2022-2023学年重庆市育才中学校高一上学期期中数学试题含解析

2022-2023学年重庆市育才中学校高一上学期期中数学试题

一、单选题

1．已知集合，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由补集和交集的定义即可得出答案.

【详解】因为集合，，，

所以=，

所以.

故选：C.

2．已知命题：，，则为（    ）.

A．， B．，

C．， D．，

【答案】B

【分析】根据存在性命题的否定直接求解.

【详解】由存在性命题的否定知，

：，的否定为：，，

故选：B

3．设，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义判断作答.

【详解】，则当时，必有，

反之当时，不一定成立，如，满足，而不满足，

所以“”是“”的充分不必要条件.

故选：A

4．已知，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】将的指数化为与，指数相同，再结合对应幂函数单调性即可判断大小.

【详解】解：，，，

函数在上单调递增，且，

，即.

故选：D.

5．已知函数的定义域为，则函数的定义域是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】利用抽象函数的定义域以及具体函数的定义域的发法求解.

【详解】由条件可知，且，解得:且，

所以函数的定义域.

故选：D

6．若，则的最小值为（    ）

A．2 B．4 C．5 D．6

【答案】B

【分析】对变形后，利用基本不等式进行求解最小值.

【详解】因为，所以，

由基本不等式得，

当且仅当，即时，等号成立，

故的最小值为4.

故选：B

7．定义集合，若，，且集合有3个元素，则由实数所有取值组成的集合的非空真子集的个数为（    ）

A．2 B．6 C．14 D．15

【答案】B

【分析】根据集合的新定义运算，再由集合有3个元素确定出n的取值集合，求解即可.

【详解】因为，，，

所以，又集合有3个元素，

当时，即时，满足题意，

当时，即，（舍去）时，，不符合题意，

当时，即时，满足题意，

当时，即，（舍去）时，，不符合题意.

综上，，故所构成集合的非空真子集的个数为.

故选：B

8．已知函数，且对于，，都满足，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由题意知分段函数为减函数，根据指数函数的单调性及一次函数的单调性列出不等式组求解即可.

【详解】因为对于，，都满足，

所以分段函数在上单调递减，

故每段函数为减函数，应满足，解得，

同时在在上单调递减，还需满足，解得或，

所以.

故选：C

二、多选题

9．下列命题为真命题的是（    ）

A．若，则 B．若，，则

C．若，则 D．若，，则

【答案】ABD

【分析】根据不等式的性质，判断选项.

【详解】A.，则，，则，故A正确；

B.若，，则，故B正确；

C.当，，，满足，但，故C错误；

D. 若，，不等式两边同时乘以，不等号改变，即，故D正确.

故选：ABD

10．下列选项中正确的是（    ）

A． B． C．

D．

【答案】BC

【分析】根据空集的概念以及元素和集合的关系，逐项分析判断即可得解.

【详解】对A，空集没有任何元素，故A错误；

对B，空集是任何集合的子集，故B正确；

对C，方程无解，故C正确；

对D，由元素构成的集合并不是空集，故D错误.

故选：BC

11．下列各组函数是同一函数的是（    ）

A．和 B．和

C．和 D．和

【答案】AD

【分析】根据两函数相等的三要素一一判断即可.

【详解】对于A, 的定义域为,

的定义域为,

且两个函数的对应关系相同,所以是同一函数,故A正确;

对于B, 的定义域为,

的定义域为,

所以不是同一函数,故B错误;

对于C，

与对应关系不相同,故C错误;

且定义域为,

定义域为,所以两个函数是同一函数,故D正确.

故选:AD.

12．已知函数，且，则下列说法正确的是（    ）

A．函数的单增区间是

B．函数在定义域上有最小值为0，无最大值

C．若方程有三个不等实根，则实数的取值范围是

D．设函数，若方程有四个不等实根，则实数的取值范围是

【答案】BCD

【分析】先求出，然后研究函数的单调性和值域，从而可判断ABC的正误，利用换元法可求参数的取值范围，从而可判断D的正误.

【详解】因为时，，故，故，

故.

因为，，故函数在上不单调，故A错误.

当时，；当时，；

当时，，

因为，故，故，

故的值域为，故，故B正确.

方程即为或，

整理得到：或，

因为方程有三个不同的实数根，故且，

故，故C正确.

设任意的，则，

因为，，，，

故即，

故在上为增函数，同理可证在上为减函数，

又当时，恒成立，故的图象如图所示：

令，考虑的解即的解，

因为方程有四个不等实根，故必有解，

设解为，

因为方程有四个不等实根，故，

故即，

故D正确，

故选：BCD.

【点睛】思路点睛：对于分段函数的性质的研究，应该根据各段函数形式结合基本初等函数的性质来研究，对于复合方程的解的讨论，应该根据内外方程对应的函数的性质来处理.

三、填空题

13．幂函数在上单调递减，则实数的取值范围为__________.

【答案】

【分析】根据幂函数的性质，列式求解.

【详解】因为幂函数在上单调递减，所以，得.

故答案为：

14．已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集为__________.

【答案】或}##

【分析】首先根据不等式的解集求，再求解一元二次不等式的解集.

【详解】因为的不等式的解集为，所以，

解得：，，

所以，，解得：或,

所以不等式的解集是或}.

故答案为：或}

15．已知函数的最大值为M，最小值为N，且，则实数t的值为__________.

【答案】6

【分析】首先将函数中的一部分设为，再利用函数是奇函数，发现函数最大值与最小值的关系，即可求解.

【详解】设函数是奇函数，所以的最大值和最小值互为相反数，

所以，得.

故答案为：

16．已知，，是正实数，且，则最小值为__________.

【答案】

【分析】首先变形为，再根据，变形为，展开后，利用基本不等式求最小值，最后再用基本不等式求最小值.

【详解】由题，，

其中

，

当且仅当，即时取等，

故

，

当且仅当时，即时取等.

故答案为：

四、解答题

17．设，，.

(1)求；

(2)求.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）计算，，再计算交集得到答案.

（2）计算，再计算并集得到答案.

【详解】（1）由，得，解得，

所以，

由，得，解得，所以，

所以.

（2），所以，

所以.

18．已知命题“，都有不等式恒成立”是真命题.

(1)求由实数的所有取值组成的集合；

(2)设，若，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】(1)根据根据一元二次不等式恒成立得到对应判别式小于零，解之即可求解；

(2)根据集合的运算推导出，然后根据集合的包含关系进行求解即可.

【详解】（1）因为，都有不等式恒成立，

所以，解得，

所以由实数的所有取值组成的集合为，

（2）因为，所以，下面分类讨论：

①若，即时，显然成立；

②若，即时，由，有，故，

综上，实数的取值范围为.

19．为了加强“疫情防控”，并能更高效地处理校园内的疫情突发情况，重庆市育才中学校决定在学校门口右侧搭建一间高为3米，底面面积为20平方米的长方体形状的临时隔离室，设临时隔离室的左右两侧的地面长度均为米.现就该项目对外进行公开招标，其中甲公司给出的报价细目为：临时隔离室的左右两侧墙面报价为每平方米200元，前后两侧墙面报价为每平方米250元，屋顶总报价为3400元；而乙公司则直接给出了工程的整体报价关于的函数关系为.

(1)设公司甲整体报价为元，试求关于的函数解析式；

(2)若采用最低价中标规则，哪家公司能竞标成功？请说明理由.

【答案】(1)

(2)公司乙能竞标成功，理由见解析

【分析】（1）由已知临时隔离室的左右两侧的长度均为米，则隔离室前后面的地面长度为米，根据题意即可列出解析式；

（2）根据函数解析式，利用基本不等式和二次函数性质，即可求出最值，在根据最值比较大小即可求出竞标成功的公司.

【详解】（1）解：因临时隔离室的左右两侧的长度均为米，则隔离室前后面的地面长度为米，

于是得，，

所以y关于x的函数解析式是.

（2）解：由（1）知，对于公司甲，，当且仅当，即时取“”，则当左右两侧墙的长度为5米时，公司甲的最低报价为15400元，

对于公司乙，函数在上单调递增，在上单调递减，

即乙公司最高报价为15380元，

因，因此，无论取何值，公司甲的报价都比公司乙的高，所以公司乙能竞标成功.

20．已知函数

(1)当时，求关于的不等式的解集；

(2)当时，求关于的不等式的解集.

【答案】(1)

(2)答案见解析

【分析】（1）代入，再解分式不等式；

（2）首先分式不等式变形为，再讨论，求解一元二次不等式的解集.

【详解】（1）

，

当时，不等式等价于，则不等式解集；

（2）当时，不等式等价于

①当时，令一元二次方程的两个根为，，

因为，所以恒有，则不等式解集或；

②当时，令一元二次方程的两个根为，，

1）当，即时，不等式解集；

2）当，即时，不等式解集；

3）当，即时，不等式解集.

综上所述：当时，不等式解集；

当时，不等式解集；

当时，不等式解集

当时，不等式解集或；

21．已知

(1)求函数的解析式；

(2)若是定义在上的奇函数，且时，，求函数的解析式；

(3)求关于的不等式.

【答案】(1)

(2)，

(3)或

【分析】（1）利用凑配法，求函数的解析式；

（2）设，则，再利用函数的奇函数，求函数的解析式；

（3）首先不等式变形为，再利用函数单调递减，解不等式.

【详解】（1），令，，

∴，即函数的解析式为：.

（2）当时，，且为上的奇函数.

∴当时，，

∴函数的解析式为：，

（3）由，且在上单调递减

∴，∴

∴且

∴不等式的解集为或.

22．已知定义域为，对任意，都有.当时，，且.

(1)求的值；

(2)判断函数单调性，并证明；

(3)若，都有恒成立，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)单调递减函数，证明见解析

(3)

【分析】（1）令，求得，再令，，即可求得；

（2）对任意，利用单调性定义及题目条件，判断的正负，即可得出答案；

（3）可根据题意将题目转化为，

∴，，恒成立，

令，转化为，，恒成立，

结合单调性，转化为使得成立，即，

再结合二次函数对称轴分析，利用最值即可求得的取值范围.

【详解】（1）令，则，∴，

令，，则，又由，∴.

（2）设，

则，

又∵，∴，

∴，∴，

∴是上的单调递减函数.

（3）若，都有恒成立，

即，

∴，，恒成立，

令，，则，

∴，，恒成立，

由为上的单减函数，

∴，，恒成立，

即使得成立，即，

令，则即可，

①当时，在上单调递增，∴，∴；

②当时，在上单调递减，∴，∴；

③当时，∴，∴，∴.

综上所述：实数的取值范围为.

【点睛】方法点睛：利用定义法判断函数的单调性的一般步骤：

（1）在已知区间上任取，；

（2）作差；

（3）判断的符号（往往先分解因式，再判断各因式的符号）；

（4）得出单调性结论.

23．已知，，是正实数，证明：

【答案】证明见解析

【分析】由均值不等式即可证明.

【详解】证明：由均值不等式可知：

,

则,

所以

所以

当且仅当时取等，

又可利用均值不等式构造：

当且仅当，即时取等，即，，时取等.

所以

.