四川省德阳市博雅明德高级中学2025届高三上学期期中检测数学试题（解析版）-A4

这是一份四川省德阳市博雅明德高级中学2025届高三上学期期中检测数学试题（解析版）-A4，共19页。试卷主要包含了 已知集合，，则， 已知复数，则的虚部是， 已知，则等内容，欢迎下载使用。
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】首先对集合化简，再求交集即可.
【详解】由,
，
则，
故选：D.
2. 已知复数，则的虚部是（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】应用复数的除法计算化简，再结合复数的虚部的定义判断即可.
【详解】因为，
所以的虚部为.
故选：D.
3. 一个盒子中装有5个大小相同的小球，其中3个红球，2个白球.若从中任取两个球，则恰有一个红球的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据古典概型概率公式求解.
【详解】根据题意，任取两球恰有一个红球的概率为.
故选：A.
4. 已知，则（ ）
A. 3B. C. 2D.
【答案】D
【解析】
【分析】应用二倍角余弦公式及二倍角正弦公式计算再结合同角三角函数关系求解.
【详解】.
故选：D.
5. 设，则使成立的一个充分不必要条件是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据充分条件及必要条件定义结合不等式的性质判定各个选项即可.
【详解】对于A，，故是的充要条件；
对于B，由得，能推出，反之不成立，
所以是的充分不必要条件；
对于C，由无法得到之间的大小关系，反之也是，
所以是的既不充分也不必要条件；
对于D，由不能推出，反之则成立，所以是的必要不充分条件．
故选：B．
6. 定义在上函数的导函数为，若，且，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件构造函数，利用导数确定单调性，结合求解不等式即得.
【详解】依题意，令，求导得，则在上单调递减，
由，得，不等式，
则或，即或，解得或，
所以不等式的解集为.
故选：B
7. 已知双曲线的左焦点为，为坐标原点，若在的右支上存在关于轴对称的两点，使得为正三角形，且，则的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据条件，利用几何关系得到，又，得到，再结合双曲线的定义得到，即可求解.
【详解】设双曲线的焦距为，右焦点为，直线交于点，连接，
因为为正三角形，，所以为的中点，所以，
故，易知，所以，
由双曲线的定义知，
即，得.

故选：D．
8. 如图，在直三棱柱中，是等边三角形，，，则点到直线的距离为（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】取的中点，以所在直线为轴，所在直线为轴，与中点连线所在直线为轴，建立空间坐标系，利用空间向量求解即可.
【详解】解：取的中点，
则，
以所在直线为轴，所在直线为轴，与中点连线所在直线为轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
所以，
所以，
所以在上的投影的长度为，
故点到直线的距离为.
故选：C.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.
9. 设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，也叫取整函数.令函数，以下结论正确的有（ ）
A. B. 为偶函数
C. D. 的值域为
【答案】AC
【解析】
【分析】根据取整函数的定义判断各选项.
【详解】A选项：，A选项正确；
B选项：，，即，所以函数不是偶函数，B选项错误；
C选项：由已知可得，所以，
，C选项正确；
D选项：由已知，则，即，D选项错误；
故选：AC.
10. 等差数列中，，则下列命题正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，，则
C. 若，，则
D. 若，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用等差数列的性质，对于A，，计算即可；对于B，由已知计算数列公差，再求值即可；
对于C，结合数列单调性比大小；对于D，由，，得.
【详解】等差数列中，，设公差为，
若，则，A正确；
若，，则，得，
，B正确；
若，，所以公差，
当时，有，则有，
当时，有，得，
所以，则有，C错误；
若，则，
因为，所以，D正确．
故选：ABD．
11. 已知正方体棱长为为正方体内切球的直径，点为正方体表面上一动点，则下列说法正确的是（ ）
A. 当为中点时，与所成角余弦值为
B. 当面时，点的轨迹长度为
C. 的取值范围为
D. 与所成角的范围为
【答案】ABC
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系利用空间向量即可得A正确，利用线面平行性质以及椎体体积公式计算可得点的轨迹即是线段，可得B正确，利用极化恒等式计算可得C正确，由点的位置关系可知D错误.
【详解】根据题意，以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，
对于A，如下图所示：
易知，则,
可得，
即当为中点时，与所成角余弦值为，可得A正确；
对于B，易知是边长为的正三角形，故其面积为，
由三棱锥的体积为，可得点到平面的距离为，
即点在与平面平行且距离为的平面内，连接，如下图所示：
由正方体性质可得平面平面，且两平面间的距离等于，所以点平面，
又面，平面平面，即可得点的轨迹即是线段，
因此点的轨迹长度为，即可得B正确；
对于C，依题意可知即为正方体的中心，如下图所示：
，
又因为为球的直径，所以，
即可得，
又易知当点为正方体与球的切点时，最小；当点为正方体的顶点时，最大；
即，因此可得的取值范围为，即C正确；
对于D，易知的中点即为球心，如下图所示：
当与球相切时，与所成的角最大，此时，
显然，结合两直线所成角的范围可知与所成角的范围为错误，即D错误.
故选：ABC
三､填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分.
12. 已知向量，则的最小值为______.
【答案】##4.5
【解析】
【分析】由数量积运算可得，再由“1”的技巧及基本不等式得解.
【详解】因为向量，
所以，且.
所以，
当且仅当，即时等号成立，
故答案为：
13. 函数在内存在单调递增区间，则的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】根据给定条件，求出函数的导数，再利用在内有解即可.
【详解】函数，求导得，
由函数在内存在单调递增区间，得不等式在内有解，
不等式，而函数在上单调递增，
当时，，因此，
所以的取值范围是.
故答案为：
14. 双曲线的离心率可以与其渐近线有关，比如函数的图象是双曲线，它的实轴在直线上，虚轴在直线上，实轴顶点是，焦点坐标是，，离心率为，已知函数的图象也是双曲线，其离心率为.则其离心率__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据材料得到双曲线的轴和顶点的定义，先得到双曲线的渐近线，进而求出焦点所在的直线方程，联立得到顶点坐标，结合两渐近线夹角，将双曲线绕其中心适当旋转可使其渐近线变为直线，从而求出离心率，得到答案
【详解】函数中不等于，x>0时y>33x,
函数第一象限的图象夹在直线和轴之间且无限接近两直线，
因为函数是奇函数，图象关于原点对称，
所以直线和轴是双曲线两条渐近线，两渐近线夹角为，
由阅读材料可知，双曲线的焦点所在的直线是两渐近线的角平分线所在直线，
即直线，
若将双曲线绕其对称中心中心（原点）顺时针旋转可使直线变为轴，
其渐近线变为直线，
则双曲线的离心率，则.
故答案为：
四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤
15. 如图所示，直线之间的距离为2，直线之间的距离为1，且点分别在上运动，，令.
（1）判断能否为正三角形？若能，求出其边长的值;若不能，请说明理由;
（2）求面积的最小值.
【答案】（1）是正三角形，；
（2）.
【解析】
【分析】（1）过作，过作，利用直角三角形边角关系求出，则等边三角形建立方程求解即得.
（2）由（1）中信息，利用三角形面积公式，结合三角恒等变换及正弦函数的性质求出最小值.
【小问1详解】
过作，过作，垂足分别为，如图，
由，，得，
在中，，在中，，
由是正三角形，则，即，
整理得，又，解得，
所以.
【小问2详解】
由（1）知，，
而，
由，得，则当，即时，取最大值，
所以时，取得最小值.
16. 某试点高校校考过程中笔试通过后才能进入面试环节.2022年报考该试点高校的学生的笔试成绩近似服从正态分布.其中，近似为样本平均数，近似为样本方差.已知的近似值为76.5，s的近似值为5.5，以样本估计总体.
（1）假设有84.135%的学生的笔试成绩高于该校预期的平均成绩，求该校预期的平均成绩大约是多少?
（2）若笔试成绩高于76.5进入面试，若从报考该试点高校的学生中随机抽取10人，设其中进入面试学生数为，求随机变量的期望.
（3）现有甲、乙、丙、丁四名学生进入了面试，且他们通过面试的概率分别为、、、.设这4名学生中通过面试的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望.
参考数据：若，则：；；.
【答案】（1）分；
（2）5； （3）分布列详见解析；
【解析】
【分析】（1）利用正态分布的对称性和正态曲线的原则，即可求得该校预期的平均成绩；
（2）利用二项分布即可求得随机变量的期望；
（3）先求得随机变量X的各个可能取值对应的概率，进而得到随机变量X的分布列，再利用数学期望的定义即可求得随机变量X的数学期望.
【小问1详解】
由，
又的近似值为76.5，的近似值为5.5，
所以该校预期的平均成绩大约是（分）
【小问2详解】
由，可得，
即从所有报考该试点高校的学生中随机抽取1人，
该学生笔试成绩高于76.5的概率为
所以随机变量服从二项分布，故
【小问3详解】
X可能取值为，
，
，
，
，
，
所以X的分布列为
所以
17. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面为棱上的动点.
（1）若为中点，证明：平面；
（2）若，在线段上是否存在点使得面与面夹角余弦值为，若存在，求出点位置，若不存在，说明理由.
【答案】（1）证明见解析
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）连接，交于点，结合中位线定理和线面平行的判定定理即可证明；
（2）建立空间直角坐标系，设，，则，利用向量法求出即可求解.
【小问1详解】
连接，交于点，
因为底面为矩形，故为BD的中点，
又因为为的中点，
所以，
又平面，平面，
所以平面.
【小问2详解】
底面为矩形，所以，
平面，又平面，
，
如图，以为原点，所在直线为轴、轴，轴建立空间直角坐标系，
由题意得，，
设，设，
所以，可得，
所以，
，，，
设面的法向量为，
则，
取，则，
为平面的一个法向量，
设面的法向量为，
则，
取，则，
可取，
设面与面夹角为，
则，
化简得，即，
解得或（舍），
所以在线段上存在点使得面与面夹角余弦值为，此时，即点为（靠近点）的三等分点.
18. 已知函数.
（1）当时，求曲线在处切线的方程；
（2）当时，试判断零点的个数，并说明理由；
（3）是否存在实数，使是的极大值，若存在，求出的取值集合；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）；
（2）1个，理由见解析；
（3）存在，.
【解析】
【分析】（1）把代入，求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切线方程.
（2）把代入，利用导数探讨函数的单调性即可得解.
（3）利用连续函数极大值的意义求出值，再验证即可得解.
【小问1详解】
当时，，求导得，
则，而，于是切线方程是，
所以曲线在处切线的方程.
【小问2详解】
当时，，
求导得，函数在上单调递增，
又，所以函数有且仅有一个零点，是0.
【小问3详解】
由是的极大值，得，使得当时，且恒成立，
求导得，
因此是的变号零点，即，解得，
经检验，当时，，
则当时，当时，于是是的极大值，符合条件，
所以的取值集合为.
【点睛】结论点睛：函数是区间D上的可导函数，则曲线y=f(x)在点处的切线方程为：.
19. 已知数列满足，数列为公差为的等差数列，且满足.记，称为由数列生成的“函数”.
（1）求的值；
（2）若“1-函数”，求n的最小值；
（3）记函数，其导函数为，证明：“函数”.
附：
【答案】（1）142 （2）4
（3）证明过程见解析
【解析】
【分析】（1）首先得出，，所以只需求出的值即可得解；
（2）首先得出，，进一步可以得到，从而可表示出，结合其单调性即可求解.
（3）由，结合导数的运算即可求解.
【小问1详解】
，，公差为2，所以，
，
所以；
【小问2详解】
，，公差为1，
所以，
，当时，，
而，
所以，
，
设，则，
所以关于单调递增，
所以关于单调递增，
注意到，
所以当时，均满足，
所以满足题意n的最小值为；
【小问3详解】
由题意得
由，得，
所以，所以，
所以.
【点睛】关键点点睛：第二问的关键是通过累加法得出，进一步，由此即可顺利得解.
X
0
1
2
3
4
P