四川省通江中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题（Word版附解析）

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一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每题给出的四个选项中，只有一项是最符合题意的．
1. 设集合，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据交集的定义求，再由并集的定义求.
【详解】因为，，
所以，又，
所以，
故选：C.
2. 已知A为奇数集，B为偶数集，命题，，则（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】
利用全称命题否定变换形式是特称命题，并且条件不变，结论否定即可求解.
详解】命题，，
则，.
故选：D
3. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】解一元二次不等式，再根据充分条件和必要条件的定义即可得解.
【详解】解：由，解得，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
4. 若函数的定义域，值域，则函数的图像可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，由函数的概念，结合图像逐一分析，即可得到结果.
【详解】选项A，定义域为，与条件不符，故A错误；
选项B，定义域、值域均与条件相符，故B正确；
选项C，不符合函数的定义，在内的任一的值，在内并非只有唯一的值与之对应，故C错误；
选项D，值域与条件不符，故D错误．
故选：B．
5. 关于x的不等式的解集为，则实数a的值为（ ）
A. B. C. D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】根据一元二次不等式的解法即可求解.
【详解】由且不等于1，
由题意得，，解得.
故选：D.
6. 已知，则（ ）
A. 27B. 18C. 15D. 25
【答案】B
【解析】
【分析】根据，利用平方公式、立方公式，集合指数幂运算求解.
【详解】因为，
所以，
所以，
故选：B
7. 设是定义域为的奇函数，且，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据奇函数的性质，结合已知等式判断函数的周期，利用周期进行求解即可.
【详解】因为是定义域为的奇函数，
所以由，
函数该函数的周期为，
，
故选：B
8. 若函数在上单调递减，则实数a的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题意得，解不等式组即可
【详解】函数在上单调递减，
则有，即
解得，
故选：C
二､多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．
9. 下列各组函数不是同一组函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】
利用相等函数定义对选项进行判断得解.
【详解】A. 定义域为 ，定义域为 , 不是同一组函数
B. 定义域为,定义域为不是同一组函数
C. 定义域为,对应关系一致 , 是同一组函数
D. 定义域为定义域为,不是同一组函数
故选：ABD
【点睛】相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．
10. 下列命题中正确的是（ ）
A. 函数的最小值为2
B. 函数（且）恒过定点
C. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为
D. 若函数，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】由时可判断A，根据指数函数的性质可判断B，根据抽象函数的定义域可判断C，根据配凑法求函数解析式可判断D.
【详解】A选项，当，，故A错误；
B选项，且，当时，，
故函数（且）恒过定点，故B正确；
C选项，由得：，故函数函数的定义域为，故C正确；
D选项，，且，
故，D正确.
故选：BCD.
11. 已知定义在上的函数在上单调递增，且为偶函数，则（ ）
A. 直线是的对称轴
B. 是的对称中心
C.
D. 不等式的解集为
【答案】AD
【解析】
【分析】由题意可得图象的对称轴为直线，即可判断A，B；结合对称性可得在上单调递减，从而，即可判断C；由不等式结合的对称性及单调性，可得，解不等式即可判断D．
【详解】因为为偶函数，其图象关于轴对称，所以图象的对称轴为直线，故A正确，B错误；
又在上单调递增，所以在上单调递减，所以，故C错误；
由不等式结合的对称性及单调性，得，即，即，解得或，所以不等式的解集为，故D正确，
故选：AD．
三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知点在幂函数的图象上，则______．
【答案】##
【解析】
【分析】利用待定系数法，求得函数解析式，根据幂的运算，可得答案.
【详解】设幂函数（α为常数），∴，∴，∴，．
故答案为：.
13. 函数为奇函数，则的值为_____．
【答案】
【解析】
【分析】根据奇函数定义，由恒成立求解即可.
【详解】函数的定义域为，定义域关于原点对称，
因为为奇函数，所以对任意x∈−∞,0∪0,+∞，
都有.
则，
所以.
故答案为：.
14. 已知函数，若方程有8个相异实根，则实数b的取范围是___________.
【答案】
【解析】
【分析】作出函数的图像，由图像可得要方程有8个相异实根，则必有2相异实根，且两根均在内，利用根的分布知识列不等式求解即可.
【详解】作出函数的图像如下：
令，则，
要方程有8个相异实根，
则必有2相异实根，且两根均在内
则，解得
故答案为：.
四､解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．
15. 已知全集为R，集合，．
（1）求；
（2）若，且“”是“”的必要不充分条件，求a的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用交集的定义求解．
（2）利用必要不充分条件定义列出不等式组即可求解．
【小问1详解】
∵，又，
∴．
【小问2详解】
∵是的必要不充分条件，
∴，
∴（等号不同时成立），解得，
∴a的取值范围为．
16. 已知
（1）求ab的最大值；
（2）求最小值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用基本不等式得到关于的不等式，整体换元解不等式得范围，再分析等号取到条件即可；
（2）将条件等式转化为积为定值的形式，再结合整体元，利用基本不等式求解最值可得.
【小问1详解】
由，
可得，当且仅当时等号成立
令，则，即，
解得，又，则.
则，
当且仅当时等号成立.
故的最大值为.
【小问2详解】
由，
得，且，
则
.
当且仅当，即时等号成立.
故的最小值为.
17. 我县提出了“科技强县”的发展目标，通江县工业园区为响应这一号召，计划在年投资新技术，生产某种机器零件，通过市场分析，生产此种机器零件全年需投入固定成本万元，每生产万件机器零件，需另投入变动成本万元，且R(x)=5x2+100x,010由市场调研知每件机器零件的批发价为元，且全年内生产的机器零件当年能全部销售完．
（1）试写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式；
（2）当年产量为多少万件时，企业所获利润最大？并求出最大利润．
（注：年利润=年销售收入固定成本变动成本）
【答案】（1）L(x)=−5x2+300x−600,010
（2）当年产量为万件时，年利润最大，最大年利润为万元.
【解析】
【分析】（1）根据题意，分和两种情况，求出的解析式，从而得解；
（2）利用二次函数的性质与基本不等式分别求得两段解析式的最大值，从而比较得解.
【小问1详解】
因为每件机器零件的批发价为元，所以万件机器零件的销售收入为万元，
依题意得，当时，，
当时，，
所以L(x)=−5x2+300x−600,010.；
【小问2详解】
当时，，
所以在上单调递增，所以；
当时，，
当且仅当，即时，等号成立，所以，
因为，
所以当年产量为万件时，年利润最大，最大年利润为万元.
18. 已知函数.
（1）若，判断在上的单调性，并用定义证明；
（2）若，且，求的取值范围；
（3）设函数，若对任意的，总有，使得，求的取值范围.
【答案】（1）在上单调递增，证明见解析
（2）或
（3）
【解析】
【分析】（1）利用函数单调性的定义，结合作差法即可得证；
（2）利用（1）中结论，结合指数函数的性质得到关于的不等式，解之即可得解；
（3）将问题转化为在上的值域是在上值域的子集，再分别求出与的值域，建立不等式即可得解.
【小问1详解】
在上单调递增，证明如下：
任取且，
则，
因为，则，
所以，即，
故在上单调递增.
【小问2详解】
当时，由（1）知在上单调递增，
因为，且，，
所以，由于在上单调递增，
故，即，解得或.
【小问3详解】
对任意，总有，使得，
则在上的值域是在上值域的子集，
因为，所以在上单调递增，
故当时，所以的值域为，
当时，在上单调递增，所以的值域为，
由，可得，解得，故；
当时，，满足题意；
当时，由在时，，由对勾函数性质可知，
只需且，解得，故，
综上，，即的取值范围.
【点睛】关键点点睛：本题第3小问的解决关键是，将问题等价于在上的值域是在上值域的子集，从而得解.
19. 已知二次函数满足，，若不等式有唯一实数解．
（1）求函数的解析式；
（2）若函数在上的最小值为．
（i）求；
（ii）解不等式．
【答案】（1）
（2）（i）；（ii）或.
【解析】
【分析】（1）由已知得对称轴，从而设函数解析式为，由求得，再由不等式有唯一实数解，结合判别式求得，得解析式；
（2）（i）根据二次函数性质分类讨论求得最小值；（ii）由的对称性，依照二次函数的知识方法分类讨论解不等式．
【小问1详解】
由可知对称轴为，
设二次函数，
又，所以，所以，
又有唯一实数解，
所以有唯一实数解，即有唯一实数解，
所以方程的判别式，所以
所以．
【小问2详解】
①的对称轴为，
（Ⅰ）当时，在上为单调增函数，所以；
（Ⅱ）当时，在上为单调减函数，所以；
（Ⅲ）当时，在上为单调减函数，在上为单调增函数，
所以；
综上：
②由①知且关于对称．
（Ⅰ）当时，
只需，解得，
所以．
（Ⅱ）当时，
，，，
解得，所以或．
综合（Ⅰ）（Ⅱ）得不等式的解集为或.