重庆市育才中学校2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题 含解析

这是一份重庆市育才中学校2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题 含解析，共17页。试卷主要包含了选择题必须使用2B铅笔填涂，请保持答题卡卡面清洁， 下列命题中正确的是等内容，欢迎下载使用。

（满分：150分；考试时间：120分钟）
注意事项：
1.答卷前，请考生先在答题卡上准确工整地填写本人姓名、准考证号；
2.选择题必须使用2B铅笔填涂:非选择题必须使用0.5mm黑色签字笔答题；
3.请在答题卡中题号对应的区域内作答，超出区域书写的答案无效：在草稿纸、试题卷上答题无效；
4.请保持答题卡卡面清洁.不要折叠、损毁：考试结束后，将答题卡交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】解不等式得集合B，再利用交集的概念计算即可.
【详解】由，则，即，
所以，即B正确.
故选：B
2. 命题“，”的否定为（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】A
【解析】
【分析】利用全称量词命题否定形式判定选项即可.
【详解】根据全称量词命题的否定形式可知：命题“，”的否定
“，”，
即“，”.
故选：A
3. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用抽象函数的定义域求法计算即可.
【详解】因为的定义域为，则，即,
所以的定义域为，
又，所以函数的定义域为.
故选：B
4. 已知，则（ ）
A. B. 1C. 2D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】根据分段函数求函数值即可得.
【详解】.
故选：D.
5. 已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次函数的性质即可根据求解.
【详解】为开口向上的二次函数，且对称轴为，
由于函数在上单调递减，故，解得，
故选：D
6. 已知为上的奇函数，当时，，则时，的解析式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用奇函数的定义计算即可.
【详解】因为知为上的奇函数，当时，，
令，则.
故选：C
7. 设，若，使得关于的不等式有解，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分离参数结合对勾函数的性质计算即可.
【详解】关于的不等式有解等价于在上有解，
由对勾函数的性质可知在上单调递增，即，
所以.
故选：B
8. 设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，也叫取整函数，如，，，令，则下列选项正确的是（ ）
A. B.
C. D. 函数的值域为
【答案】D
【解析】
【分析】代入具体值即可判断选项A，B；对于C选项字母的代入需要进行拆分化解，得到其周期性；对于D选项在一个周期的范围内分析出其值域即可.
【详解】对于A，，故A错误；
对于B，，,
即，故B错误；
对于C，，故C错误；
对于D，由C知，为周期函数，且周期为1，不妨设，
当时，，
当时，，此时值域为，
当时，，
故当时，有，故函数的值域为，故D正确.
故选：D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列命题中正确的是（ ）
A. 集合的真子集有2个
B. 是正方形是矩形
C. 设，，，，若，则
D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用真子集的求法可判定A，利用集合间的基本关系可判定B、D，利用集合相等的关系可判定C.
【详解】对于A，易知集合的真子集有个，故A错误；
对于B，所有正方形都是矩形，即是正方形是矩形，故B正确；
对于C，若，则，所以，故C正确；
对于D，因为把空集视为元素，所以，故D正确.
故选：BCD
10. 已知实数、、、满足，，则下列选项正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】由已知得，，利用作差法可判断A，C，D；根据不等式的性质可判断B.
【详解】，，，
对于A，，，即，故A正确；
对于B，，，，故B错误；
对于C，，
，， ，即，故C正确；
对于D，，，则，，
则，
，故D正确.
故选：AD.
11. 若定义域为，对任意，存在唯一，使得，则称在定义域上是“倒数函数”，则下列说法正确的是（ ）
A. 是倒数函数
B. 是倒数函数
C. 若在上是倒数函数，则
D. 若存在，使得在定义域上是倒数函数，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】翻译题目可得在定义域上是“倒数函数”当且仅当，其中的值域、的值域分别为，对于AB，直接根据等价命题判断即可，对于C，首先求得，根据倒数函数的定义可得（1）且（2），解出即可判断；对于D，对进行适当划分并分类讨论，由必要性得，反过来验证充分性是否成立即可.
【详解】由题意对任意，存在唯一，使得，则称在定义域上是“倒数函数”，
则在定义域上是“倒数函数”当且仅当对任意，存在唯一，使得；
即当且仅当的值域是的值域的子集，
定义的值域、的值域分别为，
所以在定义域上是“倒数函数”当且仅当；
对于A，的值域为，而的值域为，显然满足，故A正确；
对于B，由对勾函数性质可得，的值域为，
而的值域为，不满足，故B错误；
对于C，由题意在上是倒数函数，
首先当时，单调递减，此时，
由倒数函数定义可知，不包含0，即（1）；
从而在时的值域为，
由题意，
所以要满足题意，还需满足（2）；
只需（1）（2）式子同时成立即可，所以当且仅当，解得，故C正确；
对于D，必要性：情形一：当时，在定义域上单调递增，
则，
若在定义域上是倒数函数，
首先，此时的值域为，
同时注意到不成立，故不符合题意；
情形二：当时，在定义域上单调递增，
则，
若在定义域上是倒数函数，
首先，此时的值域为，
同时注意到不成立，故不符合题意；
情形三：当时，注意到的对称轴为，则，
（i）当时，，
由二次函数性质可知存在使得，即此时，
若在定义域上是倒数函数，
首先，此时的值域为，
同时注意到不成立，故不符合题意；
（ii）当时，由二次函数性质可知，
即此时，注意到，
若在定义域上是倒数函数，
首先，其次结合，可得应该满足；
充分性：，有，
，使得，
这表明当时，存在，使得在定义域上是倒数函数，故D正确.
故选：ACD.
【点睛】关键点点睛：解决C选项的关键是要依次得出（1）以及（2），解决D选项的关键在于先由必要性求参数，再验证充分性即可.
三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分.
12. 已知函数是幂函数且在上单调递增，则实数的值是______.
【答案】3
【解析】
【分析】利用幂函数的定义及性质计算即可.
【详解】由题意可知，解之得或，
当时，，此时函数在上单调递减，不符题意；
当时，，满足题意.
故答案为：3
13. 已知全集为，集合，，若是的必要条件，则实数的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】根据分式不等式求解化简求解,即可将必要条件转化为，进而列不等式可求解.
【详解】由可得，
由于是的必要条件，故,
因此，解得，
故答案为：
14. 已知正实数、、满足，则的最小值为______，的最小值为______.
【答案】 ①. ； ②. ##
【解析】
【分析】根据基本不等式中常值代换法可得第一空；利用两次基本不等式计算即可.
【详解】因为，，所以，
所以
，
当且仅当，即时取得最小值；
易知
，
当且仅当第一个不等号可取等号，
当且仅当第二个不等号可取等号.
故答案为：；.
【点睛】思路点睛：对于第一空可用常值代换即灵活运用“1”构造乘积为定值计算；对于第二空观察式子结构，灵活运用“1”构造齐次式，两次使用基本不等式计算即可，需注意等号成立的情况.
四、解答题：本题共5小题，15题13分，16、17题15分，18、19题17分，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知全集为，集合，集合.
（1）若，求，；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）首先解一元二次不等式求出集合，再根据补集的定义求出，最后根据交集的定义计算即可；
（2）由得，分集合为空集和不是空集两种情况分别建立不等式（组），可求得实数的取值范围.
【小问1详解】
，
当时，，
，
，
；
【小问2详解】
，，
当时，，解得；
当时，解得；
综上，.
16. 已知函数.
（1）若关于的不等式的解集为或，求关于的不等式的解集；
（2）当，时，函数在上的最小值为6，求实数的值.
【答案】（1）
（2）或3．
【解析】
【分析】（1）根据一元二次不等式的解与二次方程的根之间的关系，可得韦达定理，即可将不等式变形为求解；
（2）先由对称轴结合最值得出或，进而分类讨论这两种情况，结合二次函数的单调性得出实数的值．
【小问1详解】
由于的解集为或，故和是一元二次方程的两个根，故，解得，
故变形为，
解得，
故不等式的解为
【小问2详解】
当，时，，则对称轴方程为，由于，故或，即或，
当时，最小值，解得，
当时，最小值，解得，
综上：或3．
17. 已知函数，实数.
（1）若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围；
（2）解关于的不等式.
【答案】（1）；
（2）答案见解析.
【解析】
【分析】（1）含参分类讨论结合二次函数与一元二次不等式、一元二次方程的关系计算即可；
（2）含参分类讨论解不等式即可.
小问1详解】
由得对一切实数恒成立，
当时，显然恒成立；
当时，则要满足题意需，解之得；
综上实数的取值范围为：；
【小问2详解】
由得，
若，解不等式得；
若，解不等式得或；
若，解不等式得；
若，解不等式得；
若，解不等式得；
综上：当时，解集为；当时，解集为；
当时，解集为；当时，解集为；
当时，解集为.
18. 已知定义域在上的函数满足：，且当时，.
（1）求，的值；
（2）证明是偶函数；
（3）解不等式.
【答案】（1）；
（2）证明见解析； （3）
【解析】
【分析】（1）令和计算即可；
（2）令结合（1）的结论及偶函数的定义证明即可；
（3）令，根据条件判定函数的单调性计算即可解不等式.
【小问1详解】
令，则；
令，则；
【小问2详解】
易知函数定义域关于原点对称，
令，则，满足偶函数的定义，证毕；
【小问3详解】
令，易知，
则，
所以在0,+∞上单调递增，
又为偶函数，所以在上单调递减，
所以，
则，
，即，
即不等式的解集为.
19. 已知，.
（1）若是奇函数，求的取值，并直接写出的单调区间；
（2）在（1）条件下，若在定义域内存在，，满足，求的取值范围；
（3）当时，对任意，且，不等式恒成立，求的取值范围.
【答案】（1），单调递增区间为，，单调递减区间为，.
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据奇函数的性质求出参数的值，即可得到函数解析式，再检验，最后根据对勾函数的性质得到函数的单调区间；
（2）结合（1）的单调性求出的取值范围，从而得到对应的的取值范围，再分、的取值区间讨论，即可求出的范围，从而求出的范围；
（3）不妨设，从而得到，则在上单调递减，令，结合对勾函数的单调性与函数平移规则，得到的单调区间（部分），从而得到不等式组，解得即可.
【小问1详解】
因为为奇函数，所以，
即，即，即，
所以，此时，定义域为，
且，满足奇函数，
由对勾函数的性质可知在，上单调递增，
在，上单调递减，
即的单调递增区间为，，单调递减区间为，.
【小问2详解】
由（1）可知，则，，
所以当时，则；
当时，则；
当，时，则，，
所以，又，所以；
当，时，，，
所以，又，所以；
同理可得，当，时可得；
当，时可得；
综上可得.
【小问3详解】
不妨令，由，可得，
即，
所以在上单调递减，
令
，
则在上单调递减，
又在上单调递减，在上单调递增，
而的图象是由的图象向左平移个单位得到，
所以在上单调递减，在上单调递增，
要使在上单调递减，则，解得，
即的取值范围为.