2024年重庆市南岸区九年级下学期重点高中指标到校数学中考模拟预测题(含解析)

这是一份2024年重庆市南岸区九年级下学期重点高中指标到校数学中考模拟预测题(含解析)，共29页。试卷主要包含了作图请一律用2B铅笔完成；等内容，欢迎下载使用。
（考试时间：120分钟 考试形式：闭卷 满分：150分）
注意事项：
1．试题卷上各题的答案用黑色签字笔书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答；
2．答题前认真阅读答题卡上的注意事项；
3．作图（包括作辅助线）请一律用2B铅笔完成；
4．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回．
参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴公式为．
一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．
1．实数的相反数是（ ）
A．B．C．D．
2．下列文字图形中是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
3．计算的结果是（ ）
A．B．C．D．
4．估算的结果在（ ）
A．2和3之间B．3和4之间C．4和5之间D．5和6之间
5．正方形ODEF与正方形OABC位似，点O为位似中心，，则正方形ODEF与正方形OABC的周长比为（ ）

A．B．C．D．
6．某矩形人行道由相同的灰色正方形地砖与相同的白色等腰直角三角形地砖排列而成．如图①，当正方形地砖只有1块时，等腰直角三角形地砖有6块；如图②，当正方形地砖有2块时，等腰直角三角形地砖有8块；如图③，当正方形地砖有3块时，等腰直角三角形地砖有10块；…；以此类推，当人行道有20块正方形地砖时，等腰直角三角形地砖的块数为（ ）
A．38B．40C．42D．44
7．星期天，小颖从家去体育馆运动，运动结束后按原路返回，下图表示小颖离家距离和时间的关系，下列说法正确的是（ ）
A．小颖家离体育馆 千米B．小颖在体育馆运动了3小时
C．小颖到家的时间4点钟D．小颖去时的速度大于回家的速度
8．某种商品原来每件售价为200元，经过连续两次降价后，该种商品每件售价为162元，设平均每次降价的百分率为x，根据题意，所列方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
9．2023年3月16日，以“智创广阳湾，蝶变创新港”为主题的首届“迎龙创新港杯”创新大赛总决赛，在重庆经开区举行，亮亮同学受到启发，找到了一种测量光盘直径的方法，他把直尺、光盘和含角的三角尺按如图所示的方法放置在桌面上，并量出，则光盘的直径是（ ）
A．B．C．D．
10．已知整式，，则下列说法中正确的有（ ）
①无论为何值，和的值都不可能为正；②若为常数且，则；③若，则；④不存在这样的实数，使得．
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．
11．计算： ．
12．随着全国经济运行情况的好转，就业形势持续回暖，根据政府工作报告安排，年城镇新增就业万人左右，可用科学记数法表示为 ．
13．一个袋中有5个球，分别标有1，2，3，4，5这五个号码，这些球除号码外都相同，搅匀后任意摸出一个球，则摸出标有数字为奇数的球的概率为 .
14．如图，直线，直线分别与和相交，如果，那么的度数是 ．
15．如图，A，B，C三点在上，，的半径为2，则图中阴影部分的面积是 ．（结果保留）
16．若关于x的一元一次不等式组无解，且使关于y的分式方程有整数解，则所有符合题意的整数a的值之和是 ．
17．如图，在矩形中，，，点E为边上一点，将沿翻折到处，延长交于点G，延长交于点H，且，则的长是 ．
18．如果两个两位数和，将它们各自的十位数字和个位数字交换位置后得到两个完全不同的新和，这两个两位数的乘积与交换后的两个两位数的乘积相等，则称这样的两个两位数为一对“友谊数对”，例如：，所以，26和93是一对“友谊数对”．
（1）若和是一对“友谊数对”，则a，b，c，d之间满足的等量关系为 ；
（2）若和是一对“友谊数对”，其中，，，，则这两个两位数分别是 ．
三、解答题（本大题8个小题，19题8分，20−26题每小题各10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
19．计算：
(1)；
(2)
20．在学习三角形的过程中，小明遇到这样一个问题：如图，在中，，把分成两个等腰三角形，并说明理由．聪明的小明经过思考后很快就有了思路：作线段的垂直平分线，利用线段垂直平分线的性质，得到两条相等线段，从而构造出等腰三角形，使问题得到了解决．
请根据小明的思路完成下面的作图并填空：
解：用直尺和圆规作的垂直平分线，分别交，于点，，连接．（不写作法，不下结论，只保留作图痕迹）
∵垂直平分线段，∴①．即是等腰三角形，∴．
∵，∴②．∵，∴，
∴③．即是等腰三角形．故和是等腰三角形．
21．为了普及消防安全知识，某校组织七年级学生进行了消防安全知识测试（测试分数为整数，且测试分数均不低于6分，满分为10分），现从中随机抽取甲、乙两班学生的测试成绩，已知甲、乙两班学生人数相同，根据测试成绩绘制了如下所示的统计图表．
七年级抽取的甲、乙两班学生消防安全知识测试成绩统计表
图1
根据以上信息，解答下列问题：
(1)填空：______，______，______；
(2)根据以上数据分析，从一个方面评价哪个班级消防安全知识掌握更好？并说明一条理由；
(3)若9分及9分以上为优秀等级，则估计该校七年级700名学生中有多少学生获得优秀等级？
22．为了美化环境，建设生态南岸，某社区需要对8400平方米的区域进行绿化改造，计划由甲、乙两个绿化工程队合作完成，已知甲队每天能完成的绿化改造面积比乙队多100平方米，甲队单独完成全部任务所需时间是乙队的．
(1)甲、乙两队每天分别能完成多少平方米的绿化改造面积？
(2)已知甲队每天施工费用为2400元，乙队每天施工费用为1800元，若先由甲队施工若干天后，再由甲、乙两个施工队合作完成，恰好20天完成绿化改造，求完成这项绿化改造任务总共需要施工费用多少元？
23．如图1，已知四边形是平行四边形，，，，点从点出发，沿方向移动到点停止．过点作的垂线，垂足为点，设的长为，的长为．请解答下列问题：
(1)写出与之间的函数关系式；
(2)通过取点，画图，测量得到了与的几组值，如下表：
请直接写出m和n的值；
(3)如图2，请在平面直角坐标系中画出该函数的图像；
(4)请直接写出y的最小值．
24．如图，我边防雷达站A处的工作人员测得在北偏东方向的点C处有一艘可疑船只，该船正在以每小时10海里的速度向正东方向航行，点A到点C的距离为海里，此时，我方一艘军舰在距离点A的正东方向12海里的点B处．
(1)求点B到点C之间的距离（结果保留根号）；
(2)当发现可疑船只后，我方军舰立即沿着与正东方向成夹角的方向前往拦截，军舰航行的速度为每小时20海里，请通过计算说明我方军舰能否在可疑船只的正前方的点D处成功拦截？（参考数据：，，，）
25．如图，在平面直角坐标系中，抛物线（b，c是常数）与x轴交于点和点B（点B在点A右侧），与y轴交于点．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)连接，点P为直线上方抛物线上的一动点，过点P作交直线于点D，过点P作轴交直线于点E．求的最大值及此时点P的坐标；
(3)在（2）中取得最大值的条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位长度，点M为平移后的抛物线的对称轴上一点，点N为平移后的抛物线上的一点，使得以点B，P，M，N为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的解答过程．
26．在中，，，将线段绕点旋转，得到线段，连接，．
(1)如图1，若将线段绕点逆时针旋转得到线段，线段，交于点，求证：；
(2)如图2，将线段绕点顺时针旋转时，若的平分线交于点，交的延长线于点，连接．求证：；
(3)在（2）的条件下，取的中点，如图，连接和，请直接写出的最大值．
参考答案与解析
1．A
【分析】本题考查了相反数，根据相反数的定义：数字相同，符号相反的两个数互为相反数，即可求解，掌握相反数的定义是解题的关键．
【详解】解：实数的相反数是，
故选：．
2．C
【分析】
根据轴对称图形的概念求解．
【详解】
A、不是轴对称图形，故此选项错误；
B、不是轴对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，故此选项正确；
D、不是轴对称图形，故此选项错误．
故选：C．
【点睛】本题考查了轴对称图形的概念,如果一个图形沿着某一条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就是轴对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合，掌握轴对称图形的定义是解题的关键．
3．B
【分析】直接运用同底数幂乘法公式计算即可．
【详解】解：．
故选B．
【点睛】本题主要考查了同底数幂乘法，掌握并灵活利用是解答本题的关键．
4．C
【分析】
由于，根据算术平方根得到，即可判断的范围．
【详解】
解：∵，
∴，
∴，
故C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了估算无理数的大小，利用完全平方数和算术平方根对无理数的大小进行估算．
5．B
【分析】
先根据位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或 ，得，再求正方形ODEF与正方形OABC的周长比．
【详解】解：∵正方形ODEF与正方形OABC位似，，
∴，
正方形ODEF与正方形OABC的周长为，
故选：B．
【点睛】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为 k ，那么位似图形对应点的坐标的比等于 k 或．
6．D
【分析】探究规律，利用规律，构建方程求解．
【详解】解：观察图①可知等腰直角三角形地砖：，
观察图②可知等腰直角三角形地砖：，
观察图③可知等腰直角三角形地砖：，
归纳得有块正方形地砖时，等腰直角三角形地砖的块数为，
∴当人行道有块正方形地砖时，等腰直角三角形地砖的块数为，
故选D．
【点睛】本题主要考查图形的变化规律，探究规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．
7．A
【分析】
根据题意和函数图象可以判断各个选项是否正确，从而可以解答本题．
【详解】解：由图象知，小颖家离体育馆 千米，A正确；
小颖在体育馆从第1小时到第3小时，运动了2小时，B错误；
小颖到家的时间是第4小时，而不是4点钟，C错误；
小颖去时与回家所用的时间相等，速度也相等，D错误．
故选A．
【点睛】本题考查函数图象的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
8．D
【分析】
结合题意分析：第一次降价后的价格原价（降低的百分率），第二次降价后的价格第一次降价后的价格（降低的百分率），把相关数值代入即可．
【详解】
解：设平均每次降价的百分率为x，根据题意可列方程，
故选：D．
【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，解题的关键是能够分别表示出两次降价后的售价．
9．C
【分析】令光盘圆心为，与相切于点，连接、，由切线的性质及切线长定理得，，进而求得，从而利用三角函数即可求解．
【详解】解：如图，令光盘圆心为，与相切于点，连接、，
∵、分别切于、，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴光盘的直径：，
故选C．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形，切线的性质，切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键．
10．B
【分析】把相应的整式代入，再利用单项式乘多项式的法则，以及一元二次方程根的判别式进行运算即可．
【详解】解：当时，，，此时、都为正，故①不符合题意；
由，得，
，，
∴，故②符合题意；
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，故③不符合题意；
∵，，
∴，
∴,
∴，
∵，
∴方程没有实数根即不存在这样的实数，使得，故④符合题意；
∴有个正确，
故选： B．
【点睛】本题主要考查多项式乘多项式一一元二次方程根的判别式，整体思想的应用，解答的关键是理解清楚题意．
11．3
【分析】
直接根据绝对值和零指数幂运算即可．
【详解】解：
，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了绝对值和零指数幂，掌握运算法则是解答的关键，属于基础题型．
12．
【分析】
科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
【详解】
解：，
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义．
13．
【详解】∵奇数有3个，一共有5个球，
∴摸出标有数字为奇数的球的概率为 .
14．
【分析】
由“两直线平行，同位角相等”可求出的度数，由“对顶角相等”可求出的度数．
【详解】
解：∵，
∴，
∵与为对顶角
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线的性质，对顶角的性质，熟练掌握其性质是解决此题的关键．
15．##
【分析】
根据圆周角定理（在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半）求得，再由扇形面积计算公式求值即可.
【详解】解：由圆周角定理可得，
∴阴影部分面积=，
故答案为：；
【点睛】本题考查了圆周角定理和扇形面积计算，掌握扇形面积的计算方法是解题关键．
16．
【分析】不等式组变形后，根据无解确定出的范围，再表示出分式方程的解，由分式方程有非负整数解，确定出满足条件的值，进而求出之和．
【详解】解∶解不等式得：，
解不等式得，
∵一元一次不等式组无解，
∴，
解得，
解分式方程，得，
∵关于的分式方程有整数解，
∴或
∴或或或，
时，，原分式方程无解，故将舍去，
∴符合条件的所有整数的和是，
故答案为
【点睛】本题考查了解分式方程，解一元一次不等式组，熟练掌握解分式方程和一元一次不等式组的方法是解题的关键．
17．
【分析】过E作于M，根据矩形性质和折叠性质，结合勾股定理求得，，证明，求得，，设，证明四边形是矩形，得到，，在中，，，由勾股定理求解即可．
【详解】解：过E作于M，则
∵四边形是矩形，
∴，，
∵沿翻折到处，
∴，，，
设，则，
在中，由勾股定理得，
∴，则，
∴，，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，，
设，
∵
∴四边形是矩形，
∴，，
在中，，，
由勾股定理得，
则，解得，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查矩形的判定与性质、翻折性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理，综合运用相关知识求解是解答的关键．
18．
42，36
【分析】（1）根据“友谊数对”的定义即可得到，，，之间满足的等量关系，化简得；
（2）根据列等式，化简解方程可得的值，可得这两个两位数．
【详解】解：（1）∵和是一对“友谊数对”，
∴，
∴，
故答案为；
（2）∵和是一对“友谊数对”，，，，，，
∴，
∴，
解得或（舍去），
∴，，，，
∴两个两位数分别是，，
故答案为，．
【点睛】本题考查多项式乘以多项式和新定义“友谊数对”，理解和掌握新定义是解题的关键，需要学生具备一定的分析能力．
19．(1)
(2)
【分析】
(1）根据完全平方公式、单项式乘以多项式法则计算解答即可；
(2）根据分式乘除法则进行计算即可．
【详解】（1）解：
=
=．
（2）解：
=
=．
【点睛】此题考查整式、分式的混合计算，关键是根据整式、分工的混合计算顺序和完全平方公式进行解答．
20．作图见解析，，，．
【分析】
用直尺和圆规作的垂直平分线，分别交，于点，，连接即可，根据线段垂直平分线的性质以、三角形的外角性质以及等角对等边即可判定和是等腰三角形．
【详解】解：作图如下，和是所求作的三角形，
∵垂直平分线段，
∴．即是等腰三角形，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．即是等腰三角形．故和是等腰三角形．
故答案为：，，．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定及性质，线段垂直平分线的性质，三角形的外角性质，熟练掌握相关性质是解题的关键．
21．(1)，，
(2)乙班消防安全知识掌握更好，因为乙班的中位数比甲班的高
(3)估计该校七年级700名学生中约有名学生获得优秀等级
【分析】
（1）在用1减去图3中其它测试成绩所占的百分比可求得a；在图2中找到测试成绩人数最多的可求得b；在图3中找到处于最中间位置的测试成绩可求得c；
（2）根据表中的平均数、众数、中位数数据分析可得结论；
（3）先求得抽取两个班的优秀等级的百分比，然后乘以该校七年级总人数即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴；
∵甲班的测试成绩为8分的人数最多，
∴众数；
∵乙班成绩处于中间位置的两个分数为8和9，
∴中位数，
故答案为：，，；
（2）解：根据测试成绩统计表数据看，两个班的众数相等，但乙班的平均数和中位数都大于甲班，故乙班级消防安全知识掌握更好；
（3）解： 甲乙两个班的总人数为（名），
两个班的优秀等级学生有（名），
∴（名），
答：估计该校七年级700名学生中约有名学生获得优秀等级．
【点睛】本题考查统计表、条形统计图和扇形统计图的关联、用样本估计总体、中位数和众数，理解题意，能从统计图中准确获取相关信息是解答的关键．
22．(1)甲工程队每天能完成300平方米的绿化改造面积，乙工程队每天能完成200平方米的绿化改造面积；
(2)69600元．
【分析】（1）设乙工程队每天能完成平方米的绿化改造面积，则甲工程队每天能完成平方米的绿化改造面积，根据甲队单独完成全部任务所需时间是乙队的，即可得出关于的分式方程，解之即可得出结论；
（2）设甲工程队先做了天，则甲乙合作了天，根据先由甲队施工若干天后，再由甲、乙两个施工队合作完成，恰好天完成绿化改造完成列一元一次方程求得甲单独做的天数，从而即可得解．
【详解】（1）解∶设乙工程队每天能完成平方米的绿化改造面积，则甲工程队每天能完成平方米的绿化改造面积，
依题意得∶，
解得∶，
经检验，是原方程的解，
∴原方程的解为，
∴
答∶甲工程队每天能完成平方米的绿化改造面积，乙工程队每天能完成平方米的绿化改造面积；
（2）解：设甲工程队先做了天，则甲乙合作了天，则：
，
解得，
∴完成这项绿化改造任务总共需要施工费用为（元）．
【点睛】本题考查了一元一次方程以及分式方程的应用，解题的关键是∶准等量关系，正确列出一元一次方程和分式方程．
23．(1)与之间的函数关系式为；
(2)、的值分别为，2；
(3)见解析；
(4)．
【分析】
（1）根据点在上运动与点在上运动两种情况，分类求解与之间函数关系式即可；
（2）先根据函数关系式即可求出，、的值；
（3）利用描点法画出函数图像即可；
（4）根据图形即可求得的最小值．
【详解】（1）解：当点在上运动，即时，如下图，
∵，，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴与重合，
∴，即，
当点在上运动，即时，过点、分别作，延长线于点、，如下图，则四边形是矩形，
∴，，，
∴，
∴，
∵在中，，，
∴，
∵，，
∴，即，
∴，
∴与之间的函数关系式为；
（2）解：当时，，当时，，
∴、的值分别为，；
（3）解：在直角坐标系中作的图像如下，
（4）解：∵当时，，当，，且随的增大而减小，
∴当时，取最小值，．
【点睛】本题考查了矩形的判定及性质、平行四边形的性质、反比例函数的图像及性质以及解直角三角形等知识，熟练掌握平行四边形的性质及反比例函数的图像及性质是解题的关键．
24．(1)海里
(2)我方军舰能在可疑船只的正前方的点D处成功拦截
【分析】（1）过B作于H，利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求解即可；
（2）过C作于M，过D作于N，则，四边形是矩形，可得到，分别在和中解直角三角形分别求得海里， 海里，进而分别求得我方军舰和可疑船只到达D的时间，比较可得出结论．
【详解】（1）解：过B作于H，
由题意，海里，海里，，
∴海里，则海里，
∴海里，
∴海里，
即点B到点C之间的距离为海里；
（2）解：如图，过C作于M，过D作于N，则海里，四边形是矩形，
∴海里，
在中，，，
解得海里， 海里，
∴我方军舰到达D的时间为小时；
在中，海里，
则海里，
∴可疑船只到达D点的时间为小时，
∵，
∴我方军舰能在可疑船只的正前方的点D处成功拦截．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，涉及锐角三角函数、含30度角的直角三角形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理，理解题意，添加合适的辅助线是解答的关键．
25．(1)
(2)的最大值为，
(3)或或
【分析】
（1）待定系数法求解即可；
（2）令，求得，则，，，证明，则，即，解得，，待定系数法求直线的解析式为，设，则，，，根据二次函数的性质进行求最值以及点坐标即可；
（3）由题意知，，，将抛物线沿射线方向平移个单位长度，相当于向右平移2个单位并向上平移2个单位；即平移后的抛物线解析式为，则对称轴为直线，设，，由题意知，以点B，P，M，N为顶点的四边形是平行四边形，分为边和为对角线两种情况求解：①当为边时，如图1，当四边形是平行四边形，当四边形是平行四边形，根据对角线的中点坐标相同求解即可；②当为对角线时，如图2，当四边形是平行四边形，根据对角线的中点坐标相同求解即可．
【详解】（1）解：将，代入得，，解得，
∴，
∴抛物线的函数表达式为；
（2）解：当，则，整理得，
解得或，
∴，
∴，，，
∵，，
∴，，
∴，
∴，即，解得，
∴，
设直线的解析式为，
将，代入得，，解得，
∴，
∴直线的解析式为，
设，则，
∴，
∴，
∵，
∴时，有最大值，
∴的最大值为，；
（3）解：，
∵，
∴，
将抛物线沿射线方向平移个单位长度，相当于向右平移2个单位并向上平移2个单位；
∴平移后的抛物线解析式为，即，
∴对称轴为直线，
设，，
由题意知，以点B，P，M，N为顶点的四边形是平行四边形，分为边和为对角线两种情况求解：
①当为边时，如图1，
当四边形是平行四边形，由平行四边形的性质可得，与的中点坐标相同，
∴，解得，
∴；
当四边形是平行四边形，由平行四边形的性质可得，与的中点坐标相同，
∴，解得，
∴；
②当为对角线时，如图2，
当四边形是平行四边形，由平行四边形的性质可知，与的中点坐标相同，
∴，解得，
∴；
综上所述，以点B，P，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，点坐标为或或．
【点睛】本题考查了二次函数解析式，二次函数图象的平移，二次函数的性质，相似三角形的判定与性质，二次函数与平行四边形综合等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
26．(1)见解析；
(2)见解析；
(3)．
【分析】（1）由等腰三角形的性质及三角形的内角和定理求得，再根据，求得，从而得，即可证明结论成立；
（2）过点作的延长线于点，先证得，再证得，，从而有，利用勾股定理得，从而即可证明结论成立；
（3）先证为定值，，进而由将线段绕点旋转，得到线段，得点在以点为圆心为半径的圆上运动，当点、、三点共线时，最大，由勾股定理得，进而有，于是即可求解．
【详解】（1）证明：∵线段绕点逆时针旋转得到线段，
∴，，
∴
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：过点作，交的延长线于点，
∵将线段绕点旋转，得到线段，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∵在中，，，
∴，
∴，
∵，，，
∴；
（3）解∶如图3，
∵，
∴，
∵，，
∴,
，，
∴，
∵点是的中点，，
∴为定值，
∵将线段绕点旋转，得到线段，
∴点在以点为圆心为半径的圆上运动，当点、、三点共线时，最长，此时最大，如下图，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴的最大值为．
【点睛】本题主要考查了旋转图形的性质、勾股定理、全等三角形的判定及性质、三角形的内角和定理、等腰三角形的判定及性质、多边形的内角和定理以及角平分线的定义，熟练利用全等三角形的判定及性质、三角形的内角和定理、等腰三角形的判定及性质是解题的关键．
平均数
众数
中位数
甲班
8.1
8
乙班
8.46
8
3
4
5
6
7
8
4
4