四川省仁寿第一中学校南校区2024届高三上学期模拟（一）理科数学试题（解析版）

仁寿一中南校区2024届高三数学模拟（一）

理科数学试题

一､选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 设集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据对数函数的单调性求出集合，再根据交集的运算即可得出答案.

【详解】解：，

所以.

故选：C.

2. 若复数z满足，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据复数的除法运算，化简可得，然后根据共轭复数的概念，即可得出答案.

【详解】由已知可得，，从而.

故选：B.

3. 若，则下列结论正确的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】利用不等式的性质判断B，C，利用对数函数和指数函数的性质判断A，D.

【详解】因为函数在上单调递增，，所以，A错误，

因为，由不等式性质可得，B错误，

因为，所以，，所以，故，C错误，

因为函数在上单调递减，，所以，∴D正确，

故选：D.

4. 在中，点为边上一点，，若，则（    ）

A. 3 B. 2 C. 1 D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据向量的线性运算法则求解即可.

【详解】由得，

所以，

所以，即，

故选：C.

5. 已知，，则（    ）

A.  B. 1 C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据，利用求出，根据即可求解.

【详解】∵，

所以，
由，
所以.

故选：B.

6. 已知是等差数列的前项和，若，则（    ）

A. 2 B. 3 C. 4 D. 6

【答案】B

【解析】

【分析】利用等差数列的求和公式，结合等差中项的性质，解得，根据等差数列整理所求代数式，可得答案.

【详解】由题意，，解得，设等差数列的公差为，

则.

故选：B.

7. 通常人们用震级来描述地震的大小，地震震级是对地震本身大小的相对量度，用表示，强制性国家标准GB17740-1999《地震震级的规定》规定了我国地震震级的计算和使用要求，即通过地震面波质点运动最大值进行测定，计算公式如下（其中为震中距），已知某次某地发生了级地震，测得地震面波质点运动最大值为，则震中距大约为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】由题意，，代入式子可得，结合选项估计，即得解

【详解】由题意，

代入

可得

因此震中距是接近100但小于100的数

结合选项，震中距大约为98

故选：C

8. 如图，在直三棱柱中，面，，则直线与直线夹角的余弦值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】以为原点，所在的直线为轴建立空间直角坐标系，设，求出，，利用向量的夹角公式可得答案.

【详解】在直三棱柱中，平面，平面，

所以，，

平面，平面，所以，

所以互相垂直，

以为原点，分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系，

设，

则，

可得，，

所以.

所以直线与直线夹角的余弦值为.

故选：C.

9. 若函数（）在区间上恰有唯一极值点，则的取值范围为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据余弦函数的图象特征，根据整体法即可列出不等式满足的关系进行求解.

【详解】当，，

由于（）在区间上恰有唯一极值点，故满足，解得，

故选：C

10. 已知，，，则，，的大小关系为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据指数的运算性质化简，利用对数的单调性判断的范围，即可比较，，的大小关系得出正确选项.

【详解】因为，

，

因为即，，

所以，

又因为，

所以，

故选：B.

11. 已知直线：既是曲线的切线，又是曲线的切线，则（    ）

A. 0 B.  C. 0或 D. 或

【答案】D

【解析】

【分析】本题主要求切线方程，设两个曲线方程的切点，由两条切线均为，通过等量关系可得到的取值.

【详解】,,，设切点分别为，

则曲线的切线方程为：，化简得，，

曲线的切线方程为：，化简得，，，故，

解得e或.

当e，切线方程为，故.

当，切线方程为，故，则.

故的取值为或.

故选：D

12. 若函数的定义域为，且偶函数，关于点成中心对称，则下列说法正确的个数为（    ）

①的一个周期为2                ②

③的一条对称轴为            ④

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

【答案】C

【解析】

【分析】由题意，根据函数的对称性，可得，，且，根据函数周期性的定义，可判①的正误；根据周期性的应用，可判②的正误；根据函数的轴对称性的性质，可判③的正误；根据函数的周期性，进行分组求和，根据函数的对称性，可得，，可判④的正误.

【详解】因为偶函数，所以，则，即函数关于直线成轴对称，

因为函数的图象是由函数的图象向左平移个单位，所以函数关于点成中心对称，则，且，

对于①，，

，则函数的周期，故①错误；

对于②，，故②正确；

对于③，，故③正确；

对于④，，则，

，则，

由，则，故④正确.

故选：C

二､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡上.

13. 已知等比数列的各项均为正数，设是数列的前项和，且，，则______．

【答案】

【解析】

【分析】利用等比数列通项公式，结合，可求得公比，进而得到，利用等比数列求和公式可求得结果.

【详解】设等比数列的公比为，

，，又，，，

.

故答案为：.

14. 已知是椭圆上的点，、分别是椭圆的左、右焦点，若，则的面积为______．

【答案】##

【解析】

【分析】由向量的夹角公式可得，利用余弦定理、椭圆定义可得，再由三角形面积公式可得答案.

【详解】因为，，所以，

若，因为，

则可得，

由余弦定理可得

，

所以，

则.

故答案为：.

15. 已知，则______．

【答案】

【解析】

【分析】利用二倍角公式和同角三角函数的关系进行求解.

【详解】根据二倍角公式，，

，于是，

即.

故答案为：

16. 已知函数，若恒成立，则的取值范围为______．

【答案】

【解析】

【分析】在同一坐标系下画出，的图像，数形结合进行分析.

【详解】，则，故，，递增；，，递减，

由，解得是唯一零点，又，在坐标系中画出图像，

又是经过定点的直线，

如图，显然时不成立，时，显然成立，

时，如图和相切于时，由于，

根据导数的几何意义，，结合图像可知，时，.

故答案为：

三､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

（一）必考题：共60分.

17. 在△ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，已知，且．

（1）求角B的大小；

（2）若，求△ABC的面积S．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用正弦定理边化角(的正弦)，进而利用同角三角函数的关系得到，再根据，结合两角和的正切公式得到关于的方程，求得的值，同时注意根据已知条件判定角为锐角，得到角的值；

（2）利用同角三角函数的关系，求得三个内角的正弦值，进而利用正弦定理求得三角形另外两边的长，利用三角形面积公式计算即得S．

小问1详解】

∵，∴,

∴，即,

又∵

∴,解得或，

又∵，∴角为钝角，∴角为锐角，∴，∴；

小问2详解】

由（1）知，，，及已知条件,

∴,，，

又∵，∴，，

∴.

18. 2022年北京冬奥会即第24届冬季奥林匹克运动会在2022年2月4日至2月20日在北京和张家口举行.某研究机构为了解大学生对冰壶运动是否有兴趣，从某大学随机抽取男生、女生各200人，对冰壶运动有兴趣的人数占总数的，女生中有80人对冰壶运动没有兴趣.

（1）完成上面2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为对冰壶运动是否有兴趣与性别有关？

（2）按性别用分层抽样的方法从对冰壶运动有兴趣的学生中抽取9人，若从这9人中随机选出2人作为冰壶运动的宣传员，设X表示选出的2人中女生的人数，求X的分布列和数学期望.

附：.

【答案】（1）列联表见解析，有的把握认为对冰壶运动是否有兴趣与性别有关．   

（2）分布列见解析，.

【解析】

【分析】（1）根据题干所给数据求出冰壶运动有兴趣的男女人数，即可得到列联表，再计算出卡方，即可判断；

（2）首先利用分层抽样求出男、女抽取的人数，依题意的所有可能取值为，，，求出所对应的概率，即可得到分布列与数学期望；

【小问1详解】

解：依题意对冰壶运动有兴趣的人数为人，

则女生中对冰壶运动有兴趣的有人，

男生中对冰壶运动有兴趣的有人，

所以男生中对冰壶运动无兴趣的有人，

所以列联表：

，

有的把握认为对冰壶运动是否有兴趣与性别有关．

【小问2详解】

解：从对冰壶运动有兴趣的学生中抽取人，抽到的男生人数、女生人数分别为：（人，（人，

则的所有可能取值为，，，

所以，

，

，

故的分布列是：

故．

19. 如图，在四面体中，均为等边三角形，，点为的中点，．

（1）证明：直线平面；

（2）设点在上，，求二面角的余弦值．

【答案】（1）证明见解析；   

（2）

【解析】

【分析】（1）证明为以为底边的等腰三角形，进而证明，再根据判定定理即可证明结论；

（2）以的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，利用坐标法求解即可.

【小问1详解】

证明：因为均为等边三角形，

所以

因为点为的中点，

所以，

所以，

所以，为以为底边的等腰三角形，

因为，

所以，即，

因为平面，

所以平面.

【小问2详解】

解：由（1）知，

所以，以的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，如图，

所以，

因为，所以，

所以，，

设平面一个法向量为，

则，即，令得，

因为平面的一个法向量为，

所以，，

所以，二面角的余弦值为.

20. 已知椭圆C：的离心率为，且过点.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）已知O为坐标原点，A，B，P为椭圆C上不同的三点，若.试问：△ABP的面积是否为定值？如果是，求出这个定值，如果不是，请说明理由.

【答案】（1）   

（2）为定值，

【解析】

【分析】（1）根据题意列式求解，即可得结果；

（2）根据题意分析可得，分类讨论直线的斜率是否存在，根据点在椭圆上，利用韦达定理可得，结合弦长公式和点到直线的距离运算求解.

【小问1详解】

因为椭圆的离心率为，且过点，则，解得，

所以椭圆方程为.

【小问2详解】

因为，则四边形为平行四边形，

所以.

①若直线的斜率不存在，此时点为长轴顶点，不妨取，

设，则，解得，

则；

②若直线斜率存在时，设方程：，

联立方程组得，消去可得：，

由，整理得，

则，

可得，

所以.

因为点在椭圆上，则，

所以，满足，

则，

又因为点到直线的距离，

所以；

综上所述：面积为定值，且定值为.

【点睛】方法点睛：求解定值问题的三个步骤

（1）由特例得出一个值，此值一般就是定值；

（2）证明定值，有时可直接证明定值，有时将问题转化为代数式，可证明该代数式与参数(某些变量)无关；也可令系数等于零，得出定值；

（3）得出结论．

21. 已知函数，当时，．

（1）求的取值范围；

（2）求证：（）．

【答案】（1）   

（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）由导数法对、分类讨论是否满足即可；

（2）由（1）结论，当时，恒成立，即可得，即可列项得，

构造，由导数法证，则有，即，最后结合对数运算性质即可证

【小问1详解】

由题意得．

令，则．

∴函数在区间上单调递增，

则函数的最小值为．

①当，即时，可得，

∴函数在上单调递增．

又，∴恒成立．

②当，即时，函数的最小值为<0，

且存在，当时，．

又，∴当时，，

这与时，相矛盾．  

综上，实数a的取值范围是．

【小问2详解】

由（1） 得当时，不等式恒成立，

∴．

令，得． 

∴． 

令，则，

时，，为上的增函数；

时，，为上的减函数；

∴，则．

∴，  

∴

=

<=

．

∴．

【点睛】方法点睛：证明数列累乘不等式，可通过不等式两边取对数，转换成累加不等式的证明，接着一般可结合题中结论，通过对数列通项放缩，达到证明目的

（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.

[选修4—4：坐标系与参数方程]

22. 在平面直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为其中t为参数，，曲线的参数方程为（为参数）．以坐标原点O为极点，x轴非负半轴为极轴，建立极坐标系．

（1）求曲线，的极坐标方程；

（2）若，曲线，交于M，N两点，求的值．

【答案】（1），   

（2）

【解析】

【分析】（1）消去参数，可得曲线的直角坐标方程，再利用极坐标与直角坐标的互化公式可求出曲线的极坐标方程，同理可求出曲线的极坐标方程，

（2）将代入曲线极坐标方程，化简后利用根与系数的关系，再结合极坐标的几何意义可求得结果

【小问1详解】

依题意，曲线的普通方程为，

即曲线的极坐标方程为．

曲线的普通方程为，即，

故曲线的极坐标方程为．

【小问2详解】

由，得，

将代入曲线的极坐标方程中，

可得，

设上述方程的两根分别是，，则，，

故．

[选修4—5：不等式选讲]

23. 已知函数的最大值为.

（1）求的值；

（2）若正数，，满足，求证：.

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【解析】

【分析】（1）利用绝对值三角不等式求出的最大值，让最大值等于即可得的值；

（2）由（1）知，，由利用基本不等式即可求证.

【详解】（1）由题意得，

因为函数的最大值为，所以，即.

因为，所以；

（2）由（1）知，，

因为，，，

所以，

当且仅当时，即，等号成立，

即，所以，

当且仅当时，等号成立.