2022-2023学年北师大版九年级下册数学期中复习试卷（含答案）

这是一份2022-2023学年北师大版九年级下册数学期中复习试卷（含答案），共17页。试卷主要包含了计算30的结果是，若，则ab＝等内容，欢迎下载使用。
1．计算30的结果是（ ）
A．0B．1C．3D．
2．一个圆柱和一个正方体按如图所示放置，则其俯视图为（ ）
A．B．
C．D．
3．2019年10月1日上午盛大的国庆阅兵在天安门广场举行，总规模约为15000人．阅兵编59个方（梯）队和联合军乐团，各型飞机160余架、装备580台（套），是近几次阅兵中规模最大的一次．将15000用科学记数法可表示为（ ）
A．1.5×104B．0.15×105C．1.5×105D．15×103
4．已知一组数据6，15，17，13，x的中位数是15，对于数据x的判断，正确的是（ ）
A．x＝13B．x＜15C．x＞15D．x≥15
5．下列算式中，结果一定等于a6的是（ ）
A．a3+a2B．a3•a2C．a8﹣a2D．（a2）3
6．如图，物理课上张明做小孔成像实验，已知蜡烛与成像板之间的距离为36cm，要使烛焰的像A′B′是烛焰AB的2倍，则蜡烛与成像板之间的小孔纸板应放在离蜡烛（ ）cm的地方．
A．12B．24C．18D．9
7．如图，在△ABC中，AD是边BC上的中线，E是AD的中点，过点E作EF⊥BC于点F．若BC＝10，△ABD的面积为24，则EF的长为（ ）
A．1.2B．2.4C．3.6D．4.8
8．若，则ab＝（ ）
A．B．C．8D．﹣8
9．如图，将长方形纸片ABCD沿对角线AC折叠，点B落在点E处，AB＝10，AD＝5，下列结论中正确的有（ ）个．
①△AFC是等腰三角形
②△ADF的面积是
③点B与点E关于AC对称
④若直线AD与直线CE交于点G，那么直线FG垂直平分AC
A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个
10．如图，四边形ABCD中，∠DAB＝30°，连接AC，将△ABC绕点B逆时针旋转60°，点C的对应点与点D重合，得到△EBD，若AB＝5，AD＝4，则线段AC的长度为（ ）
A．5B．6C．D．
二．填空题（共7小题，满分28分，每小题4分）
11．因式分解：9x﹣x2＝ ．
12．式子有意义，则x的范围为 ；式子有意义，则x的范围为 ．
13．已知在△ABC中，AB＝13，AC＝12，∠C＝90°，sinA＝ ．
14．写出二次函数y＝x2+4x与y＝﹣（x﹣3）2+2的不同点 （至少写出5个）．
15．如图，△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，面积比为1：4，∠OCD＝90°，CO＝CD，B（1，0），则点C坐标为 ．
16．已知一圆锥母线长为1cm，圆锥底面的半径为Rcm，则这个圆锥的侧面展开图面积为 cm2．（保留π）
17．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数），a+b+c＝0．下列四个结论：
①若抛物线经过点（﹣3，0），则b＝2a；
②若b＝c，则方程cx2+bx+a＝0一定有根x＝﹣2；
③抛物线与x轴一定有两个不同的公共点；
④点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线上，若0＜a＜c，则当x1＜x2＜1时，y1＞y2．
其中正确的是 （填写序号）．
三．解答题（共3小题，满分18分，每小题6分）
18．解方程：．
19．如图，已知BD，CE是△ABC的两条中线，P是它们的交点．求证：．
20．某校为了解七、八年级学生每周课外阅读时间的情况（单位：小时），对七、八年级的学生进行了抽样调查，过程如下，请补充完整．
【收集数据】
从七、八两个年级各随机抽取20名学生进行调查，得到的数据（单位：小时）如下：
七年级：5 4 4 8 6 7 5 9 7 5 4 3 6 7 10 5 6 8 5 6
八年级：4 3 6 5 6 7 8 9 10 7 4 4 5 3 8 7 7 7 5 9
【整理、描述数据】
按如下时间段整理、描述这两组样本数据：
【分析数据】
两组样本数据的平均数、中位数和众数如下表所示：
【解决问题】
（1）m＝ ，n＝ ；
（2）a＝ ，b＝ ，由此可以估计七、八年级中 （填“七”或“八”）年级的学生课外阅读时间较多．
（3）若学校计划从两个年级中每周课外阅读时间在8＜x≤10小时的5名学生中选择两名学生介绍读书心得，请你用列表法分析并求出恰好选出两个年级各一名学生介绍读书心得的概率．
四．解答题（共3小题，满分24分，每小题8分）
21．如图，在△ABC中，AB＝AC，点O是AB的中点；
（1）按要求尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）：
①以AB为直径作⊙O交BC于点D，连接OD，AD；
②作∠AOD的平分线，交AC与点E．
（2）判断AD与OE的位置关系，并说明理由．
22．学校操场的环形跑道长为400米，小明和小丽在这条跑道上练习长跑．如果小明每分钟跑160米，小丽每分钟跑120米，两人同时同地同向出发，那么多少分钟后他们第一次相遇？
23．如图，抛物线交x轴于A（1，0），B（2，0）两点，直线y＝x+m交抛物线于A，C两点，点C的纵坐标为2．求m的值和抛物线的解析式．
五．解答题（共2小题，满分20分，每小题10分）
24．如图，P为正方形ABCD的边BC上一动点（点P不与点B、C重合），点Q在CD边上，且BP＝CQ，连接AP、BQ交于点E，将△BQC沿BQ所在的直线对折得到△BQN，延长QN交BA的延长线于点M．
（1）求证：AP⊥BQ；
（2）若AB＝3，BP＝2PC，求QM的长．
25．[教材呈现]如图是华师版九年级上册数学教材第77页的部分内容：
请根据教材内容，结合图①，写出证明过程．
[结论应用]
如图②，正方形ABCD的边长为2，△DEF中，∠E＝90°，DE＝EF＝1，点F在边CD上，点E与点A在直线CD的两侧，连结BF，取BF的中点M．
（1）如图③，连结正方形ABCD的对角线AC、BD，交点为O，连结OM，求OM的长．
（2）如图③，将△DEF绕点D逆时针旋转一周，连结DM并延长交直线BC于点N，则在旋转过程中，∠DNC的最大值为 °．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．解：30＝1，
故选：B．
2．解：一个圆柱和一个正方体按如图所示放置，则其俯视图为左边是一个圆，右边是一个正方形．
故选：D．
3．解：将15000用科学记数法可表示为1.5×104．
故选：A．
4．解：这组数据6，15，17，13，x的中位数是15，
所以从小到大排列处在第3位的数为15，
因此x＝15或x＞15，即x≥15，
故选：D．
5．解：A．a3与a2不能合并，故A不符合题意；
B．a3•a2＝a5，故B不符合题意；
C．a8与a2不能合并，故C不符合题意；
D．（a2）3＝a6，故D符合题意；
故选：D．
6．解：设蜡烛与成像板之间的小孔纸板应放在离蜡烛xcm，根据题意可得：
＝，
解得：x＝12，
∴蜡烛与成像板之间的小孔纸应放在离蜡烛12cm的地方．
故选：A．
7．解：连接EB，
∵E是AD的中点，△ABD的面积为24，
∴△EBD的面积为12，
∵D是边BC的中点，BC＝10，
∴BD＝5，
∴×5×EF＝12，
解得：EF＝4.8，
故选：D．
8．解：∵|2a+1﹣b|≥0，，
∴当，则2a+1﹣b＝0，5+a+b＝0．
∴a＝﹣2，b＝﹣3．
∴．
故选：B．
9．解：
如图所示：
①∵四边形ABCD为矩形
∴DC∥AB，
∴∠FCA＝∠CAB，
由折叠可知：
∠FAC＝∠CAB，
∴∠FCA＝∠FAC，
∴FA＝FC，
∴△AFC是等腰三角形．
∴①正确；
②设DF＝x，则FC＝FA＝10﹣x，AD＝5，
∴在Rt△ADF中，x2+52＝（10﹣x）2，解得x＝，
∴S△ADF＝DF•AD＝××5＝．
∴△ADF的面积为．
∴②正确；
③∵AB＝AE，CB＝CE，
∴AC是BE的垂直平分线，
∴点B与点E关于AC对称．
∴③正确；
④如图：延长AD和CE交于点G，连接GF，
∵FD＝FE，FG＝FG，
∴Rt△GDF≌Rt△GEF（HL），
∴GD＝GE，又AD＝CE，
∴GA＝GC，FD＝FE，
∴FG是AC的垂直平分线，
∴④正确．
故选：D．
10．解：∵△EBD是由△ABC旋转得到，
∴△EBD≌△ABC，
∴BA＝BE，∠ABE＝60°，AC＝DE，
∴△ABE是等边三角形，
∴∠EAB＝60°，
∵∠BAD＝30°，
∴∠EAD＝90°，
∵AE＝AB＝5，AD＝4，
∴DE＝＝＝，
∴AC＝DE＝，
故选：D．
二．填空题（共7小题，满分28分，每小题4分）
11．解：9x﹣x2＝x（9﹣x）．
故答案为：x（9﹣x）．
12．解：（1）由题意，得：3﹣2x≥0，解得x≤1.5；
（2）由题意，得：x+3≥0且x﹣1≠0，解得x≥﹣3且x≠1．
13．解：∵∠C＝90°，AB＝13，AC＝12，
∴BC＝5，
则sinA＝＝．
故答案为：．
14．解：开口方向不同；开口大小不同；前者经过原点，后者不经过原点；对称轴不同；顶点不同；与x轴的交点不同
15．解：∵∠OAB＝∠OCD＝90°，AO＝AB，CO＝CD，等腰Rt△OAB与等腰Rt△OCD是位似图形，点B的坐标为（1，0），
∴BO＝1，
则AO＝AB＝，
∴A（，），
∵△OAB与△OCD面积比为1：4，
∴△OAB与△OCD相似比为1：2，
∴点C的坐标为（1，1）．
故答案为：（1，1）．
16．解：底面半径为Rcm，则底面周长＝2πRcm，侧面面积＝×2πR×l＝πRcm2．
故答案为：πR．
17．解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数），a+b+c＝0，
∴（1，0）是抛物线与x轴的一个交点．
①∵抛物线经过点（﹣3，0），
∴抛物线的对称轴为直线x＝＝﹣1，
∴﹣＝﹣1，即b＝2a，即①正确；
②若b＝c，则二次函数y＝cx2+bx+a的对称轴为直线：x＝﹣＝﹣，
且二次函数y＝cx2+bx+a过点（1，0），
∴＝﹣，解得m＝﹣2，
∴y＝cx2+bx+a与x轴的另一个交点为（﹣2，0），即方程cx2+bx+a＝0一定有根x＝﹣2；故②正确；
③Δ＝b2﹣4ac＝（a+c）2﹣4ac＝（a﹣c）2≥0，
∴抛物线与x轴一定有公共点，
且当a≠c时，抛物线与x轴一定有两个不同的公共点．故③不正确；
④由题意可知，抛物线开口向上，且＞1，
∴（1，0）在对称轴的左侧，
∴当x＜1时，y随x的增大而减小，
∴当x1＜x2＜1时，y1＞y2．故④正确．
故答案为：①②④．
三．解答题（共3小题，满分18分，每小题6分）
18．解：方程两边乘以（x+1）（x﹣1），得x（x+1）﹣（x+1）（x﹣1）＝3（x﹣1），
去括号得：x2+x﹣x2+1＝3x﹣3，
解得：x＝2，
检验：当x＝2时，（x+1）（x﹣1）＝3≠0，
则原分式方程的解为x＝2．
19．证明：连接ED，如图：
∵BD，CE是△ABC的两条中线．
∴E、D是中点．
∴ED∥BC且．
∴△EDP∽△CBP．
∴．
∴．
20．解：（1）将七、八年级学生每周课外阅读时间重新排列为：
七年级：3 4 4 4 5 5 5 5 5 6 6 6 6 7 7 7 8 8 9 10，
八年级：3 3 4 4 4 5 5 5 6 6 7 7 7 7 7 8 8 9 9 10，
∴m＝5、n＝5，
故答案为：5、5；
（2）七年级平均数a＝×（3+3×4+5×5+4×6+3×7+2×8+9+10）＝6，众数为5，
八年级中位数为＝6.5，
由此可以估计七、八年级中八年级的学生课外阅读时间较多，
故答案为：6、6.5，八；
（3）将七年级2名学生记作A，八年级3名学生记作B，
列表如下：
由表知，共有20种等可能结果，其中恰好选出两个年级各一名学生介绍读书心得的有12种结果，
∴恰好选出两个年级各一名学生介绍读书心得的概率为＝．
四．解答题（共3小题，满分24分，每小题8分）
21．解：（1）①如图，OD、AD为所作；
②如图，OE为所作；
（2）AD⊥OE．
理由如下：∵AB为直径，
∴∠ADB＝90°，
∴AD⊥BD，
∵OE平分∠AOD，
∴∠AOE＝∠DOE，
∵∠AOD＝∠B+∠ODB，
而∠B＝∠ODB，
∴∠AOE＝∠B，
∴OE∥BD，
∴OE⊥AD．
22．解：设x分钟后他们第一次相遇，依题意有：
160x﹣120x＝400，
解得x＝10．
答：10分钟后他们第一次相遇．
23．解：（1）把A（1，0）代入y＝x+m得1+m＝0，
解得m＝﹣1，
∴一次函数解析式为y＝x﹣1，
∵点C的纵坐标为2，
∴x﹣1＝2，
解得x＝3，
∴C（3，2），
设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）（x﹣2），
把C（3，2）代入得2＝a×（3﹣1）×（3﹣2），
解得a＝1，
∴抛物线解析式为y＝（x﹣1）（x﹣2），
即y＝x2﹣3x+2．
∴m的值为﹣1，抛物线的解析式为y＝x2﹣3x+2．
五．解答题（共2小题，满分20分，每小题10分）
24．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝∠C＝90°，AB＝BC．
∴在△ABP和△BCQ中，
，
∴△ABP≌△BCQ（SAS），
∴∠BAP＝∠CBQ．
∵∠BAP+∠APB＝90°，
∴∠CBQ+∠APB＝90°，
∴∠BEP＝90°，
∴AP⊥BQ．
（2）解：∵正方形ABCD中，AB＝3，BP＝2CP，
∴BP＝2，
由（1）可得NQ＝CQ＝BP＝2，NB＝3．
又∵∠NQB＝∠CQB＝∠ABQ，
∴MQ＝MB．
设MQ＝MB＝x，则MN＝x﹣2．
在直角△MBN中，MB2＝BN2+MN2，
即x2＝32+（x﹣2）2，
解得：x＝，
即MQ＝．
25．[教材呈现]证明：如图1，
延长DE至F，使EF＝DE，
∵D，E是AB，AC的中点，
∴AD＝BD，AE＝CE，
在△ADE和△CFE中，
，
∴△ADE≌△CFE（SAS），
∴CF＝AD，∠A＝∠ECF，
∴BD＝CF，AB∥CF，
∴四边形BCFD是平行四边形，
∴DE∥BC，BC＝DF，
∵DE＝，
∴DE＝；
[结论应用]
（1）解：∵∠DEF＝90°，DE＝EF＝2，
∴DF＝＝，
∵四边形ABCD是正方形，
∴OB＝OD，
∵M是BF的中点，
∴OM＝；
（2）解：如图2，
连接AC，BD，相交于点O，连接OM，
∵四边形ABCD时正方形，
∴BC＝CD＝2，∠BCD＝90°，OD＝OB＝，
∴BD＝＝2，∠DBC＝45°，
∴OD＝，
由（1）知：OM＝，
∴点M在以O为圆心，的圆O上运动，
当DN与⊙O相切，切点为M（图中的R）时，∠DNC最大，
连接OR，
∴OR⊥DN，
∴∠DRO＝90°，
∵sin∠BDN＝＝＝，
∴∠BDN＝30°，
∴∠DNC＝∠DBC+∠BDN＝45°+30°＝75°，
故答案为：75．
时间/小时
年级
2≤x≤4
4＜x≤6
6＜x≤8
8＜x≤10
七年级
4

n
2
八年级

m

3
年级
平均数
中位数
众数
七年级
a
6

八年级
6.2
b
7
如图①，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，可以猜想：DE∥BC且DE＝BC．
A
A
B
B
B
A
（A，A）
（B，A）
（B，A）
（B，A）
A
（A，A）
（B，A）
（B，A）
（B，A）
B
（A，B）
（A，B）
（B，B）
（B，B）
B
（A，B）
（A，B）
（B，B）
（B，B）
B
（A，B）
（A，B）
（B，B）
（B，B）