人教版数学七年级上册同步讲与练第4章 几何图形初步专题提升 线段的计算与角度的计算（30题）（2份，原卷版+解析版）

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专题提升 线段的计算与角的计算1．（2023秋•巨野县期中）如图，C，D是段AB上两点，若CB＝4cm，DB＝7cm，且D是线段AC的中点，求AC的长．【分析】根据CB＝4cm，DB＝7cm可求出DC的长，再根据D是线段AC的中点即可求出答案．【解答】解：∵CB＝4cm，DB＝7cm，∴DC＝DB﹣CB＝3cm．又∵D是AC的中点，∴AC＝2DC＝6cm．2．（2023秋•乐亭县期中）如图，点B是线段AC上一点，且AB＝20，BC＝8．（1）图中共有 　6　条线段；（2）试求出线段AC的长；（3）如果点O是线段AC的中点，请求线段OB的长．【分析】（1）根据线段的定义，数一数图中线段的条数即可；（2）根据AC＝AB+BC可得出答案；（3）由线段中点的定义得OC＝AC＝14，进而根据OB＝OC﹣BC可得出答案．【解答】解：（1）图中共有6条线段，分别是：AO，AB，AC，OB，OC，BC．故答案为：6；（2）∵AB＝20，BC＝8，∴AC＝AB+BC＝20+8＝28；（3）∵点O是AC的中点，∴OC＝AC＝×28＝14，∴OB＝OC﹣BC＝14﹣8＝6．3．（2022秋•西安期末）如图：已知线段AB＝16cm，点N在线段AB上，NB＝3cm，M是AB的中点．（1）求线段MN的长度；（2）若在线段AB上有一点C，满足BC＝10cm，求线段MC的长度．【分析】（1）根据线段中点的性质求出MB，然后用MB减去NB即可解答；（2）根据题目的已知画出图形，用BC减去BM即可解答．【解答】解：（1）∵M是AB的中点，AB＝16cm，∴MB＝AB＝8cm，∵NB＝3cm，∴MN＝MB﹣NB＝8﹣3＝5cm；（2）如图：∵BC＝10cm，MB＝8cm，∴CM＝BC﹣MB＝10﹣8＝2cm．4．（2022秋•永城市校级期末）已知数轴上有A、B、C三个点对应的数分别是a、b、c，且满足|a+24|+|b+10|+（c﹣10）2＝0；动点P从A出发，以每秒1个单位的速度向终点C移动，设移动时间为t秒．（1）求a、b、c的值；（2）若点P到A点距离是到B点距离的2倍，求点P的对应的数；（3）当点P运动到B点时，点Q从A点出发，以每秒3个单位的速度向C点运动，Q点到达C点后，再立即以同样的速度返回，运动到终点A．在点Q开始运动后第几秒时，P、Q两点之间的距离为4？请说明理由．【分析】（1）根据绝对值和偶次幂具有非负性可得a+24＝0，b+10＝0，c﹣10＝0，解可得a、b、c的值；（2）分两种情况讨论可求点P的对应的数；（3）分类讨论：当P点在Q点的右侧，且Q点还没追上P点时；当P在Q点左侧时，且Q点追上P点后；当Q点到达C点后，当P点在Q点左侧时；当Q点到达C点后，当P点在Q点右侧时，根据两点间的距离是4，可得方程，根据解方程，可得答案．【解答】解：（1）∵|a+24|+|b+10|+（c﹣10）2＝0，∴a+24＝0，b+10＝0，c﹣10＝0，解得：a＝﹣24，b＝﹣10，c＝10；（2）﹣10﹣（﹣24）＝14，①点P在AB之间，AP＝14×＝，﹣24+＝﹣，点P的对应的数是﹣；②点P在AB的延长线上，AP＝14×2＝28，﹣24+28＝4，点P的对应的数是4；（3）当P点在Q点的右侧，且Q点还没追上P点时，3t+4＝14+t，解得t＝5；当P在Q点左侧时，且Q点追上P点后，3t﹣4＝14+t，解得t＝9；当Q点到达C点后，当P点在Q点左侧时，14+t+4+3t﹣34＝34，t＝12.5；当Q点到达C点后，当P点在Q点右侧时，14+t﹣4+3t﹣34＝34，解得t＝14.5，综上所述：当Q点开始运动后第5、9、12.5、14.5秒时，P、Q两点之间的距离为4．5．（2022秋•禹城市期末）如图，已知点C为线段AB上一点，AC＝12cm，CB＝8cm，D、E分别是AC、AB的中点．求：（1）求AD的长度；（2）求DE的长度；（3）若M在直线AB上，且MB＝6cm，求AM的长度．【分析】（1）直接根据D是AC的中点可得答案；（2）先求出AB的长，然后根据E是AB的中点求出AE，做好应AE﹣AD即为DE的长；（3）分M在点B的右侧、M在点B的左侧两种情况进行计算即可．【解答】解：（1）由线段中点的性质，AD＝AC＝6（cm）；（2）由线段的和差，得AB＝AC+BC＝12+8＝20（cm），由线段中点的性质，得AE＝＝10（cm），由线段的和差，得DE＝AE﹣AD＝10﹣6＝4（cm）；（3）当M在点B的右侧时，AM＝AB+MB＝20+6＝26（cm），当M在点B的左侧时，AM＝AB﹣MB＝20﹣6＝14（cm），∴AM的长度为26cm或14cm．6．（2022秋•凤翔县期末）如图，线段AB＝20，BC＝15，点M是AC的中点．（1）求线段AM的长度；（2）在CB上取一点N，使得CN：NB＝2：3．求MN的长．【分析】（1）根据图示知AM＝AC，AC＝AB﹣BC；（2）根据已知条件求得CN＝6，然后根据图示知MN＝MC+NC．【解答】解：（1）线段AB＝20，BC＝15，∴AC＝AB﹣BC＝20﹣15＝5．又∵点M是AC的中点．∴AM＝AC＝×5＝，即线段AM的长度是．（2）∵BC＝15，CN：NB＝2：3，∴CN＝BC＝×15＝6．又∵点M是AC的中点，AC＝5，∴MC＝AC＝，∴MN＝MC+NC＝，即MN的长度是．7．（2022秋•仓山区期末）如图，点E是线段AB的中点，C是EB上一点，且EC：CB＝1：4，AC＝12cm．（1）求AB的长；（2）若F为CB的中点，求EF长．【分析】（1）由线段的和差倍分，线段的中点，方程解得AB的长20cm；（2）由线段的中点，线段的和差计算出EF长为6cm．【解答】解：如图所示：（1）设EC的长为x，∵EC：CB＝1：4，∴BC＝4x，又∵BE＝BC+CE，∴BE＝5x，又∵E为线段AB的中点，∴AE＝BE＝，∴AE＝5x，又∵AC＝AE+EC，AC＝12cm，∴6x＝12，解得：x＝2，∴AB＝10x＝20cm；（2）∵F为线段CB的中点，∴，又∵EF＝EC+CF∴EF＝3x＝6cm．8．（2023秋•福田区校级期中）在数轴上，如果A点表示的数记为a，点B表示的数记为b，则A、B两点间的距离可以记作|a﹣b|或|b﹣a|．我们把数轴上两点之间的距离，用两点的大写字母表示，如：点A与点B之间的距离表示为AB．如图，在数轴上，点A，O，B表示的数为﹣10，0，12．（1）直接写出结果，OA＝　10　，AB＝　22　．（2）设点P在数轴上对应的数为x．①若点P为线段AB的中点，则x＝　1　．②若点P为线段AB上的一个动点，则|x+10|+|x﹣12|的化简结果是 　22　．（3）动点M从A出发，以每秒2个单位的速度沿数轴在A，B之间向右运动，同时动点N从B出发，以每秒4个单位的速度沿数轴在A，B之间往返运动，当点M运动到B时，M和N两点停止运动．设运动时间为t秒，是否存在t值，使得OM＝ON？若存在，请直接写出t值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）用绝对值计算数轴上两点之间的距离即可；（2）①根据AP＝BP列方程求解即可；②|x+10|+|x﹣12|＝|x﹣（﹣10）|+|x﹣12|，表示线段AB的长度，据此作答即可；（3）写出点M表示的数，分别写出当0≤t≤和＜t≤11时点N表示的数，根据OM＝ON列绝对值方程并求解即可．【解答】解：（1）OA＝|﹣10﹣0|＝10，AB＝|﹣10﹣12|＝22，故答案为：10，22．（2）①∵点P为线段AB的中点，∴AP＝BP，∴x﹣（﹣10）＝12﹣x，解得x＝1．故答案为：1．②∵点P为线段AB上的一个动点，∴|x+10|+|x﹣12|＝|x﹣（﹣10）|+|x﹣12|＝AB＝22，故答案为：22．（3）点M表示的数为2t﹣10（0≤t≤11），OM＝|2t﹣10|；当0≤t≤时，点N表示的数为﹣4t+12，ON＝|﹣4t+12|；当＜t≤11时，点N表示的数为4（t﹣）﹣10＝4t﹣32，ON＝|4t﹣32|．当0≤t≤时，|2t﹣10|＝|﹣4t+12|，解得t＝1或；当＜t≤11时，|2t﹣10|＝|4t﹣32|，解得t＝7或11．∴存在t值，使得OM＝ON，t＝1，，7或11．9．（2023秋•沙坪坝区校级月考）如图，已知：线段AB，延长AB到点C，使得BC：AB＝2：5，点D为AC的中点，E为AB的中点，若AC＝14，求线段DE的长度．【分析】先根据BC：AB＝2：5可设BC＝2x，AB＝5x，则AC＝AB+BC＝7x＝14，由此可解出x＝2，得AB＝10，进而根据线段中点的定义得AE＝BE＝5，AD＝CD＝7，然后再根据DE＝AD﹣AE可得线段DE的长度为2．【解答】解：∵BC：AB＝2：5，∴设BC＝2x，AB＝5x，∴AC＝AB+BC＝5x+2x＝7x，∵AC＝14，∴7x＝14，解得：x＝2，∴AB＝5x＝10，∵点E为AB的中点，∴AE＝BE＝5，∵点D为AC的中点，∴AD＝CD＝7，∴DE＝AD﹣AE＝7﹣5＝2．故线段DE的长度为2．10．（2023•九龙坡区校级开学）已知A，B，C，D四点在同一直线上，点D在线段AB上．（1）如图，若线段AB＝18，点C是线段AB的中点，，求线段AD的长度；（2）若线段AB＝5a，点C是直线AB上一点，且满足AC＝2BC，AD：BD＝2：3，求线段CD的长度（用含a的式子表示）．【分析】（1）根据线段中点的定义求出，根据，求出，即可得出答案；（2）分两种情况，点C在线段AB上，点C在线段AB延长线上，分别画出图形，求出结果即可．【解答】解：（1）∵线段AB＝18，点C是线段AB的中点，∴，∵，∴，∴AD＝AC+CD＝9+3＝12；（2）∵点D在线段AB上，AB＝5a，AD：BD＝2：3∴AD＝2a，BD＝3a，当点C在线段AB上时，如图所示：∵AB＝5a，AC＝2BC，∴，，∴；当点C在线段AB延长线上时，如图所示：∵AB＝5a，AC＝2BC，∴AC＝2AB＝10a，∴CD＝AC﹣AD＝10a﹣2a＝8a；综上分析可知，线段CD的长为或8a．11．（2022秋•大竹县校级期末）已知，点C是线段AB上的一点，点M是线段AC的中点，点N是线段BC的中点．（1）如果AB＝10cm，那么MN等于多少？（2）如果AC：BC＝3：2，NB＝3.5cm，那么AB等于多少？【分析】（1）由已知点C是线段AB上的一点，点M是线段AC的中点，点N是线段BC的中点，得MN＝CM+CN＝＝；（2）由已知得AB＝＝17.5cm．【解答】解：（1）MN＝CM+CN＝＝＝5 cm；（2）∵NB＝3.5 cm，∴BC＝7cm，∴AB＝＝17.5cm．12．（2023秋•聊城月考）如图，点C在线段AB上，点M、N分别是AC、BC的中点．（1）若AC＝10cm，CB＝8cm，求线段MN的长；（2）若C为线段AB上任一点，满足AC+CB＝a，其它条件不变，你能猜想MN的长度吗？写出你的结论并说明理由；（3）若C为直线AB上线段AB之外的任一点，且AC＝m，CB＝n，则线段MN的长为 　或　．【分析】（1）（2）均先根据已知条件，求出CM和CN，再根据MN＝CM+CN进行计算即可；（3）分两种情况讨论：①当C在A的左侧时，②当C在B的右侧时，分别画出图形，进行解答即可．【解答】解：（1）∵点M，N分别是AC，BC的中点，AC＝10cm，CB＝8 cm，∴CM＝＝5 cm，CN＝＝4 cm∴MN＝CM+CN＝ cm；（2）MN＝，理由如下：∵点M，N分别是AC，BC的中点，∴CM＝，CN＝，∵MN＝CM+CN，∴MN＝，∵AC+CB＝a，∴MN＝a；（3）分两种情况讨论：①当C在A的左侧时，如图2，∵点M，N分别是AC，BC的中点，∴CM＝，CN＝∴MN＝CN﹣CM＝，∵AC＝m，CB＝n，∴MN＝；②当C在B的右侧时，如图3，∵点M，N分别是AC，BC的中点，∴CN＝，MC＝∴MN＝MC﹣CN＝，∵AC＝m，CB＝n，∴MN＝．故答案为：或．13．（2022秋•金华期末）如图，C为线段AB的中点，点D分线段3：2．（1）若CD＝1cm，求线段AB的长；（2）若E为线段DB的中点，试说明线段AD与线段CE的数量关系．【分析】（1）设AD＝3x cm，BD＝2x cm，则AB＝5x cm，根据线段中点的定义即可得到结论；（2）设AD＝3x cm，BD＝2x cm，则AB＝5x cm，根据线段中点的定义即可得到结论．【解答】解：（1）设AD＝3x（cm），BD＝2x（cm），则AB＝5x（cm），∵C为线段AB的中点，∴AC＝BC＝x（cm），∴CD＝BC﹣BD＝x（cm），∵CD＝1cm，∴x＝1，∴x＝2cm，∴AB＝5x＝10cm；（2）AD＝2CE，理由如下：同（1）得：AD＝3x（cm），BD＝2x（cm），AB＝5x（cm），CD＝x（cm），∵E为线段DB的中点，∴DE＝BD＝x（cm），∴CE＝CD+DE＝x（cm），∴AD＝2CE．14．（2022秋•东港区校级期末）已知点B在线段AC上，点D在线段AB上．（1）如图1，若AB＝10cm，BC＝6cm，D为线段AC的中点，求线段DB的长度；（2）如图2，若，E为线段AB的中点，EC＝16cm，求线段AC的长度．【分析】（1）由线段的中点，线段的和差求出线段DB的长度为2cm；（2）由线段的中点，线段的和差倍分求出AC的长度为24cm．【解答】解：（1）如图1所示：∵AB＝10cm，BC＝6cm，∴AC＝AB+BC＝10+6＝16（cm），又∵D为线段AC的中点，∴，∴DB＝DC﹣BC＝8﹣6＝2（cm）；（2）如图2所示，设BD＝x cm，∵，∴AB＝4BD＝4x cm，CD＝3BD＝3x cm，∴BC＝DC﹣DB＝3x﹣x＝2x，∴AC＝AB+BC＝4x+2x＝6x，∵E为线段AB的中点，∴，∴EC＝BE+BC＝2x+2x＝4x，又∵EC＝16cm，∴4x＝16，解得：x＝4，∴AC＝6x＝6×4＝24（cm）．15．（2022秋•甘肃期末）阅读感悟：数学课上，老师给出了如下问题：如图1，一条直线上有A、B、C、D四点，线段AB＝8cm，点C为线段AB的中点，线段BD＝2.5cm，请你补全图形，并求CD的长度．以下是小华的解答过程：解：如图2，因为线段AB＝8cm，点C为线段AB的中点，所以BC＝　　AB＝　4　cm．因为BD＝2.5cm，所以CD＝BC﹣BD＝　1.5　cm．小斌说：我觉得这个题应该有两种情况，小华只考虑了点D在线段AB上，事实上，点D还可以在线段AB的延长线上．完成以下问题：（1）请填空：将小华的解答过程补充完整；（2）根据小斌的想法，请你在备用图中画出另一种情况对应的示意图，并求出此时CD的长度．【分析】（1）根据线段中点的性质，线段AB＝8cm，点C为线段AB的中点，即可算出BC的长，再根据CD＝BC﹣BD即可得出答案；（2）如图3，当点D在线段AB的延长线上时，由BC＝AB＝4cm．可得BD＝2.5cm，再由CD＝BC+BD进行计算即可得出答案．【解答】解：（1）如图2，因为线段AB＝8cm，点C为线段AB的中点，所以BC＝AB＝4cm．因为BD＝2.5cm，所以CD＝BC﹣BD＝1.5cm．故答案为：．（2）如图3，当点D在线段AB的延长线上时，因为线段AB＝8cm，点C为线段AB的中点，所以BC＝AB＝4cm．又BD＝2.5cm，所以CD＝BC+BD＝6.5cm．16．（2022秋•海沧区期末）如图，O是直线AD上一点，∠AOB是∠AOC的余角，射线ON平分∠BOD．（1）若∠AOC＝50°，求∠NOD的度数；（2）若∠AOB＝2∠MON，请在图中画出符合题意的射线OM，探究∠COM与∠COD的数量关系，并说明理由．【分析】（1）根据互为余角的两个角的和是90度，平角的定义，角平分线的定义解答；（2）分情况画图分析，设∠AOB＝α，利用互为余角的两个角的和是90度，平角的定义，角平分线的定义，把∠COM和∠COD的度数分别用含有α的式子表示，即可表示出两个角的关系．【解答】解：（1）∵∠AOB是∠AOC的余角，∠AOC＝50°，∴∠AOB＝90°﹣50°＝40°，∴∠BOD＝180°﹣∠AOB＝180°﹣40°＝140°，∵ON平分∠BOD，∴；（2）∠COD＝90°+∠COM或，理由如下：设∠AOB＝α，∵∠AOB是∠AOC的余角，∴∠AOC＝90°﹣α，∠BOD＝180°﹣α，∴∠BOC＝∠AOC﹣∠AOB＝90°﹣α﹣α＝90°﹣2α，∵ON平分∠BOD，∴，∵∠AOB＝2∠MON，∴．当射线OM在∠CON内部时，如图：，∠COD＝180°﹣∠AOC＝180°﹣（90°﹣α）＝90°+α，∴∠COD＝90°+∠COM；当射线OM在∠NOD内部时，如图：，∠COD＝180°﹣∠AOC＝180°﹣（90°﹣α）＝90°+α，∴，综上可知，∠COD＝90°+∠COM或．17．（2023秋•青龙县期中）如图，O是直线CE上一点，以O为顶点作∠AOB＝90°，且OA，OB位于直线CE两侧，OB平分∠COD．（1）当∠AOC＝50°时，求∠DOE的度数；（2）请你猜想∠AOC和∠DOE的数量关系，并说明理由．【分析】（1）∠AOB＝90°，∠AOC＝50°，可求出∠BOC的度数，OB平分∠COD，可求出∠COD的度数，根据平角即可求解；（2）∠BOC＝90°﹣∠AOC，∠DOE＝180°﹣2（90°﹣∠AOC），由此即可求解．【解答】解：（1）∵∠AOB＝90°，∠AOC＝50°，∴∠BOC＝90°﹣50°＝40°，∵OB平分∠COD，∴∠BOC＝∠BOD＝40°，∴∠DOE＝180°﹣40°﹣40°＝100°；（2）∠DOE＝2∠AOC，理由如下：∵∠AOB＝90°，∴∠BOC＝90°﹣∠AOC，∵OB平分∠COD，∴∠BOC＝∠BOD＝90°﹣∠AOC，∴∠DOE＝180°﹣2∠BOC＝180°﹣2（90°﹣∠AOC），即∠DOE＝2∠AOC．18．（2023•九龙坡区校级开学）如图，OB是∠AOC内部的一条射线，OM是∠AOB内部的一条射线，ON是∠BOC内部的一条射线．（1）如图1，若∠AOB＝36°，∠BOC＝110°，OM、ON分别是∠AOB、∠BOC的角平分线，求∠MON的度数；（2）如图2，若OB平分∠AOC，且∠CON＝2∠AOM，∠BOM：∠AOC＝2：5，则∠BOM和∠BON之间存在怎样的数量关系？请说明理由．【分析】（1）利用角平分线的定义分别求得∠BOM＝18°，∠BON＝55°，据此求解即可；（2）设∠AOM＝α，则∠CON＝2α，设∠BOM＝x，求得∠BON＝x﹣α，根据题意列出等式，即可求解．【解答】解：（1）∵∠AOB＝36°，∠BOC＝110°，OM、ON分别是∠AOB、∠BOC的角平分线，∴，，∴∠MON＝∠BOM+∠BON＝18°+55°＝73°；（2）∠BOM：∠BON＝4：3．理由如下，∵∠CON＝2∠AOM，∴设∠AOM＝α，则∠CON＝2α，设∠BOM＝x，∵OB平分∠AOC，∴α+x＝∠BON+2α，∴∠BON＝x﹣α，∵∠BOM：∠AOC＝2：5，∴x：（α+x+x﹣α+2α）＝2：5，∴x＝4α，则∠BON＝3α，∴∠BOM：∠BON＝4：3．19．（2022秋•历下区期末）新定义：如果∠MON的内部有一条射线OP将∠MON分成的两个角，其中一个角是另一个角的n倍，那么我们称射线OP为∠MON的n倍分线，例如，如图1，∠MOP＝4∠NOP，则OP为∠MON的4倍分线．∠NOQ＝4∠MOQ，则OQ也是∠MON的4倍分线．（1）应用：若∠AOB＝60°，OP为∠AOB的二倍分线，且∠BOP＞∠POA，则∠BOP＝　40　°；（2）如图2，点A，O，B在同一条直线上，OC为直线AB上方的一条射线．①若OP，OQ分别为∠AOC和∠BOC的三倍分线，（∠COP＞∠POA，∠COQ＞∠QOB）已知，∠AOC＝120°，则∠POQ＝　135　°；②在①的条件下，若∠AOC＝α，∠POQ的度数是否发生变化？若不发生变化，请写出计算过程；若发生变化，请说明理由．③如图3，已知∠MON＝90°，且OM，ON所在射线恰好是分别为∠AOC和∠BOC的三倍分线，请直接写出∠AOC的度数．【分析】（1）根据题意可得：∠BOP＝2∠AOP，∠BOP+∠AOP＝60°，进而得出答案；（2）①由题意可得：∠COP＝3∠AOP，∠COQ＝3∠BOQ，根据∠AOC＝120°，得出∠AOP＝90°，∠BOQ＝45°，再求解即可；②不变，根据题意得出，，再代入即可得出答案；③设∠MOC＝α，则∠NOC＝90°﹣α，根据题意得出∠COM＝3∠AOM，∠BON＝3∠CON，列出方程，求得∠MOC＝67.5°，∠MOA＝22.5°，进而得出答案．【解答】解：（1）∵∠AOB＝60°，OP为∠AOB的二倍分线，且∠BOP＞∠POA，∴∠BOP＝2∠AOP，∠BOP+∠AOP＝60°，∴∠AOP＝20°，∴∠BOP＝40°，故答案为：40；（2）①∵OP，OQ分别为∠AOC和∠BOC的三倍分线（∠COP＞∠POA，∠COQ＞∠QOB），∴∠COP＝3∠AOP，∠COQ＝3∠BOQ，∵∠AOC＝120°，∴∠BOC＝60°，∴∠AOP＝30°，∠BOQ＝15°，∴∠COP＝90°，∠COQ＝45°，∴∠POQ＝∠POC+∠COQ＝135°，故答案为：135；②不变，∵OP，OQ分别为∠AOC和∠BOC的三倍分线，∠COP＞∠POA，∠COQ＞∠QOB，∴，，∴∠POQ＝∠COP+∠COQ，＝，＝，＝，＝，＝135°；③设∠MOC＝α，∵∠MON＝90°，∴∠NOC＝90°﹣α，∵OM，ON所在射线恰好是分别为∠AOC和∠BOC的三倍分线，∴∠COM＝3∠AOM，∠BON＝3∠CON，∵∠AOM+∠COM+∠CON+∠BON＝180°，∴，∴α＝67.5°，∴∠MOC＝67.5°，∠MOA＝22.5°，∴∠AOC＝90°．20．（2022秋•广宗县期末）阅读下面材料：数学课上，老师给出了如下问题：如图1，∠AOB＝80°，OC平分∠AOB，若∠BOD＝20°，请你补全图形，并求∠COD的度数．以下是小明的解答过程：解：如图2，因为OC平分∠AOB，∠AOB＝80°，所以∠BOC＝　　∠AOB＝　40　°．因为∠BOD＝20°，所以∠COD＝　∠BOC+∠BOD　＝　60　°．小静说：“我觉得这个题有两种情况，小明考虑的是OD在∠AOB外部的情况，事实上，OD还可能在∠AOB的内部”．完成以下问题：（1）请你将小明的解答过程补充完整；（2）根据小静的想法，请你在图3中画出另一种情况对应的图形，并求出此时∠COD的度数．【分析】（1）根据角的平分线定义即可进行填空；（2）结合（1）即可画出另一种情况对应的图形，进而求出此时∠COD的度数．【解答】解：（1）因为OC平分∠AOB，∠AOB＝80°，所以∠BOC＝∠AOB＝40°．因为∠BOD＝20°，所以∠COD＝∠BOC+∠BOD＝60°．故答案为：，40，∠BOC+∠BOD，60；（2）如图3，因为OC平分∠AOB，∠AOB＝80°，所以∠BOC＝∠AOB＝40°，因为∠BOD＝20°，所以∠COD＝∠BOC﹣∠BOD＝40°﹣20°＝20°．21．（2023春•牟平区期末）如图所示，以直线AB上的一点O为端点，在直线AB的上方作射线OP，使∠BOP＝70°，将一块直角三角尺的直角顶点放在点O处，且直角三角尺（∠MON＝90°）在直线AB的上方．设∠BOM＝n°（0＜n＜90）．（1）当n＝32时，求∠PON的大小；（2）若0＜n＜70时，求∠AON﹣∠POM的值．【分析】（1）利用角的计算求得∠POM的度数，继而求得∠PON的度数；（2）利用角的计算表示出∠POM，然后表示出∠AON，最后代入∠AON﹣∠POM中计算即可．【解答】解：（1）∵∠BOM＝32°，∠BOP＝70°，∴∠POM＝∠BOP﹣∠BOM＝70°﹣32°＝38°，∵∠MON＝90°，∴∠PON＝90°﹣38°＝52°；（2）∵∠BOM＝n°，∠BOP＝70°，∴∠POM＝∠BOP﹣∠BOM＝70°﹣n°，∵∠MON＝90°，∴∠AON+∠BOM＝90°，∴∠AON＝90°﹣n°，∴∠AON﹣∠POM＝90°﹣n°﹣（70°﹣n°）＝20°．22．（2022秋•福田区期末）如图，直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC．（1）若∠EOC＝70°，求∠BOD的度数；（2）若∠EOC：∠EOD＝2：3，求∠BOD的度数．【分析】（1）根据角平分线定义得到∠AOC＝∠EOC＝×70°＝35°，然后根据对顶角相等得到∠BOD＝∠AOC＝35°；（2）先设∠EOC＝2x，∠EOD＝3x，根据平角的定义得2x+3x＝180°，解得x＝36°，则∠EOC＝2x＝72°，然后与（1）的计算方法一样．【解答】解：（1）∵OA平分∠EOC，∴∠AOC＝∠EOC＝×70°＝35°，∴∠BOD＝∠AOC＝35°；（2）设∠EOC＝2x，∠EOD＝3x，根据题意得2x+3x＝180°，解得x＝36°，∴∠EOC＝2x＝72°，∴∠AOC＝∠EOC＝×72°＝36°，∴∠BOD＝∠AOC＝36°．23．（2022秋•新化县期末）如图，A，O，B三点在同一直线上，∠BOD与∠BOC互补．（1）∠AOC与∠BOD的度数相等吗，为什么？（2）已知OM平分∠AOC，若射线ON在∠COD的内部，且满足∠AOC与∠MON互余；①∠AOC＝32°，求∠MON的度数；②试探究∠AON与∠DON之间有怎样的数量关系，请写出结论并说明理由．【分析】（1）根据补角的性质即可求解；（2）①根据余角的定义解答即可；②∠AON＝∠DON，根据角平分线的定义以及补角与余角的定义，分别用∠AOM的代数式表示出∠AON与∠DON即可解答．【解答】解：（1）∠AOC＝∠BOD，∵∠BOD与∠BOC互补，∴∠BOD+∠BOC＝180°，∵∠AOC+∠BOC＝180°，∴∠AOC＝∠BOD；（2）①∵∠AOC与∠MON互余，∴∠MON＝90°﹣∠AOC＝58°；②∠AON＝∠DON，理由如下：∵OM平分∠AOC，∴∠AOC＝2∠AOM，∠COM＝∠AOM，∵∠AOC与∠MON互余，∴∠AOC+∠MON＝90°，∴∠AON＝90°﹣∠AOM，∴∠CON＝90°﹣3∠AOM，∵∠BOD与∠BOC互补，∴∠BOD+∠BOC＝180°，∴∠CON+∠DON+2∠BOD＝180°，又∵∠BOD＝∠AOC＝2∠AOM，∴∠DON＝180°﹣∠CON﹣2∠BOD＝180°﹣（90°﹣3∠AOM）﹣4∠AOM＝90°﹣∠AOM．∴∠AON＝∠DON．24．（2022秋•金华期末）（1）如图（a），将两块直角三角尺的直角顶点C叠放在一起．①若∠DCE＝40°，则∠ACB＝　140°　；若∠ACB＝120°，则∠DCE＝　60　°；②猜想∠ACB与∠DCE的度数有何特殊关系，并说明理由．（2）如图（b），两个同样的三角尺60°锐角的顶点A重合在一起，则∠DAB与∠CAE的度数有何关系？请说明理由．（3）如图（c），已知∠AOB＝α，作∠COD＝β（α，β都是锐角且α＞β），若OC在∠AOB的内部，请直接写出∠AOD与∠BOC的度数关系．【分析】（1）①先求出∠BCD，再代入∠ACB＝∠ACD+∠BCD求出即可，先求出∠BCD，再代入∠DCE＝∠BCE﹣∠BCD求出即可；②先计算：∠ACB＝90°+∠BCD，再加上∠DCE可得结果；（2）先计算∠DAB＝60°+∠CAB，再加上∠CAE可得结果；（3）分情况讨论：①OD在OB上方；OD在∠BOC内部；③OD在∠AOC内部；④OD在OA下方．【解答】解：（1）①根据题意，∠ACD＝90°，∠DCE＝40°，∴∠ACE＝∠ACD﹣∠DCE＝90°﹣40°＝50°，∵∠BCE＝90°，∠ACB＝∠ACE+∠BCE＝50°+90°＝140°，根据题意，∠BCE＝90°，∠ACB＝120°，∴∠ACE＝∠ACB﹣∠BCE＝120°﹣90°＝30°，∵∠ACD＝90°，∴∠DCE＝90°﹣30°＝60°．故答案为：140°；60；②根据题意，∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝90°+∠BCD，∴∠ACB+∠DCE＝90°+∠BCD+∠DCE＝90°+∠BCE＝180°；（2）根据题意，∠DAB+∠CAE＝120°，∵∠DAB＝∠DAC+∠CAB＝60°+∠CAB，∴∠DAB+∠CAE＝60°+∠CAB+∠CAE＝60°+∠EAB＝120°，（3）①OD在OB上方时，如图：∠AOD+∠BOC＝∠AOB+∠COD＝α+β，②OD在∠BOC内部，如图：∠AOD+∠BOC＝∠AOB+∠COD＝α+β，③OD在∠AOC内部，如图：∠AOD+∠BOC＝∠AOB﹣∠COD＝α﹣β，④OD在OA下方，如图：∠BOC﹣∠AOD＝∠AOB﹣∠AOC﹣∠COD+∠AOC＝∠AOB﹣∠COD＝α﹣β．综上所述，∠AOD+∠BOC＝α﹣β或∠AOD+∠BOC＝α+β或∠BOC﹣∠AOD＝α﹣β．25．（2022秋•江北区期末）如图，已知OA⊥OB，射线OD在∠AOB内部，射线OD绕点O逆时针旋转n°得到OC，OE是∠AOC的角平分线．（1）如图1，若OD是∠AOB的角平分线，且n＝85时，求∠DOE．（2）如图2，若OF是∠AOD的角平分线，则∠AOE﹣∠AOF＝　n°　．（用含有n的代数式表示）（3）在（1）的条件下，若射线OP从OE出发绕点O以每秒5°的速度逆时针旋转，射线OQ从OD出发绕点O以每秒6°的速度顺时针旋转．若射线OP、OQ同时开始旋转，直至第一次重合，旋转停止．在旋转的过程中，何时满足∠EOP＝∠AOQ，请直接写出答案．【分析】（1）证明∠AOB＝90°，求解∠AOD＝45°，结合∠COD＝85°，可得∠AOC＝130°，求解∠AOE＝65°，再利用角的和差关系可得答案；（2）证明∠AOF＝∠AOD，∠AOE＝∠AOC，，结合∠AOE﹣∠AOF＝∠COD，从而可得答案；（3）分两种情况讨论，当OQ在∠AOD内部时，当OQ在∠AOD外部时，建立方程可得答案．【解答】解：（1）∵OA⊥OB，∴∠AOB＝90°，∵OD平分∠AOB，∴∠AOD＝∠AOB＝45°，∵∠COD＝85°，∴∠AOC＝85°+45°＝130°，∵OE平分∠AOC，∴∠AOE＝∠AOC＝65°，∴∠DOE＝∠AOE﹣∠AOD＝65°﹣45°＝20°；（2）∵OF平分∠AOD，∴∠AOF＝∠AOD，∵OE平分∠AOC，∴∠AOE＝∠AOC，∴∠AOE﹣∠AOF＝（∠AOC﹣∠AOD）＝∠COD＝n°，故答案为：n°；（3）设旋转时间为t秒，如图，当OQ在∠AOD内部时，由题意可得：∠EOP＝5t°，∠DOQ＝6t°，∵∠AOD＝45°，∴∠AOQ＝（45﹣6t）°，∵∠EOP＝∠AOQ，∴5t＝（45﹣6t），解得t＝；当OQ在∠AOD外部时，：∠EOP＝5t°，∠DOQ＝6t°，∵∠AOD＝45°，∴∠AOQ＝（6t﹣45）°，∵∠EOP＝∠AOQ，∴5t＝（6t﹣45），解得：t＝﹣（舍去），综上，t＝时，∠EOP＝∠AOQ．26．（2022秋•仙居县期末）如图1，将两块直角三角板AOB与COD的直角顶点O重合在一起，其中直角边OB在∠COD内部．（1）如图2，若∠AOC＝30°，求∠AOD和∠BOC的度数．（2）若∠AOC＝α（0°＜α＜90°）．①∠AOD和∠BOC有什么关系？请说明理由．②当∠AOD＝3∠BOC时，求α的度数．【分析】（1）根据题意可得：∠AOB＝∠COD＝90°，然后利用角的和差关系，进行计算即可解答；（2）①根据题意可得：∠AOB＝∠COD＝90°，然后利用角的和差关系可得∠AOD+∠BOC＝∠AOB+∠COD，进行计算即可解答；②利用①的结论，进行计算可求出∠BOC＝45°，然后再利用角的和差关系，进行计算即可解答．【解答】解：（1）由题意得：∠AOB＝∠COD＝90°，∵∠AOC＝30°，∴∠AOD＝∠AOC+∠COD＝120°，∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝60°，∴∠AOD的度数为120°，∠BOC的度数为60°；（2）①∠AOD+∠BOC＝180°，理由：∵∠AOB＝∠COD＝90°，∴∠AOD+∠BOC＝∠AOB+∠BOD+∠BOC＝∠AOB+∠COD＝90°+90°＝180°，∴∠AOD+∠BOC＝180°；②∵∠AOD＝3∠BOC，∠AOD+∠BOC＝180°，∴4∠BOC＝180°，∴∠BOC＝45°，∵∠AOB＝90°，∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝45°，∴α的度数为45°．27．（2022秋•南浔区期末）如图，OC是∠AOB的平分线，∠COD＝20°．（1）若∠AOD＝30°，求∠AOB的度数．（2）若∠BOD＝2∠AOD，求∠AOB的度数．【分析】（1）先求出∠AOD的度数，然后根据角平分线的定义求出∠AOB，于是得到结论；（2）设∠AOD＝x，则∠BOD＝2x，根据角平分线的定义和角的倍分即可得到结论．【解答】解：（1）∵∠COD＝20°，∠AOD＝30°，∴∠AOD＝∠COD+∠AOD＝20°+30°＝50°，∵OC是∠AOB的平分线，∴∠AOB＝2∠AOD＝100°；（2）设∠AOD＝x，则∠BOD＝2x，∴∠AOB＝∠AOD+∠BOD＝3x，∵OC是∠AOB的平分线，∴∠AOC＝AOB＝x，∴x﹣x＝20°，解得x＝40°，∴∠AOB＝3x＝120°．28．（2022秋•东港区校级期末）以直线AB上一点O为端点作射线OC，将一块直角三角板的直角顶点放在O处（注：∠DOE＝90°）．（1）如图①，若直角三角板DOE的一边OD放在射线OB上，且∠BOC＝54°，求∠COE的度数；（2）如图②，将三角板DOE绕O逆时针转动到某个位置时，若恰好满足5∠COD＝∠AOE，且∠BOC＝54°，求∠BOD的度数；（3）如图③，将直角三角板DOE绕点O逆时针方向转动到某个位置，若OE恰好平分∠AOC，请说明OD所在射线是∠BOC平分线．【分析】（1）根据∠COE+∠DOC＝90°求解即可；（2）根据∠BOC+∠COD+∠DOE+∠AOE＝180°求解即可；（3）由OE恰好平分∠AOC，得∠AOE＝∠COE，再根据平角的定义得∠COE+∠COD＝∠AOE+∠BOD＝90°即可得证．【解答】解：（1）∵∠DOE＝90°，∠BOC＝54°，∴∠COE＝∠DOE﹣∠BOC＝36°．（2）设∠COD＝x，则∠AOE＝5x．∵∠AOE+∠DOE+∠COD+∠BOC＝180°，∠DOE＝90°，∠BOC＝54°，∴5x+90°+x+54°＝180°，解得x＝6°，即∠COD＝6°，∴∠BOD＝∠COD+∠BOC＝6°+54°＝60°．（3）∵OE平分∠AOC，∴∠AOE＝∠COE，∵∠DOE＝∠COE+∠COD＝90°，∠AOE+∠DOE+∠BOD＝180°，∴∠AOE+∠DOB＝90°，∵∠AOE＝∠COE，∴∠COD＝∠BOD，即OD所在射线是∠BOC的平分线．29．（2022秋•长清区期末）如图①，O是直线AB上的一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC．（1）若∠AOC＝30°，则∠BOD＝　60　°，∠DOE＝　15　°；（2）将图①中的∠COD绕顶点O顺时针旋转至图②的位置，其他条件不变，若∠AOC＝α，求∠DOE的度数（用含α的式子表示）；（3）将图①中的∠COD绕顶点O顺时针旋转至图③的位置，其他条件不变，直接写出∠AOC和∠DOE的度数之间的关系：　∠AOC＝360°﹣2∠DOE　.（不用证明）【分析】（1）利用平角的定义，角平分线的定义解答即可；（2）利用（1）中的方法解答即可；（3）利用（1）中的方法解答即可．【解答】解：（1）∵O是直线AB上的一点，∠COD是直角，∠AOC＝30°，∴∠BOD＝180°﹣∠AOC﹣∠COD＝60°．∵∠COD＝90°，∠BOD＝60°，∴∠BOC＝∠COD+∠BOD＝150°．∵OE平分∠BOC，∴∠BOE＝∠BOC＝75°，∴∠DOE＝∠BOE﹣∠BOD＝75°﹣60°＝15°，故答案为：60，15；（2）∵∠AOC＝α，∴∠BOC＝180°﹣α，∵OE平分∠BOC，∴∠COE＝∠BOC＝90°﹣，∴∠DOE＝∠COD﹣∠COE＝90﹣（90°﹣）＝．（3）∠AOC和∠DOE的度数之间的关系：∠AOC＝360°﹣2∠DOE，理由：设∠AOC＝α，则∠BOC＝180°﹣α，∵OE平分∠BOC，∴∠COE＝∠BOC＝90°﹣，∴∠DOE＝∠DOC+∠COE＝90°+90°﹣＝180°﹣α，∴∠DOE＝180°﹣∠AOC，∴∠AOC＝360°﹣2∠DOE．30．（2022秋•盘山县期末）如图，已知OC是∠AOB内部任意的一条射线，OM、ON分别是∠AOC、∠BOC的平分线．（1）若∠AOM＝20°，∠BON＝30°，求∠MON的度数；（2）若∠AOB＝α，求∠MON的度数．【分析】（1）根据角平分线的性质可知∠MOC＝∠APM，∠NOC＝∠BON，再根据∠MON＝∠MOC+∠NOC即可求出∠MON的度数；（2）根据角平分线性质可知∠MOC＝∠AOC，∠NOC＝∠BOC，再根据∠MON＝∠MOC+∠NOC即可计算∠MON的度数．【解答】解：（1）根据角平分线的性质可知∠MOC＝∠AOM＝20°，∠NOC＝∠BON＝30°，∴∠MON＝∠MOC+∠NOC＝20°+30°＝50°，即∠MON的度数为50°；（2）根据角平分线性质可知∠MOC＝∠AOC，∠NOC＝∠BOC，∴∠MON＝∠MOC+∠NOC＝∠AOC+∠BOC＝∠AOB，∵∠AOB＝α，∴∠MON＝α．