秦皇岛市山海关第一中学2025届高三上学期一模数学试卷(含答案)

这是一份秦皇岛市山海关第一中学2025届高三上学期一模数学试卷(含答案)，共17页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知集合,,则的真子集个数为( )
A.5个B.6个C.7个D.8个
2．若干人站成一排,其中为互斥事件的是( )
A.“甲站排头”与“乙站排头”B.“甲站排头”与“乙站排尾”
C.“甲站排头”与“乙不站排头”D.“甲不站排头”与“乙不站排头”
3．抛物线的准线方程为( )
A.B.C.D.
4．已知直线a,b,c是三条不同的直线,平面,,是三个不同的平面,下列命题正确的是( )
A.若,,则
B.若,,则
C.若,,且,,则
D.,,三个平面最多可将空间分割成8个部分
5．若正四棱锥的高为8,且所有顶点都在半径为5的球面上,则该正四棱锥的侧面积为( )
A.24B.32C.96D.128
6．已知双曲线,点M在C上,过点M作C两条渐近线的垂线,垂足分别为A,B,若,则双曲线C的离心率为( )
A.B.C.D.
7．直线与曲线 的交点个数为( )
A.2B.3C.4D.5
8．已知函数,若不等式的解集中佮有两个不同的正整数解,则实数m的取值范围是( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知奇函数的定义域为R,若,则( )
A.B.的图象关于直线对称
C.D.的一个周期为4
10．已知函数的图象过点和,且满足,则下列结论正确的是( )
A.
B.
C.当时,函数值域为
D.函数有三个零点
11．已知函数,是的导函数,则( )
A.“”是“为奇函数”的充要条件
B.“”是“为增函数”的充要条件
C.若不等式的解集为且,则的极小值为
D.若,是方程的两个不同的根,且,则或
三、填空题
12．二项式的展开式中的系数为_______________.
13．已知是定义在R上的奇函数,为偶函数.当时,,则___________.
14．二阶魔方是一个的正方体,由8个角块组成,没有中心块和棱块,结构相对简单.若空间中方向不同但状态相同（即通过整体旋转后相同）的情况只算一种,则任意二阶魔方共有_____________种不同的状态.（提示：任选其中1个角块作为参考,则其余7块能自由排列,在这7块中,任意确定6块,最后1块也就唯一确定了）
四、解答题
15．已知a,b,c分别为三个内角A,B,C的对边,且
(1)求B;
(2)若,的面积为,D为边上一点,满足,求的长.
16．4月19日是中国传统二十四节气之一的“谷雨”,联合国将这天定为“联合国中文日”,以纪念“中华文字始祖”仓颉[jié]造字的贡献,旨在庆祝多种语言以及文化多样性,促进联合国六种官方语言平等使用.某大学面向在校留学生举办中文知识竞赛,每位留学生随机抽取问题并依次作答,其中每个问题的回答相互独立.若答对一题记2分,答错一题记1分,已知甲留学生答对每个问题的概率为,答错的概率为.
(1)甲留学生随机抽取题,记总得分为,求的分布列与数学期望;
(2)（ⅰ）若甲留学生随机抽取m道题,记总得分恰为分的概率为,求数列的前m项和;
（ⅱ）记甲留学生已答过的题累计得分恰为n分的概率为,求数列的通项公式.
17．已知函数
(1)若曲线在点处的切线方程为,求a和b的值;
(2)讨论的单调性.
18．某企业对某品牌芯片开发了一条生产线进行试产.其芯片质量按等级划分为五个层级,分别对应如下五组质量指标值：,,,,.根据长期检测结果,得到芯片的质量指标值X服从正态分布,并把质量指标值不小于80的产品称为A等品,其它产品称为B等品. 现从该品牌芯片的生产线中随机抽取100件作为样本,统计得到如图所示的频率分布直方图.
(1)根据长期检测结果,该芯片质量指标值的标准差的近似值为11,用样本平均数作为的近似值,用样本标准差s作为的估计值. 若从生产线中任取一件芯片,试估计该芯片为等品的概率(保留小数点后面两位有效数字);
(①同一组中的数据用该组区间的中点值代表;②参考数据:若随机变量服从正态分布,则,,.)
(2)（i）从样本的质量指标值在和的芯片中随机抽取3件,记其中质量指标值在的芯片件数为,求的分布列和数学期望;
（ii）该企业为节省检测成本,采用随机混装的方式将所有的芯片按100件一箱包装. 已知一件A等品芯片的利润是元,一件B等品芯片的利润是元,根据(1)的计算结果,试求m的值,使得每箱产品的利润最大.
19．对于任意正整数n，进行如下操作：若n为偶数，则对n不断地除以2，直到得到一个奇数，记这个奇数为；若n为奇数，则对不断地除以2，直到得出一个奇数，记这个奇数为.若，则称正整数n为“理想数”.
(1)求20以内的质数“理想数”；
(2)已知.求m的值；
(3)将所有“理想数”从小至大依次排列，逐一取倒数后得到数列，记的前n项和为，证明：.
参考答案
1．答案：C
解析：集合是坐标平面内,以原点为圆心,2为半径的圆上的点的集合,
集合是坐标平面内,函数图象上的点的集合,
在同一坐标系内作出圆及函数的部分图象,如图,
观察图象知,圆及函数的图象有3个公共点,
所以有3个元素,共有个真子集.
故选：C.
2．答案：A
解析：对于选项A,因为“甲站排头”与“乙站排头”不能同时发生,所以选项A正确,
对于选项B,因为“甲站排头”与“乙站排尾”可以同时发生,所以选项B不正确,
对于选项C,因为“甲站排头”与“乙不站排头” 可以同时发生,所以选项C不正确,
对于选项D,因为“甲不站排头”与“乙不站排头” 可以同时发生,所以选项D不正确,
故选：A.
3．答案：A
解析：抛物线方程可化为,则,故抛物线的准线方程为.
故选：A.
4．答案：D
解析：直线a,b,c是三条不同的直线,平面,,是三个不同的平面,
对于A,若,,则a与b相交、平行或异面,故A错误;
对于B,若,,则或,故B错误;
对于C,若,,且,,由于直线a,b未必相交,所以与不一定平行,故C错误;
对于D,,,三个平面两两垂直时,最多可将空间分割成8个部分,故D正确
故选：D.
5．答案：C
解析：如图所示,设P在底面的投影为G,易知正四棱锥的外接球球心在上,
由题意球O的半径,,
所以,,则,
故中,边AB的高为,
所以该正四棱锥的侧面积为.
故选：C.
6．答案：B
解析：设点,则,即,
又两条渐近线方程为,即,
故有,
所以.
故选：B.
7．答案：A
解析：由题意可得,所以其与直线的交点,
等价于求的零点,等价于的零点,
等价于求函数与函数的交点,
易得函数为周期为2的函数,且时,,
所以是函数的一个对称中心,
对于,,
所以关于点对称,且为增函数,为增函数,
所以在,上单调递增,
所以可以作出和图象如下图,
由图可得其有2个交点,故A正确.
故选：A.
8．答案：C
解析：函数的定义域为,
不等式化为:.
令,,,
故函数在上单调递增,在上单调递减.
当时,,当时,,
当时,,
当时,,当,且时,,
画出及的大致图象如下,
因为不等式的解集中恰有两个不同的正整数解,
故正整数解为1,2.
故,
即.
故.
故选:C.
9．答案：AD
解析：由函数为奇函数,则,A选项正确;
又,即,则函数关于直线对称,B选项错误;
由可知,
即,函数的一个周期为4,C选项错误,D选项正确;
故选：AD.
10．答案：AD
解析：A选项,把代入得,,
因为,所以,A正确;
B选项,为函数的最低点,
,故,解得,负值舍去,
则,其中,故,
故,,
由于,所以,
故,解得,B错误;
C选项,,时,,
故,,C错误;
D选项,画出与的函数图象,如下：
两函数有3个交点,
故有三个零点,D正确.
故选：AD
11．答案：ACD
解析：对于A中,当时,函数,则满足,
所以为奇函数,所以充分性成立;
若为奇函数,则,
则恒成立,所以,所以必要性成立,所以A正确;
对于B中,当时, ,可得,所以为增函数;
由,当为增函数时,,所以“”是“为增函数”的充分不必要条件,所以B错误;
对于C中,由,若不等式的解集为且,
则在R上先增后减再增,则,解得,
故,可得,
令,解得或,
当内,,单调递增;
当内,,单调递减;
当内,,单调递增,
所以的极小值为,所以C正确.
对于D中,由,因为,是方程的两个不同的根,
所以,即,且,,
由,可得,所以,即,
联立方程组,可得,解得或,所以D正确.
故选：ACD.
12．答案：15
解析：由二项式的展开式的通项为,
令,得其展开式中的系数为.
故答案为：15.
13．答案：-1
解析：由题意可知,
所以,
所以的一个正周期为8,即.
故答案为：-1.
14．答案：
解析：任选其中1个角作为参考,考虑其余7块排列情况.在这7块中,任意确定6块,
最后一块也确定了,所以任意二阶魔方有种状态.
再考虑每个角块有三种朝向,扣除状态相同的情况,则有种状态.
故答案为：.
15．答案：(1);
(2).
解析：(1)由正弦定理有,
因为,
所以,
化简得,
由,有,可得,
因为,,
所以,则.
(2)由,有
又可得,
联立解得,所以为正三角形,
所以,,
在中,由余弦定理得.
故的长为.
16．答案：(1)分布列见解析,
(2)（ⅰ）;（ⅱ）
解析：(1)依题意可得X的可能取值为3、4、5、6,
则,
,
,
,
所以X的分布列为
所以.
(2)（ⅰ）若甲留学生随机抽取m道题,总得分恰为分,即m道题均答对了,
所以,
设数列的前m项和为,则.
（ⅱ）依题意可得,,,
当时,
所以,
所以为常数数列,又,
所以,
则,所以是以为首项,为公比的等比数列,
所以,
经检验当、2上式也成立,所以.
17．答案：(1),
(2)答案见解析
解析：(1),则.
曲线在点处的切线方程为,
则,解得,
由,解得,
(2),函数定义域为,
则,
令,解得或,
若,则当时,,单调递减,当时,,单调递增,
若,则当时,,单调递减,当和时,,单调递增,
若,则在上恒成立,单调递增,
若,则当时,,单调递减,当和时,,单调递增,
综上所述,当时,的单调递增区间为,单调递减区间为,
当时,的单调递增区间为和,单调递减区间为,
当时,的单调递增区间为,无单调递减区间,
当时,的单调递增区间为和,单调递减区间为.
18．答案：(1)0.16
(2)（i）分布列见解析,;（ii）
解析：(1)由题意,
估计从该品牌芯片的生产线中随机抽取100件的平均数为：
.
即,,所以,
因为质量指标值X近似服从正态分布,
所以,
所以从生产线中任取一件芯片,该芯片为A等品的概率约为0.16.
(2)（i）,所以所取样本的个数为20件,
质量指标值在的芯片件数为10件,故可能取的值为0,1,2,3,
相应的概率为：,,
,,
随机变量的分布列为：
所以的数学期望.
（ii）设每箱产品中A等品有Y件,则每箱产品中B等品有件,
设每箱产品的利润为Z元,
由题意知：,
由(1)知：每箱零件中A等品的概率为0.16,
所以,所以,
所以
.
令,由得,,
又,,单调递增,,,单调递减,
所以当时,取得最大值.
所以当时,每箱产品利润最大.
19．答案：(1)2和5为两个质数“理想数”；
(2)m的值为12或18；
(3)证明见解析
解析：（1）20以内的质数为2，3，5，7，11，13，17，19，
，故，所以2为“理想数”；
，而，故3不是“理想数”；
，而，故5是“理想数”；
，而，故7不是“理想数”；
，而，故11不是“理想数”；
，而，故13不是“理想数”；
，而，故17不是“理想数”；
，而，故19不是“理想数”；
2和5为两个质数“理想数”；
（2）由题设可知必为奇数，m必为偶数，
存在正整数p，使得，即：
，且，
，或，或，解得，或，
，或，即m的值为12或18.
（3）显然偶数"理想数"必为形如的整数，
下面探究奇数"理想数"，不妨设置如下区间：，，，…，，
若奇数，不妨设，
若m为"理想数"，则(且)，即(且)，
①当(且)时，；
②当时，；
(且)，
又，即，
易知为上述不等式的唯一整数解，
区间存在唯一的奇数"理想数"(且)，
显然1为奇数"理想数"，所有的奇数"理想数"为，
所有的奇数"理想数"的倒数为，
，即.
X
3
4
5
6
P
0
1
2
3
P