浙江省丽水市五校2024-2025学年高二上学期11月期中联考数学试卷(含答案)

这是一份浙江省丽水市五校2024-2025学年高二上学期11月期中联考数学试卷(含答案)，共17页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．直线的倾斜角为( )
A.B.C.D.
2．已知空间向量，，且，则m的值为( )
A.B.C.D.
3．圆与圆的位置关系是( )
A.内含B.内切C.外离D.相交
4．已知双曲线的焦距为8，则该双曲线的渐近线方程为( )
A.B.C.D.
5．在正方体中，M和N分别为和的中点，那么直线与所成角的余弦值是( )
A.B.C.D.
6．如图，太阳灶是一种将太阳光反射至一点用来加热水或食物的设备，上面装有抛物面形的反光镜，镜的轴截面是抛物线的一部分，已知太阳灶的口径（直径）为4m，深度为0.5m，则该抛物线顶点到焦点的距离为( )
C.1mD.2m
7．已知椭圆分别为左右焦点，P为椭圆上一点，满足，则的长为( )
A.B.C.D.
8．已知EF是棱长为8的正方体的一条体对角线，空间一点M满足，AB是正方体的一条棱，则的最小值为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知是空间中不共面的三个向量，则下列向量能构成空间的一个基底的是( )
A.B.
C.D.
10．设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于两点，l为C的准线，则( )
A.B.
C.以为直径的圆与相切D.
11．已知线段是圆的一条动弦，，直线与直线相交于点P，下列说法正确的是( )
A.直线恒过定点
B.直线与圆C恒相交
C.直线，的交点P在定圆上
D.若G为中点，则的最小值为
三、填空题
12．抛物线的准线方程为______.
13．已知空间中三点，则点A到直线的距离为_________．
14．已知分别是椭圆的右顶点，上顶点和右焦点，若过三点的圆恰与y轴相切，则C的离心率为_________．
四、解答题
15．直线l经过两直线和的交点．
(1)若直线l与直线平行，求直线l的方程；
(2)若点到直线l的距离为2，求直线l的方程．
16．如图，在空间四边形中，点D为的中点，，设，，．
(1)试用向量，，表示向量；
(2)若，，求的值．
17．已知圆C圆心在直线上，且经过点和.
(1)求圆C的标准方程；
(2)自点发出的光线m射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在的直线与圆C相切，求光线m所在直线的方程．
18．如图，已知四棱锥，是以为斜边的等腰直角三角形，，，，E为中点.
(1)证明：平面；
(2)证明：；
(3)若G是线段上一动点，直线与平面所成角正弦值为，求的值.
19．已知椭圆的左、右焦点分别为，，且经过点和，点P是椭圆C上不在x轴上的任意一点，射线，分别与椭圆C交于点A，B．
(1)求椭圆的方程；
(2)求内切圆面积的最大值；
(3)设，，的面积分别为，，．求证：为定值．
参考答案
1．答案：D
解析：直线方程的斜截式为:,所以直线的斜率为,
设直线的倾斜角为:,所以,因为,
所以.
故选:D
2．答案：B
解析：.
故选：B
3．答案：D
解析：，
，，
因此两圆相交，
故选：D
4．答案：C
解析：由题意可知：，且焦点在y轴上，
即，可得，
所以该双曲线的渐近线方程为.
故选：C
5．答案：A
解析：设分别是的中点，
由于分别是的中点，
结合正方体的性质可知，
所以是异面直线和所成的角或其补角，
设异面直线和所成的角为，设正方体的棱长为2，
，，
则.
故选：A
6．答案：D
解析：以该抛物线顶点为原点建立平面直角坐标系，如图所示：
设此抛物线方程为，依题意点在此抛物线上，
所以，解得，
则该抛物线顶点到焦点的距离为.
故选：D
7．答案：A
解析：由椭圆方程可知：，
可得，
在中，
由余弦定理可得
，
即，解得，
因为O为线段的中点，
则，
可得
，
所以的长为.
故选：A
8．答案：B
解析：取的中点O,,
则
，
所以．
所以M在以O为球心，为半径的球面上，如图
可知在上的投影数量最小值为，
所以的最小值为，
所以的最小值为．
故选：B
9．答案：BC
解析：对于选项A：因为，
所以三个向量共面，
故不能构成空间的一个基底，故A错误；
对于选项D：因为，
所以三个向量共面，
故不能构成空间的一个基底，故D错误；
因为是空间中不共面的三个向量，
对于选项B：设，
显然不存在实数x,y使得该式成立，
所以不共面，可以作为基底向量，故B正确；
对于选项C：设，
则，方程无解，
即不存在实数x,y使得该式成立，
所以不共面，可以作为基底向量，故C正确；
故选：BC
10．答案：CD
解析：直线过抛物线的焦点，
可得，则，所以A选项错误；
抛物线方程为，准线l的方程为，
直线与抛物线交于两点，
设，
直线方程代入抛物线方程消去y可得，
则，得，所以B选项错误；
的中点的横坐标，中点到抛物线的准线的距离为，
则以为直径的圆与l相切，所以C选项正确；
O点到直线的距离，，所以D选项正确．
故选：CD
11．答案：ACD
解析：对于选项A，因为直线，
即，
令，解得，
则直线恒过定点，故A正确；
对于选项B，因为直线，
即，
令，解得，
所以直线恒过定点，
将点代入圆C可得，
即点在圆C外，
所以直线与圆C不一定相交，故B错误；
对于选项C，联立两直线方程可得，
解得，
消去m可得，
即，故C正确；
对于选项D，设，
因为，且G为中点，所以，
而圆的圆心，半径为2，
则圆心到弦的距离为，
即，
即点G的轨迹方程为，圆心，半径为，
由选项C可知，点P的轨迹方程为，
圆心，半径为，
两圆圆心距为，
所以的最小值为，故D正确；
故选：ACD
12．答案：
解析：抛物线的标准方程是,所以准线方程是
13．答案：
解析：由题设，A在的平分线上，在的平分线上，
如下图所示，
若面，连接，
显然，，
由都在面内，则面，
由面，则，故为等腰直角三角形，
由面，则，即的长度是点A到直线的距离，
由题设有，故，则.
故答案为：
14．答案：
解析：由已知可得：，
线段的垂直平分线方程为，过三点的圆恰与y轴相切，
所以圆心坐标为，圆的半径为，
所以经过过三点的圆的圆的方程为，
在圆上，
所以，
整理得：，
所以，所以，
化为：，由，解得.
故答案为：．
15．答案：(1)；
(2)或
解析：(1)由，求得，
可得两直线和的交点为,
当直线l与直线平行，设l的方程为，
把点代入求得，
可得l的方程为．
(2)当l的斜率不存在时，直线l的方程为，
满足点到直线l的距离为2．
当l的斜率存在时，
设直限l的方程为，
即，
则点A到直线l的距离为，求得，
故l的方程为，
即．
综上，直线l的方程为或．
16．答案：(1)
(2)-1
解析：(1)点D为的中点，
，
，
．
(2)，由(1)得
．
17．答案：(1)
(2)或
解析：(1)设圆的方程为，
可得
解得
所以圆的方程为，
即圆C的标准方程为；
(2)圆关于x轴的对称方程是，
设m的方程为，
即，
因为反射光线所在的直线与圆C相切，故对称圆与入射光线相切，
所以对称圆心到m的距离为圆的半径1，
则，
从而可得，
故光线m所在直线的方程是或．
18．答案：(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
解析：(1)设中点为F，连接，．如图①所示，
，分别为，中点，
且，
且，
即四边形为平行四边形，
又平面,平面，
平面.
(2)取中点记为O，连结,，如图②所示，
由等腰三角形得：,
,
且平面,
平面,
平面,
(3)由(2)得，为平面与平面所成二面角的平面角，
设则，则，
即平面与平面所成二面角的平面角为
如图建立空间直角坐标系，
设,
设平面的法向量为，
由
取，则，
且
令与平面所成线面角为，
由,
得：
解得：（舍去）,
所以.
19．答案：(1)
(2)
(3)证明见解析
解析：(1)将点和代入椭圆方程得
解得
则椭圆C的标准方程为；
(2)周长L为，设内切圆半径为，
内切圆面积为，
则，
又，
设所在直线方程为，与椭圆方程联立得：
，
所以
令，（时取最大值），
所以，，
所以，
即内切圆面积的最大值为.
(3)设，，，
因为点P在椭圆上，
所以，即．
由(1)得，，
设直线的方程为，，
联立，
消去x并整理得，
此时，由韦达定理得，
同理得：，
所以
.
故为定值