重庆市育才中学校2022-2023学年高一上学期期末数学试题（教师版含解析）

这是一份重庆市育才中学校2022-2023学年高一上学期期末数学试题（教师版含解析），共21页。试卷主要包含了考试结束后，将答题卡交回等内容，欢迎下载使用。

(满分150分，考试时间120分钟)
本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．
注意事项：
1．答卷前，请考生务必把自己的姓名、准考证号填写在答题卡上；
2．作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效；
3．考试结束后，将答题卡交回．
第I卷
一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求)
1. 设集合，，则A∩B=( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据交集的定义求解.
【详解】因为，，则A∩B=，
故选:D.
2. 命题“”的否定形式是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】直接根据特称命题的否定是全称命题来判断.
【详解】根据特称命题的否定是全称命题得，
命题“”的否定形式是.
故选：B.
3. 下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数的为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】逐一判断每个选项中函数的奇偶性和单调性来得答案.
【详解】对于A：既不是奇函数也不是偶函数，A错误；
对于B：若，，则，则为定义域内的偶函数， B错误；
对于C： 若，，则，则为奇函数，但，则在定义域上不是增函数，C错误；
对于D：若，则，则为奇函数，作出其函数图像如下：
在定义域上单调递增，D正确.
故选：D.
4. 如果角的终边经过点，则( )
A. －B. C. D. －
【答案】A
【解析】
【分析】根据三角函数的定义和弦化切的方法求解.
【详解】由题可得，
所以，
故选:A.
5. 函数为奇函数的一个充分不必要条件是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】通过求出，再逐一对照选项即可.
【详解】若函数为奇函数，
则，即
当时，，A正确；
另外不存在整数使，，BC不正确；
是函数为奇函数的充要条件，D不正确.
故选：A.
6. 设，，，则a，b，c大小关系是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先利用对数函数的单调性得到，的大小，再利用余弦的诱导公式和单调性得的范围比较即可．
【详解】解：因为，，则，
又因为，，则
所以，
故选：B．
7. 生物体死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减(称为衰减率)，与死亡年数之间的函数关系式为(其中为常数)，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．若2021年某遗址文物出土时碳14的残余量约占原始含量的，则可推断该文物属于( )
参考数据：
参考时间轴：
A 宋B. 唐C. 汉D. 战国
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定条件可得函数关系，取即可计算得解.
【详解】依题意，当时，，而与死亡年数之间的函数关系式为，
则有，解得，于是得，
当时，，于是得：，解得，
由得，对应朝代为战国，
所以可推断该文物属于战国.
故选：D
8. 设函数是定义在上的奇函数：对任意，都有，且当时，，若函数在上恰有5个不同的零点，则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题意分析得函数的周期为4，作出函数图象，根据题意得得函数的图象与的图象在有5个不同的交点，作出图象，数形结合即可求解.
【详解】因为函数是定义在上的奇函数，当时，，
所以时，，
又因为对任意的，都有，
所以，
即，
又因为，
即，
所以，
所以，即函数以4为周期，
又由函数在上恰有5个不同的零点，
得函数的图象与的图象在有5个不同的交点，
，
当如图，
要使两函数图象有5个交点，则，解得，
当如图，
要使两函数图象有5个交点，则，解得，
综上，
故选:C.
二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9. 下列说法正确的是( )
A. B. 第一象限的角是锐角
C. 1弧度的角比1°的角大D. 用弧度制量角时，角的大小与圆的半径有关
【答案】AC
【解析】
【分析】对于AC，将角度转化为弧度即可判断；对于B，根据象限角的概念判断；对于D，根据弧度的定义来判断.
【详解】对于A：，A正确；
对于B：第一象限的角不一定是锐角，比如，B错误；
对于C：1°的角为弧度，比1弧度的角小，C正确；
对于D：用弧度制量角时，角的大小为弧长与半径的比值，当半径变化时，弧长也在变化，此时比值是不发生变化的，即角的大小与圆的半径无关，D错误.
故选：AC.
10. 函数)在一个周期内的图像如图所示，则( )
A. 该函数的解析式为
B. 是该函数图像的一个对称中心
C. 该函数的减区间是
D. 把函数的图像上所有点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，再向左平移，可得到该函数图像
【答案】ABD
【解析】
【分析】观察图像可得，再带点可得，则可确定A；计算时，是否为零来确定B；令，求出单调减区间来确定C；通过周期变换和平移变换得函数来确定D.
【详解】对于A：由图观察可得，得，
又，，
即，代入点得，
得，即，
又，得，
，A正确；
对于B，当时，，是该函数图像的一个对称中心，B正确；
对于C，令，
解得，
即的减区间是，C错误；
对于D，函数的图像上所有点的横坐标伸长为原来的倍得，再纵坐标不变，再向左平移，可得，D正确.
故选:ABD.
11. 已知函数，且，下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据函数图象可得且，利用基本不等式求解即可.
【详解】作出图象如下，
因为，且，
所以，由图象可知，，
所以，
所以，所以也即，A错误；
，B错误；
，
当且仅当即时取得等号，C正确；
因为,
当且仅当时取得等号，由于，
所以，D正确，
故选:BCD
12. 已知函数的最小值为0，是自然对数的底数，则( )
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】BC
【解析】
【分析】根据题意确定当，的值域是的子集，分类讨论的取值范围，结合函数的单调性与最值的关系求解.
【详解】当时，，即，
故当，的值域是的子集，
即，
当时，对勾函数在单调递减，单调递增，
对于A, ，则对勾函数在单调递增，
则在单调递减，
所以，即，A错误；
对于C, ，则对勾函数在单调递减，
则在单调递增，
所以，即，C正确；
对于B,D，当时，为的减函数，
所以，即，故B正确，D错误；
故选:BC.
第Ⅱ卷
三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)
13. 已知幂函数f(x)的图象经过(9,3)，则f(4)= __________
【答案】2
【解析】
【详解】分析：设幂函数f(x)=xα，把点(9，3)代入解析式求出α，即可求出函数的解析式和f(4)的值．
详解：设幂函数f(x)=xα，
∵函数f(x)的图象经过(9，3)，∴9α=3，解得，
则f(x)= ，∴f(4)=2，
故答案为2．
点睛：本题考查幂函数的解析式的求法：待定系数法，属于基础题．
14. 若，则____________．
【答案】##
【解析】
【分析】令，得，再将代入，利用诱导公式计算即可.
【详解】令，则，
，
故答案为：
15. 如图，在Rt中，，以为圆心、为半径作圆弧交于点，若圆弧分的面积为(扇形部分是2份)，且弧度，则____________．
【答案】
【解析】
【分析】设出扇形的半径，求出扇形的面积，再在直角三角形中求出高，计算直角三角形的面积，由条件建立等式，解此等式求出与的关系，即可得出结论．
【详解】解：设扇形部分的半径为，
则扇形的面积为，直角三角形中，，
的面积为，由题知圆弧分的面积为(扇形部分是2份)，，
，
．
故答案为：．
16. 已知函数在上单调，且将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后与原来的图象重合．当时，使得不等式成立的x的最大值为___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据单调函数知到此区间在相邻两个对称轴之间，求出的范围，根据平移得到的表达式，继而确定的值，再画给定区间的图像，可得.
【详解】
函数在上单调
所以
将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后与原来的图象重合．
所以
所以，当时，
如图，满足不等式成立的
x最大值满足：
故答案为：
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】(1)利用指数幂的运算性质，对数的运算性质，特殊角的三角函数计算即可；
(2)利用对数的运算性质计算即可.
【小问1详解】
【小问2详解】
18. 已知对于成立；关于a的不等式成立．
(1)若p为真命题，求a的取值范围；
(2)若p是q的必要不充分条件，求b的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】(1)直接利用列式计算；
(2)解二次不等式得，再根据p是q的必要不充分条件得集合间的包含关系，进而可得b的取值范围．
【小问1详解】
对于成立，得，解得；
即若p为真命题，a的取值范围为；
【小问2详解】
对于关于a的不等式成立，
得，解得，
若p是q的必要不充分条件，则，
得.
19. 新成民铁路起自成都南站(途经站点如图所示)，沿途经过四川省成都市、眉山市、乐山市、凉山彝族自泡州、攀枝花市，云南省楚雄彝族自治州、昆明市，终至昆明站，为国家1级双线电气化铁路，设计时速160公里，已于2022年12月26日全线正式开通运营．目前，成都到昆明的铁路列车运行时间由19个小时缩短到7.5个小时左右，将为西南地区的人员、物流往来构建起铁路运输大动脉，对促进西南地区的经济社会发展均具有十分重要的意义．
现在已知列车的发车时间间隔t(单位：分钟)满足．经市场调研测算，列车载客量与发车时间间隔t相关，当时列车为满载状态，载客量为720人；当时，载客量会减少，减少的人数与(12－t)的平方成正比，且发车时间间隔为3分钟时的载客量为396人．记列车载客量为．
(1)求的表达式；
(2)若该线路每分钟的净收益为(元)，问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大，并求出最大值．
【答案】(1)
(2)时间间隔为3分钟时，该线路每分钟的净收益最大为元
【解析】
【分析】(1)由题设，有且，求值，进而写出其分段函数的形式即可；
(2)由(1)写出解析式，结合基本不等式与函数单调性讨论、求最大值即可．
【小问1详解】
解：由题可知，当时，，
当，可设，又发车时间间隔为3分钟时载客量为396人，
，解得。
此时，
；
【小问2详解】
解：由(1)得：
当时，，当且仅当，即等号成立，所以；
当时，单调递减，则，
综上，时间间隔为3分钟时，该线路每分钟的净收益最大为元.
20. 已知．其中．
(1)若，求；
(2)已知，求函数的最大值g(a)．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】(1)根据同角三角函数的关系求出正余弦即可求解；(2)利用换元法可得，，
讨论二次函数的单调性即可求出最值.
【小问1详解】
若，则，代入，
得整理得
解得，
因为，所以
当时，，舍去，
当时，，
所以.
【小问2详解】
因为，所以，
所以，
所以，
因为，所以，
所以，，
当，当时有最大值为，
当时，在单调递增，
则当时，有最大值为，
当时，在单调递减，
则当时，有最大值为，
所以.
21. 已知函数满足且与的最小正周期相同．
(1)求的值及g(x)的单调区间；
(2)若在区间上恰好有2022个零点，求的取值范围．
【答案】(1)，g(x)的单调递增区间为，无减区间
(2)
【解析】
【分析】(1)由题知，函数关于点对称，进而根据三角函数性质求得，的单调区间；
(2)由题知，其最小正周期为，进而结合题意得
【小问1详解】
解：因为函数与 的最小正周期相同，
所以，，解得，
所以，
令，解得，
所以，g(x)的单调递增区间为，无减区间；
因为函数满足，
所以，函数关于点对称，
所以，即，
因为，所以，
综上，，g(x)的单调递增区间为，无减区间
【小问2详解】
解：由(1)知，故，
所以的最小正周期为
因为在区间上恰好有2022个零点，
所以，区间内至少有个周期，至多(不能取到)
所以，即，
所以，的取值范围是
22. 已知函数
(1)若在[2，3]上的最小值为，求a的值；
(2)证明：函数有且仅有一个零点，且
【答案】(1)
(2)见解析
【解析】
【分析】(1)根据函数的单调性即可求解；(2)根据零点的存在性定理确定，从而得到，根据在单调递减，可得，再证明，即可证明求解.
【小问1详解】
因为，所以在[2，3]单调递增，
所以解得，
【小问2详解】
因为，所以，
则在没有零点，
由(1)可得在单调递增，
，
所以函数有且仅有一个零点，且，所以，
则有，
所以，
因为在单调递减，所以，
当时，，所以，
所以，即，
因为在单调递增，所以，
所以，即，
所以