   ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】设，利用三角形的重心坐标公式可得，将其代入可得结果.

【详解】分别为椭圆的左、右焦点，

设，G点是三角形的重心

则，得，

又是椭圆E上一动点，，即，

又G点是三角形的重心，

所以点G的轨迹方程为

故选：B

6. 已知椭圆，点关于直线的对称点落在椭圆C上，则椭圆C的离心率为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】求得点关于直线的对称点的坐标，根据点的坐标满足椭圆方程，整理化简求得，再结合离心率计算公式求解即可.

【详解】易知点关于直线的对称点为，

根据题意可得：，故可得或，又，故；

则离心率.

故选：D.

7. 过椭圆左焦点作倾斜角为的直线，与椭圆交于、两点，其中为线段的中点，线段的长为，则椭圆的离心率为（   ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】设、、，利用点差法，化简可得，结合已知条件可得，将其代入上式化简可求得结果.

详解】设、、，

由题意得，，

两式相减，得，

因为为线段的中点，且直线的倾斜角为，所以．

因为，直线的倾斜角为，，

易知点在第二象限，则，，

所以，所以，得，

所以，即，所以．

故选：D.

8. 已知过定点的直线与圆C：相交于A，B两点，当线段的长为整数时，所有满足条件直线的条数为（   ）

A. 11 B. 20 C. 21 D. 22

【答案】C

【解析】

【分析】先求出的范围，找到为整数的条数即可.

【详解】由已知圆，得

所以圆心为，半径，且

设定点为，易知在圆内，

当与垂直时，，最小为

当经过点时，此时最大为

故，即

又因为，，的长为整数

所以当时，直线的条数各为两条，

当时，直线的条数为一条，共条.

故选：C

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 对于曲线，下面说法正确的是（    ）

A. 若，曲线C的长轴长为4

B. 若曲线是椭圆，则的取值范围是

C. 若曲线是焦点在轴上的双曲线，则的取值范围是

D. 若曲线是椭圆且离心率为，则的值为或

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据双曲线、椭圆的知识对选项进行分析，从而确定正确答案.

【详解】曲线，

A选项，， ，则，A选项正确.

B选项，若曲线椭圆，则，

解得且，所以B选项错误.

C选项，若曲线是焦点在轴上的双曲线，则，

解得，C选项正确.

D选项，曲线是椭圆且离心率为，，

由B选项的分析可知且，

当时，椭圆焦点在轴上，，解得；

当时，椭圆焦点在轴上，，解得，

所以的值为或，D选项正确.

故选：ACD

10. 已知两圆方程为与，则下列说法正确的是（    ）

A. 若两圆外切，则

B. 若两圆公共弦所在的直线方程为，则

C. 若两圆的公共弦长为，则

D. 若两圆在交点处的切线互相垂直，则

【答案】AB

【解析】

【分析】根据圆与圆的位置关系对选项进行分析，从而确定正确答案.

【详解】设圆为圆，圆的圆心为，半径.

设圆为圆，圆的圆心为，半径.

.

A选项，若两圆外切，则，A选项正确.

B选项，由两式相减并化简得，

则，

此时，满足两圆相交，B选项正确.

C选项，由两式相减并化简得，

到直线的距离为，

所以，

即，则解得或，C选项错误.

D选项，若两圆在交点处的切线互相垂直，设交点为，

根据圆的几何性质可知，

所以，D选项错误.

故选：AB

11. 已知两点的距离为定值，平面内一动点，记的内角的对边分别为，面积为，下面说法正确的是（    ）

A. 若，则最大值为2

B. 若，则最大值为

C. 若，则最大值为

D. 若，则最大值为1

【答案】BC

【解析】

【分析】设点坐标，根据条件分别求出动点的轨迹方程，再由三角形ABC的面积，转化为由轨迹方程求的最大值即可得解.

【详解】设，动点，

对A，，即，化简可得C的轨迹方程，所以三角形ABC的面积，即C点为时，三角形ABC面积最大，故A错误；

对B，由题意可得，化简可得C的轨迹方程，所以，即C点为时，三角形ABC面积最大，故B正确；

对C，由知，动点C的轨迹为以A，B为焦点的椭圆（除去长轴上的两个顶点），椭圆方程为，三角形ABC的面积，即当C运动到短轴端点时，三角形面积最大，故C正确；

对于D，由题意，化简可得C的轨迹方程， 三角形ABC的面积，

由双曲线中的范围知，三角形ABC的面积的最大值为，故D错误.

故选：BC

12. 已知分别为椭圆左、右焦点，下列说法正确的是（    ）

A. 若点的坐标为，P是椭圆上一动点，则线段长度的最小值为

B. 若椭圆上恰有6个不同的点，使得为等腰三角形，则椭圆的离心率的取值范围是

C. 若圆的方程为，椭圆上存在点P，过P作圆的两条切线，切点分别为A，B，使得，则椭圆E的离心率的取值范围是

D. 若点的坐标为，椭圆上存在点P使得，则椭圆的离心率的取值范围是

【答案】BCD

【解析】

【分析】A选项，设出，，则，表达出，分与两种情况，得到不同情况下的线段长度的最小值，A错误；

B选项，先得到上下顶点能够使得为等腰三角形，再数形结合得到为圆心，为半径作圆，只能交椭圆与不同于上下顶点的两点，列出不等式组，求出答案；

C选项，分与两种情况，第一种情况成立，第二种情况下得到P点与上顶点或下顶点重合时，最大，数形结合列出不等式，最终求出离心率的取值范围；

D选项，设，，则，表达出，问题转化为在上有解问题，数形结合得到，求出离心率的取值范围.

【详解】设，，则，

，

，

若，此时，，此时当时，取得最小值，最小值为，线段长度的最小值为；

若，此时，，此时当时，取得最小值，最小值为，

线段长度的最小值为，

综上：A错误；

如图，椭圆左右顶点为，上下顶点为，

显然上下顶点能够使得为等腰三角形，

要想椭圆上恰有6个不同的点，使得为等腰三角形，

以为圆心，为半径作圆，只能交椭圆与不同于上下顶点的两点，

则要满足，且，

即，解得：，且，

故椭圆的离心率的取值范围是，B正确；

若，此时与椭圆有公共点，故存在点P，过P作圆的两条切线，切点分别为A，B，使得，此时，即；

若，即时，如图所示：

连接OP，OB，显然，，则，

因为在上单调递增，要想最大，只需最大，

故当最小时，满足要求，故P点与上顶点或下顶点重合时，最大，

故当时满足要求，所以，

即，所以，解得：，所以，

综上：若圆的方程为，椭圆上存在点P，过P作圆的两条切线，切点分别为A，B，使得，则椭圆E的离心率的取值范围是，C正确；

设，，则，

椭圆上存在点P使得，即在上有解，

即在上有解，

令，注意到，

，

故只需满足，

由①得：，由②得：或，

综上：

则椭圆的离心率的取值范围是，D正确.

故选：BCD

【点睛】离心率时椭圆的重要几何性质，是高考重点考察的知识点，这类问题一般有两类，一是根据一定的条件求椭圆的离心率，另一类是根据题目条件求解离心率的取值范围，无论是哪类问题，其难点都是建立关于的等式或不等式，并且根据化为的等式或不等式，求出离心率或离心率的范围，再求解椭圆离心率取值范围时常用的方法有：

一、借助平面几何图形中的不等关系；

二、利用函数的值域求解范围；

三、根据椭圆自身性质或基本不等式求解范围等.

三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 已知双曲线的一条渐近线为，一个焦点为，则______.

【答案】

【解析】

【分析】根据渐近线、焦点以及求得.

【详解】依题意双曲线的渐近线，

由焦点得，

由，解得.

故答案为：

14. 写出使得关于的方程组无解的一个的值为______.（写出一个即可）

【答案】，3，（写出一个即可）

【解析】

【分析】根据方程组无解，讨论其中一方程无解、两方程表示的直线平行、一方程表示直线过，另一方程表示直线不过该点的情况得解.

【详解】显然，当时，不表示直线，无解，故方程组无解；

当时，由方程组可看作求两直线（）与的交点，则方程组无解，即直线无交点，

若两直线平行，则，解得.

若两直线不平行时，过点，即，解得或，

此时，不过点，方程组无解.

综上，的取值为.

故答案为：，3，（写出一个即可）

15. 已知椭圆的右焦点F，P是椭圆E上的一个动点，点坐标是，则的最大值是______.

【答案】13

【解析】

【分析】设椭圆左焦点，根据椭圆的定义将转化为，结合图形的几何性质，即可求得答案.

【详解】由可知 ，，

设椭圆左焦点，则

，

当且仅当，，共线时且当在的延长线上时等号成立．

的最大值为，

故答案为：.

16. 已知直线与圆C：相交于A，B两点，O为坐标原点，若四点共圆，则的值为______.

【答案】4

【解析】

【分析】设出所在圆的圆心以及圆方程，根据圆心坐标满足的垂直平分线，结合直线为圆与圆的相交线直线，比较系数，即可求得结果.

【详解】设所在圆的圆心为，则圆方程为；

又的中点坐标为，，故垂直平分线的斜率，

则的垂直平分线所在方程为：，即，故；

因为直线为圆与圆的相交弦，故两圆方程作差可得：，

即，又直线方程为，

则，解得.

故答案：.

四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

17. 直线过点，且倾斜角比直线的倾斜角大.

（1）求直线的方程；

（2）若直线与直线平行，且距离为，求直线的方程.

【答案】（1）；   

（2）和.

【解析】

【分析】（1）设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，则由题意可得，再利用两角和的正切公式可求出，即可得直线的斜率，从而可求出直线的方程；

（2）由题意可设直线的方程为，再利用两平行线间的距离公式列方程求解即可.

【小问1详解】

设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，

则题意得，

所以

，

所以直线的方程为，即，

【小问2详解】

由题意可设直线的方程为，

因为直线与直线的距离为，

所以，解得或，

所以直线的方程为和.

18. 已知三点都在圆上.

（1）试求圆C的方程；

（2）若斜率为的直线与圆交于不同两点，且以为直径的圆恰好过点，求直线的方程.

【答案】（1）   

（2）或

【解析】

【分析】（1）根据已知条件求得圆心和半径，从而求得圆的方程.

（2）设出直线的方程，根据“以为直径的圆恰好过点”求得到直线的距离，结合点到直线的距离公式求得直线的方程.

【小问1详解】

由题意知三点，，构成的是以PQ为斜边的直角三角形，

所以覆盖它且面积最小的圆是的外接圆，

故圆心是线段PQ的中点，半径，

所以圆C的方程是.

【小问2详解】

设直线l的方程是：，即，

因为以为直径的圆恰好过点，，

所以圆心C到直线l的距离是，

即 解得：.

所以直线l的方程是：或.

19. 已知圆.

（1）求过点且与圆相切的直线方程；

（2）已知点．则在圆上是否存在点，使得？若存在，求点的个数，若不存在，说明理由．

【答案】（1）或；   

（2）存在，点P的个数为2,理由见解析

【解析】

【分析】（1）由点到直线的距离公式列式求解，

（2）由题意列式得轨迹方程，由圆和圆的位置关系求解，

【小问1详解】

由题意圆C：，圆心，半径，

1）当直线l的斜率不存在时，直线l：，符合题意；

2）当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为：即，

则圆心C到直线l的距离，解得，

所以直线l的方程为即

综上，直线l的方程为或；

【小问2详解】

假设圆C上存在点P，设，则C：，

又，

即，P的轨迹是圆心为，半径为3的圆.

因为，

所以圆C：与圆相交，

所以点P的个数为2

20. 如图，四棱锥的底面为菱形，，底面，分别是线段的中点，是线段上的一点

（1）若是线段的中点，试证明平面；

（2）已知直线与平面所成角为.

①若和的面积分别记为，试求的值；

②求三棱锥的体积.

【答案】（1）证明见解析   

（2）①；②

【解析】

【分析】（1）利用线面平行的判定即可证明.

（2）①利用向量法和三角形面积公式即可求得的值，②利用等体积法即可求得体积.

【小问1详解】

∵，分别为线段，，∴，

又∵，∴，面PAD，面PAD，∴面PAD.

【小问2详解】

分别以，，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，

，，，，，，，，，设平面AEF的法向量

，则 ，所以，取，

设，

则

则，

整理得，解得或（舍去)，

①

②∵，且

21. 已知椭圆：的离心率为，点在椭圆上，为其左焦点，过的直线与椭圆交于两点.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）试求△面积的最大值以及此时直线的方程.

【答案】（1）；   

（2）最大值为，此时直线l的方程.

【解析】

【分析】（1）根据已知条件，列出满足的等量关系，求得，则椭圆方程得解；

（2）对直线的斜率进行讨论，在斜率存在时，联立直线方程和椭圆方程，结合韦达定理求得弦长和点到直线的距离，即可表达出三角形面积关于参数的函数关系，进而求函数的最大值即可.

【小问1详解】

根据题意可得：，，

又，解得，，，

故椭圆的标准方程为：.

【小问2详解】

①当直线l斜率为零时， 显然不满足题意；

②直线l的斜率不为零， 设其方程为：，

联立椭圆方程：可得：，

设A，B的坐标分别为，，则，，

，

点O到直线AB的距离，，

令，则，故

对函数，，易知在单调递增，

在单调递减，故，当且仅当，即时取得等号；

故△面积的最大值为，此时直线l的方程.

下证：在单调递增.

在上任取，且，

故，

因为，故，，即，

故在上单调递增.

【点睛】关键点点睛：本题考查椭圆方程的求解，以及椭圆中的面积问题；第二问处理的关键是能够利用弦长公式和点到直线的距离公式表达出面积关于参数的函数关系，以及能够利用函数单调性求解函数的最值，属中档题.

22. 椭圆的左、右焦点分别为，焦距为，点M为椭圆上位于x轴上方的一点，满足，且的面积为2.

（1）求椭圆C的方程；

（2）设椭圆的左､右顶点分别为，直线交椭圆于两点，记直线的斜率为，直线的斜率为，已知.过点作直线的垂线，垂足为，问：在平面内是否存在定点使得为定值，若存在，求出点的坐标；若不存在，试说明理由.

【答案】（1）   

（2）存在，

【解析】

【分析】（1）根据已知条件，结合椭圆定义，解得，即可求得椭圆方程；

（2）根据的斜率关系，求得的斜率关系；设出直线的方程，联立椭圆方程，利用韦达定理，求得直线恒过的定点，结合，即可求得满足题意的点.

【小问1详解】

因为，所以 ， 即 ，

所以，所以，

又，，，

所以，即，所以，

所以，所以椭圆方程为.

【小问2详解】

依题意，，设，，

若直线PQ的斜率为0，则P，Q关于y轴对称，必有，不合题意；

所以直线PQ斜率必不为0，设其方程为，

与椭圆C联立，整理得：，

所以，

且，因为是椭圆上一点，即

所，

则， 即，

因为， 得

即

因为

，

整理得，解得，直线PQ恒过定点.

所以点H在以BM为直径的圆上，故存在点为BM的中点，满足题意.

【点睛】关键点点睛：本题考查椭圆方程的求解，以及椭圆中定值问题的求解；第二问中处理的关键是能够借助的斜率关系，求得的斜率关系，从而证明直线恒过定点，属综合困难题.