湖南省株洲市第二中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷（Word版附解析）

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用列举法表示集合A，再利用并集的定义求解即得．
【详解】依题意，集合，而，所以．
故选：D
2. “”是“”的（ ）
A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】由等价，再结合充分条件、必要条件的概念即可判断．
【详解】由可得，
因为是的真子集，所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：A.
3. 已知的定义域为则的定义域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】应用抽象函数定义域求解即可.
【详解】函数的定义域为，在中，由，得，
所以的定义域为.
故选：A
4. 已知，则的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据指数函数性质以及中间量“1”即可比较大小.
【详解】根据指数函数性质知，即，
又因为，则.
故选：D
5. 已知，，且，则的最小值为（ ）
A. 2B. 4C. 6D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】利用均值不等式结合指数幂的运算即可求得答案.
【详解】因为，所以，
因为，，所以，
当且仅当，即时，取等号，故的最小值为6，
故选：C.
6. 放射性核素锶89会按某个衰减率衰减，设初始质量为，质量与时间（单位：天）的函数关系式为（其中为常数），若锶89的半衰期（质量衰减一半所用时间）约为50天，那么质量为的锶89经过30天衰减后质量约变为（ ）（参考数据：）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据时，代入函数关系式中，可得的值，进而代入求解即可．
【详解】由题意，锶89半衰期（质量衰减一半所用的时间）所用时间为50天，
即，则，
所以质量为的锶89经过30天衰减后，
质量大约为；
故选：B．
7. 设函数的最大值为，最小值为，则（ ）
A 1B. 2C. 0D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】构造函数，即，可证为奇函数，结合奇函数的性质，可求得结果．
【详解】因为，
设，，且，
可知为奇函数，可得，
又因为，则，，
所以，即．
故选：B．
8. 已知定义在R上的函数满足：，都有，且对任意，，都有，若，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】令，得到，可得图象关于对称，且在上单调递减，据此可得答案．
【详解】令，则，因，
则，则图象关于对称；
又对任意，，都有，
则在上单调递减，又图象关于对称，
则在上单调递增，在上单调递减．
，故和2的距离大于等于和2的距离，
即，
解得.
故选：A
二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
9. 下列四个结论中正确的是（ ）
A. ，
B. 命题“，”的否定是“，”
C. “”是“”的充分不必要条件
D. “”的充要条件是“”
【答案】ABD
【解析】
【分析】A项由二元方程有解可得；B项由全称量词命题的否定为存在量词命题可得；CD项通过分析推出关系是否成立可判断.
详解】对于A，由，
解得，，
即，，，故A正确；
对于B，根据全称量词命题的否定为存在量词命题可知，
命题“，”的否定为：
“，”，故B正确；
对于C，若，则不一定成立，
令，满足，但，
即；
反之，若，由，可得，
即.
所以“”是“”的必要不充分条件，故C错误；
对于D，由于是上的增函数，所以.
所以“”的充要条件是“”，故D正确．
故选：ABD．
10. 下列命题中正确的是（ ）
A. 任意非零实数a，b，都有
B. 若正数x，y满足，则的最小值为3
C. 当时，的最大值是5
D. 当时，的最小值是2
【答案】BC
【解析】
【分析】举例说明判断A；利用基本不等式“1”的妙用求解判断B，利用基本不等式求出最值判断CD．
【详解】对于A，取，，而，A错误；
对于B，正数x，y满足，
则，
当且仅当时取等号，
所以的最小值为3，故B正确；
对于C，当时，则，当且仅当时取等号，
所以的最大值是5，故C正确；
对于D，当时，，当且仅当时取等号，
所以的最小值是2，故D错误；
故选：BC
11. 已知函数的定义域为，且满足，当时，，则（ ）
A. 是奇函数B. 是增函数
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】求出，令可判断A；不妨设可得，根据是奇函数可判断B；令可得，根据单调性可判断CD.
【详解】对于A，令，则；令，则，
为奇函数，故A正确；
对于B，不妨设，则，
，在为增函数，又是奇函数，
在为增函数，故B正确；
对于CD，令，，则，，
故C错误D正确.
故选：ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知幂函数在上单调递增，则的值为_________．
【答案】2
【解析】
【分析】先根据幂函数定义确定的可取值，再根据单调性确定出的值．
【详解】因为为幂函数，所以，所以，
当时，，在上单调递增，符合；
当时，，在上单调递减，不符合；
综上所述：的值为2.
故答案为：2．
13. 已知函数为奇函数，则等于_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据奇函数求出时的解析式，对照所给解析式得出a，b即可得解．
【详解】设，则，所以，
所以，
又当时，，所以，，故，
故答案为：．
14. 正实数，满足，则的最小值为___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据已知条件得关于的方程，再将平方并替换，最后使用基本不等式求解即可.
【详解】依题意，因为，
所以，
所以，
即
，
当且仅当，即,故取等号，
所以的最小值为.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题主要考查了基本不等式的应用，解题的关键是根据已知条件得关于的方程，再将平方并替换，最后使用基本不等式求解即可.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 计算：
（1）；
（2）已知，，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由指数运算法则，直接计算即可得解．
（2）先根据指数运算法则化简所求式子，然后将已知条件代入，利用换底公式化简计算即可求解．
【小问1详解】
．
【小问2详解】
因为，，
所以
．
16. 记函数的定义域为集合A，函数的定义域为集合，
（1）求和；
（2）若，，且中只有三个整数元素，求实数p的取值范围．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）先分别求出函数、的定义域A、B，再利用交集、并集的定义可求出和．
（2）由，得到A与C的关系，即可求出实数的取值范围．
【小问1详解】
令，解得，
可知函数的定义域为集合；
令，解得，
可知函数的定义域为集合；
可得，所以.
【小问2详解】
因为，可知集合不是集合的子集，
由中只有三个整数元素可得，可知，
又因为，则，解得：，
所以实数p的取值范围为．
17. 某医疗器械公司为了进一步增加市场竞争力，计划改进技术生产某产品．已知生产该产品的年固定成本为200万元，最大产能为100台．每生产台，需另投入成本万元，且，由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完．
（1）写出年利润万元关于年产量台的函数解析式（利润销售收入成本）；
（2）当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）；
（2）70台，最大利润是1760万元.
【解析】
【分析】（1）分、两种情况分别求出函数解析式；
（2）结合二次函数的性质及基本不等式求出各段的最大值，即可得解.
【小问1详解】
由题意可得：当时，，
当时，，
所以．
【小问2详解】
当时，，
所以当时（万元）；
当时，，
当且仅当，即时等号成立，此时万元.
综上可知，该产品的年产量为台时，公司所获利润最大，最大利润是万元.
18. 已知函数是定义在上的奇函数，且．
（1）求m，n的值；
（2）判断在上的单调性，并用定义证明；
（3）设，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围．
【答案】（1），
（2）单调递增，证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）由题可得图象过点结合可得m，n的值；
（2）由单调性证明步骤可证得结论；
（3）由题可得，后讨论结合单调性可得，即可得范围．
【小问1详解】
因为函数是定义在上的奇函数，且，
则，解得．所以函数，
经检验，函数为奇函数，所以，.
【小问2详解】
在上单调递增．证明如下：
设，
则，
其中，，，
则，即，
所以函数在上单调递增.
【小问3详解】
因为对任意的，总存在，使得，则，
因为在上单调递增，可得，
当时，；所以恒成立，符合题意；
当时，在上单调递增，则，
即，解得；
当时，函数在上单调递减，
则，即，解得；
综上所述，实数的取值范围为．
19. 若定义在上的函数满足对任意的区间，存在正整数，使得，则称为上的“阶交汇函数”．对于函数，记，，，…，，其中，2，3，…，并对任意的，记集合，并规定．
（1）若，函数的定义域为，求并判断是否为上的“2阶交汇函数”；
（2）若函数，试比较和的大小；
（3）设，若函数的定义域为，且表达式为：，试证明对任意的区间，存在正整数，使得为上的“阶交汇函数”．
【答案】（1），为上“2阶交汇函数”
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据新定义直接计算；
（2）根据新定义直接求值比较即可；
（3）由函数定义说明的长度不变，然后得出在，，，…，（存在正整数，它们的长度和大于1）中，必然存在正整数，使得，再分析得到对任意的，，进而得到，，从而证明结论成立．
【小问1详解】
因为函数在上单调递增，
所以当时，，所以，
当时，，所以，
因为，
所以为上的“2阶交汇函数”.
【小问2详解】
由，，
则，，，
根据周期性可得，
，，，
根据周期性可得，
所以.
【小问3详解】
证明：对于任意有限的区间，记表示区间的长度，如果一个集合是若干个区间的并集，则等于组成它的所有区间的长度之和，
对于任意的区间，，，
不妨设，，
若，则，，
若，则，，
若，则，，
所以，
对于任意的区间，显然存在正整数，使得，
因此在，，，…，（它们的长度和大于1）中，
必然存在正整数，使得，
因此必存在，使得，
又，则，
则当时，，
当时，，
又，因此对任意的，，
所以，，…，，
这表示，取，
所以对任意的区间，存在正整数，使得，
即对任意的区间，存在正整数，使得为上的“阶交汇函数”．
【点睛】方法点睛：对于函数新定义问题，关键是正确理解新定义，能迅速运用新定义解题，加速理解新定义，在问题（3）的证明中抓住函数的定义域区间“长度”与值域“长度”不变，从而有，然后利用新定义追根溯源得出．