四川省仁寿第一中学校南校区2024-2025学年高三上学期11月阶段性测试数学试题

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1.已知i为虚数单位，复数满足z(2＋i)＝3＋4i，记为z的共轭复数，||＝( )
A．EQ \F(\R(,29),3) B．EQ \F(5\R(,5),3) C．EQ \F(\R(,29),5) D．eq \r(,5)
【解析】法一：由题意可知，z＝EQ \F(3＋4i,2＋i)＝EQ \F((3＋4i)(2－i),(2＋i)(2－i))＝2＋i，所以＝2－i，所以||＝EQ \R(,2\S(2)＋1)＝eq \r(,5)，故选D.
法二：故选D.
2.（必修一P43T8）下列不等式中成立的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】B
【解析】A. 若，则错误，如时，，所以A错误；
B. 若，则，所以该选项正确；
C. 若，则，所以该选项错误；
D. 若，则，所以该选项错误.
故选：B
3.“m＝5”是“双曲线C：的虚轴长为2”的（ ）
A．充分但不必要条件B．必要但不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【解析】①当m＝5时，双曲线为，∴b＝1，∴虚轴长为2b＝2，∴充分性成立，②看必要性：法一：若双曲线为虚轴长为2，
当焦点在x轴上时，则，∴m＝5，
当焦点在y轴上时，则，∴m＝﹣1，
∴m＝5或m＝﹣1，∴必要性不成立，
∴m＝5是双曲线虚轴长为2的充分不必要条件．
法二：若4-m=-1,则m=5, 双曲线为能推出m=5,
若-m=1，则m=-1,双曲线为不能推出m=5,故必要性不满足故选：A．
4.(必修一P254T12改编)已知正项等差数列满足，，则值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为，所以，即，
所以，.又，所以，
解得，故.故选：C.
5.函数f(x)=sin2x的图象向右平移个长度单位得到函数 QUOTE g(x)=sin(2x−π3) 的图象，若函数 QUOTE g(x) 在区间(0,a)上单调递增，则a的最大值为( )
A. B. C. D.
【解析】函数f(x)=sin2x的图象向右平移 QUOTE π6 个单位即可得到 QUOTE g(x) 的图象，
法一：当0若 QUOTE g(x) 在区间(0,a)上单调递增，则 QUOTE 2a−π3≤π2 ，得 QUOTE 0即a的最大值为 QUOTE 5π12 ，故选B
法二：函数单调递增 QUOTE g(x) 在区间为
包含0的区间为，k=0时，故选B。
6.(必修二P24T21)已知的外接圆圆心为，且，，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为，所以是中点，则是圆直径，，
又，所以是等边三角形，，
设，则，作于，则，所以，
即为向量在向量上的投影向量，．故选：A．
7.(源于必修一P161T9)习近平总书记在《生物多样性公约》第十五次缔约方大会领导人峰会视频讲话中提出：“绿水青山就是金山银山。良好生态环境既是自然财富，也是经济财富，关系经济社会发展潜力和后劲．”某工厂对产生的废气经过过滤后排放，已知过滤过程中的污染物的残留数量（单位：毫克/升）与过滤时间（单位：小时）之间的函数关系为，其中为常数，，为原污染物数量．该工厂某次过滤废气时，若前4个小时废气中的污染物恰好被过滤掉90%，那么再继续过滤2小时，发气中污染物的残留量约为原污染物的（ ）
A．5%B．3%C．2%D．1%
【答案】B
【解析】由题可得，前4小时，废气中的污染物恰好被过滤掉，
故由得，所以，
法一：，
由再过滤2小时，即一共6小时，空气中剩余污染物为
，故污染物所剩比率约为，故选B．
法二：由再过滤2小时，即一共6小时，空气中剩余污染物为
，故污染物所剩比率约为，故选B．
8.(选择性必修一P99T13改编)曲线在处的切线为， 圆C：上恰好存在2个点，到切线的距离为1，则R的一个取值可能为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】法一： ，所以方程为，圆心C到切线的距离
当1【速解】R当R=d+1=3时，圆C上存在1个点，
当R=d-1=1时，圆C上存在3个点，
当1=d-1二、多选题 本题共3小题，每小题6分，共18分.
9.(源于选修二P25T7+P20)已知公差为d的等差数列的前n项和为，则下列说法正确的是（ ）
A. 一定是等差数列B. 是关于n的二次函数
C. 不可能是等差数列D. “”是“”的充要条件
答案AD
【解析】法一：由知，，∴A正确；
当时，不是n的二次函数，故B不正确；当时，是常数列，是等差数列，故C不正确；
，故D正确，故选D.
法二：设
当A=0时，B错误；一定是等差数列，A错误；
，当时，，是等差数列，故C不正确；
故D正确，故选AD.
10.(源于选修三P71T5+P76+P81探究)在美国重压之下，中国芯片异军突起，当前我们国家生产的最小芯片制程是7纳米.某芯片生产公司生产的芯片的优秀率为0.8，现从生产流水线上随机抽取5件，其中优秀产品的件数为.另一随机变量，则（ ）
A. B.随的增大先增大后减小
C. D.
【答案】CD
【解析】由题意，则，
所以，故选项A错误；
，则，设当时概率最大，
则有，即，
解得，由，所以当时概率最大，
则，
即随的增大先增大后减小，故B，D选项正确；
又，则，，
所以；故选项C错误；
，
又，所以，故选项D正确.
故选：BD
11.(源于必修二P140例4+P147例2)在棱长为1的正方体中，点P在线段上运动，有下列四个结论正确的是（ ）
A. B.
C.三棱锥的体积是
D.异面直线所成角的取值范围是
【解析】对A由正方体的性质与面面平行的判定定理可得：平面A1BC1∥平面AD1C，
∴A1P∥平面AB1D1，A正确；
对B，法一（秒杀解）.B正确．
法二：由正方体知，，，则，，同理，， B正确．
对C，法一（结论）平面A1BC1∥平面AD1C，且三等分又且，则P到
法二：等体积法
故C正确；
= 4 \* GB3 ④∵AD1∥BC1，A1P与BC1所成角为异面直线所成角，连接A1C1，A1B，可得△A1BC1为等边三角形，此时A1P与BC1所成角最小，可得A1P与BC1所成角的范围是，D不正确．
故选ABC。
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.(必修一P49T5)已知，求证：的最大值是 .
【答案】
【解析】，由基本不等式可得，
当且仅当时，即当时，等号成立，
因此，的最大值是.
13.(选修三P12T8+P38T5(2)改编)将3个班分别从2个景点中选择一处游览，共有种不同的选法，则在的展开式中，含项的系数为______．
【答案】70
【解析】由题意得：
在展开式中，，当即时，该项为,故答案为：70
（选择性必修二P32例5+P25T8整合）已知等比数列是公比为2的数列，且，数列满足，数列与中的所有项分别构成集合与．定义集合且.将集合的所有元素按从小到大依次排列构成一个新数列，则数列的前20项和为 .
【答案】3066
【解析】（1）因为数列为等比数列，且，所以.
， ，
即是数列中的第项．
设数列的前n项和为，数列的前n项和为，
因为
所以数列的前50项是由数列的前56项去掉数列的前6项后构成的，
所以．
四､解答题：本题共5小题，共77分.
15.（必修二 P54T22略改）已知，，分别为△三个内角，，的对边，
（1）求角
（2）若，△的面积为，判断△的形状。
【解析】（1）由正弦定理知：，而，
∴，即，又，
∴，即，又，
∴，则.
（2）由（1）及题设，，即，
将代入，整理得：，则，即，故.
△为正三角形
16.（选择性必修一P37例8改编）如图，在直三棱柱中，，，，为的中点，点，分别在棱，上，，.
(1)求点到直线的距离
(2)求平面与平面夹角的余弦值.
【解析】（1）如图，连接，由题设，，，，
由直棱柱性质及，在中，在中，
在中，在中，
所以在△中，，则，
所以到直线的距离.
（2）以为原点，，，所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
易知：，，，则，．
因为平面，所以平面的一个法向量为．
设平面的法向量为，则，取，则，所以，
即平面与平面的夹角的余弦值为．
17.（选择性必修二P56T11、T12改编）已知数列，数列的前n项和为，且．
（1）令，求数列的前n项和．
（2）在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在3项，，，（其中m，k，p成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项，若不存在，请说明理由．
【解析】（1）数列为等差数列，公差为2,
所以数列的通项公式.
①
②
②
当n=1时，
故是首项为2,公比为3的等比数列
所以数列的通项公式.
因为
所以
化简得：.
（2）由（1）知，.所以.
所以.
设数列中存在3项，，，（其中m，k，p成等差数列）成等比数列.
则，所以，即.
又因为m，k，p成等差数列,所以所以
化简得所以
又，所以与已知矛盾.
所以在数列中不存在3项，，成等比数列.
18.为了解学生中午的用餐方式（在食堂就餐或点外卖）与最近食堂间的距离的关系，某大学于某日中午随机调查了2000名学生，获得了下面的频率分布表（不完整），并且由该频率分布表，可估计学生与最近食堂间的平均距离为（同一组数据以该组数据所在区间的中点值作为代表）.
（1）求出的值并补全频率分布表；
（2）根据频率分布表补全样本容量为的列联表（如下表），并根据小概率值的独立性检验，能否认为学生中午的用餐方式与学生距最近食堂的远近有关（当学生与最近食堂间的距离不超过时，认为较近，否则认为较远）；
根据频率分布表列出如下的列联表：
（3）一般情况下，学生更愿意去饭菜更美味的食堂就餐. 该校距李明较近的有甲、乙两家食堂，且他每天中午都选择食堂甲或乙就餐. 记他选择去甲食堂就餐为事件A，他认为甲食堂的饭菜比乙食堂的美味为事件D，且D、A均为随机事件，证明：.
附：，其中.
18.（17分）解：（1）组的频率为，
估计学生与最近食堂间的平均距离
，
解得， ……………………3分
故可补全频率分布表如下：
……………………………………………………7分
（2）结合样本容量为的频率分布表可列出列联表如下：
………9分
零假设：学生中午的用餐情况与学生距最近食堂的远近无关.
注意到. …………11分
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，
即可以认为学生中午的用餐方式与学生距最近食堂的远近有关. ………………………12分
（3）由题意得，，
结合，.
结合条件概率公式知，
即. ……………14分
，
即成立. ………………17分
19.已知函数.
(1)当时，证明：是增函数.
(2)若恒成立，求的取值范围.
(3)证明：（，）.
【解析】（1）当时，，定义域为，
则.
令，则在上恒成立，
则在上单调递增，
则，故在上恒成立，是增函数.
（2）当时，等价于，
令，则，
令，则，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，所以.
所以当时，，单调递增，当时，，单调递减，
则，所以，即，故的取值范围为.
（3）证明：由（2）可知，当时，有，则，
所以，…，，
故.
学生与最近食堂间的距离
合计
在食堂就餐
0.15
0.10
0.00
0.50
点外卖
0.20
0.00
0.50
合计
0.20
0.15
0.00
1.00
学生距最近食堂较近
学生距最近食堂较远
合计
在食堂就餐
点外卖
合计
0.10
0.010
0.001
2.706
6.635
10.828
学生与最近食堂间的距离
合计
在食堂就餐
0.15
0.20
0.10
0.05
0.00
0.50
点外卖
0.05
0.20
0.15
0.10
0.00
0.50
合计
0.20
0.40
0.25
0.15
0.00
1.00
学生距最近食堂较近
学生距最近食较堂远
合计
在食堂就餐
700
300
1000
点外卖
500
500
1000
合计
1200
800
2000