福建省厦门市思明区槟榔中学2024-2025学年上学期八年级期中数学试卷-A4

这是一份福建省厦门市思明区槟榔中学2024-2025学年上学期八年级期中数学试卷-A4，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
1．（4分）在以下回收、绿色食品、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．（4分）以下面各组线段的长为边，能组成三角形的是（ ）
A．3，4，8B．5，6，11C．3，3，6D．5，6，10
3．（4分）在下列运算中，正确的是（ ）
A．a3•a4＝a12B．（ab2）3＝a6b6
C．（a3）4＝a7D．a4÷a3＝a
4．（4分）在平面直角坐标系xOy中，点A（2，1）关于x轴的对称点是（ ）
A．（2，﹣1）B．（﹣2，1）C．（﹣2，﹣1）D．（1，2）
5．（4分）已知图中的两个三角形全等，则∠α等于（ ）
A．50°B．60°C．70°D．80°
6．（4分）要使五边形木架（用五根木条钉成）不变形，至少要再钉上（ ）根木条．
A．1B．2C．3D．4
7．（4分）如图，点E、F在BC上，AB＝DC，AF＝DE，AF、DE相交于点G，要使得△ABF≌△DCE，添加下列哪一个条件（ ）
A．∠B＝∠CB．GE＝GFC．∠AFE＝∠DEFD．BF＝CE
8．（4分）平面直角坐标系中，已知A（﹣1，0），B（1，1），若在坐标轴上取点C，使△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（ ）
A．5B．6C．7D．8
9．（4分）如图，△ABC中，AB＜AC＜BC，如果要用尺规作图的方法在BC上确定一点P，使PA+PB＝BC，那么符合要求的作图痕迹是（ ）
A．B．
C．D．
10．（4分）如图，在△ABC中，AB＝BC，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠AOB＝125°，若D是BC上一点，DF＝CF，则∠DAE的度数是（ ）
A．20°B．15°C．10°D．5°
二、填空题（本大题有6小题，第11题每空1分，其余每小题各4分，共26分）
11．（6分）化简：a2×a3＝ ；（xy2）3＝ ；2m2n3•（﹣2n）＝ ；（12x2y4）÷（4x2y）＝ ；（π﹣6）0＝ ；42020×（﹣0.25）2021＝ ．
12．（4分）八边形的内角和为 °．
13．（4分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，CD＝1，AB＝4，则△ABD的面积是 ．
14．（4分）“三等分角”是被称为几何三大难题的三个古希腊作图难题之一．如图所示的“三等分角仪”是利用阿基米德原理做出的．这个仪器由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，OC＝CD＝DE，点D，E可在槽中滑动．若∠BDE＝72°，则∠CDE＝ °．
15．（4分）若x﹣2y﹣1＝0，则2x÷4y×8等于 ．
16．（4分）如图，先将正方形纸片对折，折痕为MN，再沿AE折叠，使点B落在MN上的点H处．下列结论：①DH＝DA；②∠BHD＝135°；③NE＝BE；④EB＝2HN．其中正确结论是 ．（填序号）
三.解答题（共9小题，共84分）
17．（10分）计算：
（1）a•（﹣2a2）2÷（a2•a3）；
（2）3a（2a+1）﹣（2ab﹣a2b）÷b．
18．（10分）先化简，再求值：，其中x＝﹣1．
19．（8分）如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，BE、CD交于点O，OB＝OC．
（1）求证：△BOD≌△EOC；
（2）求证：AO平分∠BAC．
20．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点P为BC边的中点，PD⊥AC于点D．
（1）求∠C的度数；
（2）求证：CD＝3AD．
21．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A（0，1），B（2，0），C（4，4）均在正方形网格的格点上．
（1）画出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1，并写出顶点A1，B1，C1的坐标 ；
（2）求△ABC的面积 ；
（3）在x轴上找一点P，使得△PAC的周长最小（保留作图痕迹）．
22．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在△ABC内，BD＝BC，∠DBC＝60°，点E在△ABC外，∠BCE＝150°，∠ABE＝60°．
（1）求∠ADB的度数；
（2）判断△ABE的形状并加以证明．
23．（10分）已知长方形的长为a cm，宽为b cm，其中（a＞b＞1，如果将原长方形的长和宽各增加2cm，得到的新长方形的面积记为S1；如果将原长方形的长和宽各减少1cm，得到的新长方形的面积记为S2．
（1）求S1，S2；
（2）如果2S1＝S2+11，求将原长方形的长和宽各增加5cm后得到的新长方形的面积；
（3）如果用一个面积为S1的长方形和两个面积为S2的长方形恰好能拼成一个没有缝隙没有重叠的正方形，求a，b的值．
24．（10分）新定义：如果两个三角形不全等但面积相等，那么这两个三角形叫做积等三角形．
【初步尝试】
（1）如图1，在任意△ABC中，P为边BC上一点，若△ABP与△ACP是积等三角形，求证：AP为△ABC中线．
【理解运用】
（2）如图2，△ABD与△ACD为积等三角形，若AB＝2，AC＝4，且线段AD的长度为正整数，求AD的长．
【综合应用】
（3）如图3，在Rt△ABC中∠BAC＝90°，AB＝AC，过点C作MN⊥AC，点D是射线CM上一点，以AD为边作Rt△ADE，∠DAE＝90°，AD＝AE，连接BE．请判断△BAE与△ACD是否为积等三角形，并说明理由．
25．（12分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，将BC绕点B逆时针旋转β至BD，点C的对应点为点D，连接AD，CD，其中2α+β＝180°．
（1）求证：∠ABD＝∠ACD；
（2）如备用图，延长CD至点M，使得CM＝BC．求证：
①AD平分∠BDM；
②A，M，B三点共线．
2024-2025学年福建省厦门市思明区槟榔中学八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分.每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正确）
1．（4分）在以下回收、绿色食品、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断利用排除法求解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；
B、是轴对称图形，故本选项正确；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、不是轴对称图形，故本选项错误．
故选：B．
2．（4分）以下面各组线段的长为边，能组成三角形的是（ ）
A．3，4，8B．5，6，11C．3，3，6D．5，6，10
【分析】根据三角形的三边关系定理：两边之和大于第三边，即两条较短的边的长大于最长的边即可．
【解答】解：A、3+4＜8，故不能构成三角形，故选项不符合题意；
B、6+5＝11，故不能构成三角形，故选项不符合题意；
C、3+3＝6，故不能构成三角形，故选项不符合题意；
D、5+6＞10，故能构成三角形，故选项符合题意．
故选：D．
3．（4分）在下列运算中，正确的是（ ）
A．a3•a4＝a12B．（ab2）3＝a6b6
C．（a3）4＝a7D．a4÷a3＝a
【分析】根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减；幂的乘方法则：底数不变，指数相乘；积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘分别进行计算即可．
【解答】解：A、底数不变指数相加，即a3•a4＝a7，故A错误；
B、积得乘方等于每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，即（ab2）3＝a3b6，故B错误；
C、底数不变指数相乘，即（a3）4＝a12，故C错误；
D、底数不变指数相减，即a4÷a3＝a，故D正确；
故选：D．
4．（4分）在平面直角坐标系xOy中，点A（2，1）关于x轴的对称点是（ ）
A．（2，﹣1）B．（﹣2，1）C．（﹣2，﹣1）D．（1，2）
【分析】利用关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数得出答案．
【解答】解：点A（2，1）关于x轴对称点的坐标是（2，﹣1）．
故选：A．
5．（4分）已知图中的两个三角形全等，则∠α等于（ ）
A．50°B．60°C．70°D．80°
【分析】根据全等三角形的性质即可求出答案．
【解答】解：∵两个三角形全等，
∴∠α＝180°﹣50°﹣60°＝70°，
故选：C．
6．（4分）要使五边形木架（用五根木条钉成）不变形，至少要再钉上（ ）根木条．
A．1B．2C．3D．4
【分析】根据三角形的稳定性，添加的木条把五边形分成三角形即可．
【解答】解：如图，至少需要2根木条．
故选：B．
7．（4分）如图，点E、F在BC上，AB＝DC，AF＝DE，AF、DE相交于点G，要使得△ABF≌△DCE，添加下列哪一个条件（ ）
A．∠B＝∠CB．GE＝GFC．∠AFE＝∠DEFD．BF＝CE
【分析】根据全等三角形的判定方法依次进行判断即可．
【解答】解：A、添加∠B＝∠C，不能使得△ABF≌△DCE，不符合题意；
B、添加GE＝GF，不能使得△ABF≌△DCE，不符合题意；
C、添加∠AFE＝∠DEF，不能使得△ABF≌△DCE，不符合题意；
D、添加BF＝CE，利用SSS，可以使得△ABF≌△DCE，符合题意；
故选：D．
8．（4分）平面直角坐标系中，已知A（﹣1，0），B（1，1），若在坐标轴上取点C，使△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（ ）
A．5B．6C．7D．8
【分析】先根据点A，B的坐标求出AB与y轴的交点M为线段AB的中点，然后分两种情况进行讨论：（1）当点C在x轴上时，又有以下三种情况：①以点A为圆心，以AB为半径画弧交x轴于点C，C'，②以点B为圆心，以BA的长为半径画弧交x轴于点C，③过点M作MC⊥AB交x轴于C，（2）当点C在y轴上时，又有以下两种情况：①以点A为圆心，以AB为半径画弧交y轴于点C，C'，②以点B为圆心，以BA为半径画弧交y轴于点C，C'，综上所述可得出答案
【解答】解：∵A（﹣1，0），B（1，1），
∵（﹣1+1）＝0，（0+1）＝0.5
∴AB的中点M坐标为（0，0.5），
∴AB与y轴的交点即为AB的中点M，
∵在坐标轴上取点C，使△ABC为等腰三角形，
∴有以下两种情况：
（1）当点C在x轴上时，又有以下三种情况：
①以点A为圆心，以AB为半径画弧交x轴于点C，C'，如图1所示：

此时AB＝AC，AB＝AC'，
∴△ABC和△ABC'均为等腰三角形，则点C和点C'为所求的点，
②以点B为圆心，以BA的长为半径画弧交x轴于点C，如图2所示：

此时BA＝BC，
∴△ABC为等腰三角形，则点C为所求的点；
③过点M作MC⊥AB交x轴于C，连接BC，如图3所示：

∵点M为AB的中点，
∴MC为线段AB的垂直平分线，
∴AC＝BC，
∴△ABC为等腰三角形，则点C为所求的点．
综上所述：当点C在x轴上时，满足条件点C有4个．
（2）当点C在y轴上时，又有以下两种情况：
①以点A为圆心，以AB为半径画弧交y轴于点C，C'，如图4所示：

此时AB＝AC，AB＝AC'，
∴△ABC和△ABC'均为等腰三角形，则点C和点C'为所求的点，
②以点B为圆心，以BZ为半径画弧交y轴于点C，C'，如图5所示：

此时BC＝BA，BC'＝BA，
∴△ABC和△ABC'均为等腰三角形，则点C和点C'为所求的点．
综上所述：当点C在y轴上时，满足条件点C有4个．
∴在坐标轴上取点C，使△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是8个．
故选：D．
9．（4分）如图，△ABC中，AB＜AC＜BC，如果要用尺规作图的方法在BC上确定一点P，使PA+PB＝BC，那么符合要求的作图痕迹是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】由PA+PB＝BC和PC+PB＝BC易得PA＝PC，根据线段垂直平分线定理的逆定理可得，点P在AC的垂直平分线上，进而得出结论．
【解答】解：∵PA+PB＝BC，而PC+PB＝BC，
∴PA＝PC，
∴点P在AC的垂直平分线上，
即点P为AC的垂直平分线与BC的交点．
故选：D．
10．（4分）如图，在△ABC中，AB＝BC，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠AOB＝125°，若D是BC上一点，DF＝CF，则∠DAE的度数是（ ）
A．20°B．15°C．10°D．5°
【分析】先根据∠AOB＝125°得出∠BAO+∠ABO的度数，再由AE、BF是角平分线得出∠ABC+∠BAC的度数，进而可得出∠C的度数，由AB＝BC可知∠C＝∠BAC，由角平分线的定义求出∠CAE的度数，由等腰三角形的性质求出∠CFD的度数，由等腰三角形的性质推出AF＝FC，得到AF＝FD，由三角形外角的性质求出∠DAC的度数，即可求出∠DAE的度数．
【解答】解：∵AE、BF是△ABC的角平分线，
∴∠ABO＝∠ABC，∠BAO＝∠BAC，
∴∠ABO+∠BAO＝（∠ABC+∠BAC），
∵∠AOB＝125°，
∴∠ABO+∠BAO＝180°﹣∠AOB＝55°，
∴∠ABC+∠BAC＝2×55°＝110°，
∴∠C＝180°﹣（∠ABC+∠BAC）＝70°，
∵AB＝BC，
∴∠BAC＝∠C＝70°，
∴∠CAE＝∠BAC＝35°，
∵DF＝CF，
∴∠FDC＝∠C＝70°，
∵AB＝CB，BF平分∠ABC，
∴AF＝CF，
∴AF＝FD，
∴∠DAF＝∠FDA，
∴∠CFD＝∠DAF+∠FDA＝2∠DAF，
∵∠CFD＝180°﹣∠C﹣∠FDC＝40°，
∴∠DAF＝20°，
∴∠DAE＝∠CAE﹣∠DAF＝35°﹣20°＝15°．
故选：B．
二、填空题（本大题有6小题，第11题每空1分，其余每小题各4分，共26分）
11．（6分）化简：a2×a3＝ a5 ；（xy2）3＝ x3y6 ；2m2n3•（﹣2n）＝ ﹣4m2n4 ；（12x2y4）÷（4x2y）＝ 3y3 ；（π﹣6）0＝ 1 ；42020×（﹣0.25）2021＝ ﹣0.25 ．
【分析】利用整式的混合运算法则以及零指数幂的性质一一计算即可．
【解答】解：a2×a3＝a5；（xy2）3＝x3y6；2m2n3•（﹣2n）＝﹣4m2n4；（12x2y4）÷（4x2y）＝3y3；（π﹣6）0＝1；42020×（﹣0.25）2021＝﹣（4×0.25）2020×0.25＝﹣0.25．
故答案为：a5；x3y6；﹣4m2n4；3y3；1；﹣0.25．
12．（4分）八边形的内角和为 1080 °．
【分析】根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°进行计算即可得解．
【解答】解：（8﹣2）•180°＝6×180°＝1080°．
故答案为：1080°．
13．（4分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，CD＝1，AB＝4，则△ABD的面积是 2 ．
【分析】直接利用角平分线的性质得出D到AB的距离，进而利用三角形面积求法得出答案．
【解答】解：过点D作DE⊥AB于点E
∵∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB，
∴DC＝DE＝1，
∵AB＝4，
∴S△ABD＝×DE×AB＝×1×4＝2．
故答案为：2．
14．（4分）“三等分角”是被称为几何三大难题的三个古希腊作图难题之一．如图所示的“三等分角仪”是利用阿基米德原理做出的．这个仪器由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，OC＝CD＝DE，点D，E可在槽中滑动．若∠BDE＝72°，则∠CDE＝ 84 °．
【分析】根据OC＝CD＝DE，可得∠AOB＝∠ODC，∠DCE＝∠DEC，根据三角形的外角性质可知∠DCE＝∠AOB+∠ODC＝2∠ODC，进一步根据三角形的外角性质可知∠BDE＝3∠ODC＝72°，即可求出∠ODC的度数，进而求出∠CDE的度数．＝
【解答】解：∵OC＝CD＝DE，
∴∠AOB＝∠ODC，∠DCE＝∠DEC，
∴∠DCE＝∠AOB+∠ODC＝2∠ODC，
∵∠AOB+∠OED＝3∠ODC＝∠BDE＝72°，
∴∠ODC＝24°，
∵∠CDE+∠ODC＝180°﹣∠BDE＝108°，
∴∠CDE＝108°﹣∠ODC＝84°．
故答案为：84．
15．（4分）若x﹣2y﹣1＝0，则2x÷4y×8等于 16 ．
【分析】根据幂的乘方，可化成同底数幂的除法，根据同底数幂的除法，可得答案．
【解答】解：∵x﹣2y﹣1＝0，
∴x﹣2y＝1，
∴2x÷4y×8＝2x÷22y×8＝2x﹣2y×8＝2×8＝16．
故答案为：16．
16．（4分）如图，先将正方形纸片对折，折痕为MN，再沿AE折叠，使点B落在MN上的点H处．下列结论：①DH＝DA；②∠BHD＝135°；③NE＝BE；④EB＝2HN．其中正确结论是 ①②④ ．（填序号）
【分析】由折叠可得，MN垂直平分AD，AB＝AH，于是得到DH＝AH＝AB＝AD，故①正确；推出△ADH是等边三角形，由折叠可得，AM＝AD＝AH，得到∠BAH＝30°，根据等腰三角形的性质得到∠AHB＝∠ABH＝75°，于是得到∠BHD＝60°+75°＝135°，故②正确；连接EH，则EH＝BE，根据直角三角形的性质得到BE＞NE，故③错误；求得∠HEN＝30°，根据直角三角形的性质得到HN＝HE＝，故④正确．
【解答】解：由折叠可得，MN垂直平分AD，AB＝AH，
∴DH＝AH＝AB＝AD，故①正确；
∴△ADH是等边三角形，
由折叠可得，AM＝AD＝AH，
∴∠AHM＝30°，∠HAM＝60°，
又∵∠BAD＝90°，
∴∠BAH＝30°，
∵AH＝AB，
∴∠AHB＝∠ABH＝75°，
∴∠BHD＝60°+75°＝135°，故②正确；
连接EH，则EH＝BE，
∵MN⊥BC，
∴EH＞NE，
∴BE＞NE，故③错误；
∵∠AHE＝∠ABE＝90°，∠AHM＝30°，
∴∠EHN＝60°，
∴∠HEN＝30°，
∴HN＝HE＝，故④正确，
故答案为：①②④．
三.解答题（共9小题，共84分）
17．（10分）计算：
（1）a•（﹣2a2）2÷（a2•a3）；
（2）3a（2a+1）﹣（2ab﹣a2b）÷b．
【分析】（1）先计算乘方，再计算乘除；
（2）先计算乘除，再计算加减．
【解答】解：（1）原式＝a•4a4÷a5
＝4；
（2）原式＝6a2+3a﹣（2a﹣a2）
＝6a2+3a﹣2a+a2
＝7a2+a．
18．（10分）先化简，再求值：，其中x＝﹣1．
【分析】去括号合并同类项，最后代入求值即可．
【解答】解：原式＝6x2﹣3x+2x﹣1﹣x2+2x
＝5x2+x﹣1．
当x＝﹣1时，上式＝5﹣1﹣1＝3．
19．（8分）如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，BE、CD交于点O，OB＝OC．
（1）求证：△BOD≌△EOC；
（2）求证：AO平分∠BAC．
【分析】（1）利用AAS证明△BDO≌△CEO；
（2）根据全等三角形的性质得到OD＝OE，根据角平分线的判定定理即可证明OA平分∠BAC，即∠1＝∠2．
【解答】证明：（1）∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠BDO＝∠CEO＝90°，
在△BOD和△COE中，
，
∴△BOD≌△EOC（AAS）；
（2）∵△BOD≌△EOC，
∴OD＝OE，
∵OD⊥AB，OE⊥AC，
∴OA平分∠BAC，
∴∠1＝∠2．
20．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点P为BC边的中点，PD⊥AC于点D．
（1）求∠C的度数；
（2）求证：CD＝3AD．
【分析】（1）连接AP，根据等腰三角形三线合一的性质可得AP⊥BC，根据等腰三角形两底角相等求出∠C＝30°，再求出∠APD＝∠C＝30°；
（2）根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得AP＝2AD，AC＝2AP，整理即可得证．
【解答】（1）解：如图，连接AP，
∵AB＝AC，P为BC边的中点，
∴AP⊥BC，
∵∠BAC＝120°，
∴∠C＝（180°﹣∠BAC）＝（180°﹣120°）＝30°；
（2）证明：由（1）知，∠C＝30°．
∵PD⊥AC，
∴∠CPD+∠C＝90°，
又∵∠APD+∠CPD＝90°，
∴∠APD＝∠C＝30°，
∴AP＝2AD，AC＝2AP，
∴AC＝4AD，
∴CD＝AC﹣AD＝4AD﹣AD＝3AD，
即CD＝3AD．
21．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A（0，1），B（2，0），C（4，4）均在正方形网格的格点上．
（1）画出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1，并写出顶点A1，B1，C1的坐标 A1（0，1），B1（﹣1，0），C1（﹣4，4） ；
（2）求△ABC的面积 5 ；
（3）在x轴上找一点P，使得△PAC的周长最小（保留作图痕迹）．
【分析】（1）分别作出点A，B，C关于x轴的对称点，再首尾顺次连接即可得；
（2）利用割补法求面积即可；
（3）连接AC′交x轴于点P，即可得PA+PC最小，结合AC为定值，得△PAC的周长最小．
【解答】解：（1）如图1所示，△A1B1C1即为所求，
顶点A1，B1，C1的坐标分别为A1（0，1），B1（﹣1，0），C1（﹣4，4），
故答案为：A1（0，1），B1（﹣1，0），C1（﹣4，4）；
（2）S△ABC＝4×4﹣×1×2﹣×2×4﹣×3×4＝5；
（3）如图2所示，点P即为所求．
22．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在△ABC内，BD＝BC，∠DBC＝60°，点E在△ABC外，∠BCE＝150°，∠ABE＝60°．
（1）求∠ADB的度数；
（2）判断△ABE的形状并加以证明．
【分析】（1）首先证明△DBC是等边三角形，推出∠BDC＝60°，再证明△ADB≌△ADC，推出∠ADB＝∠ADC即可解决问题．
（2）结论：△ABE是等边三角形．只要证明△ABD≌△EBC即可．
【解答】解：（1）∵BD＝BC，∠DBC＝60°，
∴△DBC是等边三角形，
∴DB＝DC，∠BDC＝∠DBC＝∠DCB＝60°，
在△ADB和△ADC中，
，
∴△ADB≌△ADC（SSS），
∴∠ADB＝∠ADC，
∴∠ADB＝×（360°﹣60°）＝150°；
（2）△ABE是等边三角形．理由如下：
∵∠ABE＝∠DBC＝60°，
∴∠ABD＝∠CBE，
在△ABD和△EBC中，
，
∴△ABD≌△EBC（ASA），
∴AB＝BE，
∵∠ABE＝60°，
∴△ABE是等边三角形．
23．（10分）已知长方形的长为a cm，宽为b cm，其中（a＞b＞1，如果将原长方形的长和宽各增加2cm，得到的新长方形的面积记为S1；如果将原长方形的长和宽各减少1cm，得到的新长方形的面积记为S2．
（1）求S1，S2；
（2）如果2S1＝S2+11，求将原长方形的长和宽各增加5cm后得到的新长方形的面积；
（3）如果用一个面积为S1的长方形和两个面积为S2的长方形恰好能拼成一个没有缝隙没有重叠的正方形，求a，b的值．
【分析】（1）由长方形面积公式，结合原长方形长宽变化代值求解即可得到答案；
（2）由2S1＝S2+11，结合（1）中S1，S2得到ab+5a+5b＝4，再得到将原长方形的长和宽各增加5cm后得到的新长方形的面积表达式，代值求解即可得到答案；
（3）由题意，根据新长方形的边长，分分两种情况拼接，如图所示，由正方形边长关系列方程组求解，再由a＞b＞1判定即可得到答案．
【解答】解：（1）∵长方形的长为a cm，宽为b cm，
∴将原长方形的长和宽各增加2cm，得到的新长方形的面积记为：；
将原长方形的长和宽各减少1cm，得到的新长方形的面积记为：；
（2）由（1）知，，
∵2S1＝S2+11，
∴2（ab+2a+2b+4）＝（ab﹣a﹣b+1）+11，即ab+5a+5b＝4，
∴将原长方形的长和宽各增加5cm后得到的新长方形的面积为（a+5）（b+5）＝ab+5a+5b+25＝4+25＝29cm2；
（3）∵面积记为S1的新长方形长为（a+2）cm、宽为（b+2）cm；面积记为S2的新长方形长为（a﹣1）cm、宽为（b﹣1）cm，
∴用一个面积为S1的长方形和两个面积为S2的长方形恰好能拼成一个没有缝隙没有重叠的正方形时，正方形的边长应为（a+2）cm，
分两种情况拼接，如图所示：
∴，
①或②，
解①得，
解②得，
∵a＞b＞1，
∴，
满足题意，即a＝4，b＝2.5．
24．（10分）新定义：如果两个三角形不全等但面积相等，那么这两个三角形叫做积等三角形．
【初步尝试】
（1）如图1，在任意△ABC中，P为边BC上一点，若△ABP与△ACP是积等三角形，求证：AP为△ABC中线．
【理解运用】
（2）如图2，△ABD与△ACD为积等三角形，若AB＝2，AC＝4，且线段AD的长度为正整数，求AD的长．
【综合应用】
（3）如图3，在Rt△ABC中∠BAC＝90°，AB＝AC，过点C作MN⊥AC，点D是射线CM上一点，以AD为边作Rt△ADE，∠DAE＝90°，AD＝AE，连接BE．请判断△BAE与△ACD是否为积等三角形，并说明理由．
【分析】（1）过点A作AH⊥BC于H，通过△ABP与△CBP是积等三角形，得出，得到BP＝CP，得到AP为△ABC的中线；
（2）延长AD至N，使DN＝AD，连接CN，证明△ADB≌△NDC（SAS），得出1＜AD＜3，再根据AD为正整数，得到AD＝2；
（3）过点E作EH⊥AB于点H，证明△HAE≌△CAD（AAS），根据，，得到S△BAE＝S△ACD，得出△ABE与△ACD为积等三角形．
【解答】（1）证明：过点A作AH⊥BC于H，如图1，
∵△ABP与△CBP是积等三角形，
∴S△ABP＝S△ACP，
∴，
∴BP＝CP，
∴AP为△ABC的中线；
（2）解：如图2，延长AD至N，使DN＝AD，连接CN，
∵△ABD与△ACD为积等三角形，
∴BD＝CD，
在△ADB和△NDC中，
∴△ADB≌△NDC（SAS），
∴AB＝NC＝2，
在△ACN中，AC﹣CN＜AN＜AC+CN，
∵AC＝4，
∴4﹣2＜AN＜4+2，
∴2＜AN＜6，
∴2＜2AD＜6，
∴1＜AD＜3，
∵AD为正整数，
∴AD＝2；
（3）证明：△BAE与△ACD为积等三角形；
如图3，过点E作EH⊥AB于点H，
∵MN⊥AC，
∴∠ACD＝∠AHE＝90°，
∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠CAH＝∠DAE＝90°，
∴∠CAH﹣∠DAH＝∠DAE﹣∠DAH，
∴∠EAH＝∠DAC，
在△HAE和△CAD中，
∴△HAE≌△CAD（AAS），
∴AC＝AH，EH＝CD，
∴，，
∵AB＝AC，
∴，
∴S△BAE＝S△ACD，
∴△ABE与△ACD为积等三角形．
25．（12分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，将BC绕点B逆时针旋转β至BD，点C的对应点为点D，连接AD，CD，其中2α+β＝180°．
（1）求证：∠ABD＝∠ACD；
（2）如备用图，延长CD至点M，使得CM＝BC．求证：
①AD平分∠BDM；
②A，M，B三点共线．
【分析】（1）根据题意可得BC＝BD，∠CBD＝β，所以∠BDC＝∠BCD；在△BCD中，∠BDC+∠BCD+∠CBD＝180°，所以2∠BDC+β＝180°，由2α+β＝180°，可得∠BDC＝α；在△ABC和△BCD中，利用三角形内角和可知，∠ABC+∠ACB＝∠DBC+∠DCB，所以∠ABD+∠DBC+∠ACB＝∠DBC+∠ACB+∠ACD，则∠ABD＝∠ACD；
（2）①如图1，过点A作AH⊥CM，AK⊥BD，垂足分别为H，K，所以∠AKB＝∠AHC＝90°，可证△ABK≌△ACH（AAS），所以AK＝AH，由角平分线的判定可知，AD平分∠BDM；
②如图2，连接AM，设AC与BD交于点G，可证△ABD≌△ACM（SAS），所以∠BAD＝∠CAM，所以∠BAC＝∠DAM＝α，由等腰三角形的性质可知，∠BCG＝90﹣α；由（1）知∠BDC＝α，且AD平分∠BDM，所以∠ADG＝90°﹣α，因为∠AGB＝∠CAD+∠ADG，∠AGB＝∠CBD+∠BCG，所以∠CAD＝∠CBD＝β，所以∠BAC+∠DAM+∠CAD＝2α+β＝180°，则A，M，B三点共线．
【解答】证明：（1）根据题意可得BC＝BD，∠CBD＝β，
∴∠BDC＝∠BCD，
在△BCD中，∠BDC+∠BCD+∠CBD＝180°，
∴2∠BDC+β＝180°，
∵2α+β＝180°，
∴∠BDC＝α，
在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180﹣α，
在△BCD中，∠DBC+∠DCB＝180﹣α，
∴∠ABC+∠ACB＝∠DBC+∠DCB，
∴∠ABD+∠DBC+∠ACB＝∠DBC+∠ACB+∠ACD，
∴∠ABD＝∠ACD；
（2）①如图1，过点A作AH⊥CM，AK⊥BD，垂足分别为H，K，
∴∠AKB＝∠AHC＝90°，
在△ABK和△ACH中，
，
∴△ABK≌△ACH（AAS），
∴AK＝AH，
∵AH⊥CM，AK⊥BD，
∴AD平分∠BDM；
②如图2，连接AM，设AC与BD交于点G，
在△ABD和△ACM中，
，
∴△ABD≌△ACM（SAS），
∴∠BAD＝∠CAM，
∴∠BAC＝∠DAM＝α，
∵AB＝AC，
∴∠BCG＝90﹣α，
由（1）知∠BDC＝α，且AD平分∠BDM，
∴∠ADG＝90°﹣α，
∵∠AGB＝∠CAD+∠ADG，∠AGB＝∠CBD+∠BCG，
∴∠CAD＝∠CBD＝β，
∴∠BAC+∠DAM+∠CAD＝2α+β＝180°，