四川省德阳市博雅明德高级中学2025届高三上学期期中检测数学试题（原卷版）-A4

这是一份四川省德阳市博雅明德高级中学2025届高三上学期期中检测数学试题（原卷版）-A4，共4页。试卷主要包含了 已知集合，，则， 已知复数，则的虚部是， 已知，则等内容，欢迎下载使用。
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知复数，则的虚部是（ ）
A. 2B. C. D.
3. 一个盒子中装有5个大小相同的小球，其中3个红球，2个白球.若从中任取两个球，则恰有一个红球的概率为（ ）
A. B. C. D.
4. 已知，则（ ）
A. 3B. C. 2D.
5. 设，则使成立的一个充分不必要条件是（ ）
A. B.
C. D.
6. 定义在上的函数的导函数为，若，且，则不等式的解集为（ ）
A B.
C D.
7. 已知双曲线的左焦点为，为坐标原点，若在的右支上存在关于轴对称的两点，使得为正三角形，且，则的离心率为（ ）
A B. C. D.
8. 如图，在直三棱柱中，是等边三角形，，，则点到直线的距离为（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.
9. 设，用表示不超过最大整数，则称为高斯函数，也叫取整函数.令函数，以下结论正确的有（ ）
A. B. 为偶函数
C. D. 的值域为
10. 等差数列中，，则下列命题正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，，则
C. 若，，则
D. 若，则
11. 已知正方体棱长为为正方体内切球的直径，点为正方体表面上一动点，则下列说法正确的是（ ）
A. 当为中点时，与所成角余弦值为
B. 当面时，点的轨迹长度为
C. 的取值范围为
D. 与所成角的范围为
三､填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分.
12. 已知向量，则的最小值为______.
13. 函数在内存在单调递增区间，则的取值范围是______.
14. 双曲线的离心率可以与其渐近线有关，比如函数的图象是双曲线，它的实轴在直线上，虚轴在直线上，实轴顶点是，焦点坐标是，，离心率为，已知函数的图象也是双曲线，其离心率为.则其离心率__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤
15. 如图所示，直线之间的距离为2，直线之间的距离为1，且点分别在上运动，，令.
（1）判断能否为正三角形？若能，求出其边长的值;若不能，请说明理由;
（2）求面积的最小值.
16. 某试点高校校考过程中笔试通过后才能进入面试环节.2022年报考该试点高校的学生的笔试成绩近似服从正态分布.其中，近似为样本平均数，近似为样本方差.已知的近似值为76.5，s的近似值为5.5，以样本估计总体.
（1）假设有84.135%的学生的笔试成绩高于该校预期的平均成绩，求该校预期的平均成绩大约是多少?
（2）若笔试成绩高于76.5进入面试，若从报考该试点高校的学生中随机抽取10人，设其中进入面试学生数为，求随机变量的期望.
（3）现有甲、乙、丙、丁四名学生进入了面试，且他们通过面试的概率分别为、、、.设这4名学生中通过面试的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望.
参考数据：若，则：；；.
17. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面为棱上的动点.
（1）若为中点，证明：平面；
（2）若，在线段上是否存在点使得面与面夹角余弦值为，若存在，求出点位置，若不存在，说明理由.
18. 已知函数.
（1）当时，求曲线在处切线的方程；
（2）当时，试判断零点的个数，并说明理由；
（3）是否存在实数，使是的极大值，若存在，求出的取值集合；若不存在，请说明理由.
19. 已知数列满足，数列为公差为等差数列，且满足.记，称为由数列生成的“函数”.
（1）求的值；
（2）若“1-函数”，求n的最小值；
（3）记函数，其导函数为，证明：“函数”.
附：