涉县第一中学2024-2025学年高一上学期12月月考数学试卷(含答案)

这是一份涉县第一中学2024-2025学年高一上学期12月月考数学试卷(含答案)，共15页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．设,是常数,,,是的零点.若,,则下列不等式,正确的是( )
A.B.C.D.
2．如图所示的曲线是对数函数，，，的图象，则a，b，c，d，1的大小关系为( )
A.B.
C.D.
3．设不等式的解集为,则不等式的解集为( )
A.B.C.D.
4．设,用二分法求方程在内近似解的过程中,,,,,则方程的根落在区间( ).
A.B.C.D.
5．设方程的根为,方程的根为,则的值为( )
A.4B.2C.0D.
6．下列区间中，函数单调递增的区间是( )
A.B.C.D.
7．如图,A,B是半径为2的圆周上的定点,P为圆周上的动点,是锐角,大小为.图中阴影区域的面积的最大值为( )
A.B.C.D.
8．已知函数,且,则( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知,且,,若,则下列不等式可能正确的是( )
A.B.C.D.
10．下列选项正确的是( )
A.函数的值域为
B.函数的周期为
C.若,则,
D.若函数的值域为R,则实数a的取值范围是.
11．已知a是实数,则函数的图象可能是( )
A.B.
C.D.
三、填空题
12．酒驾是严重危害交通安全的违法行为.为了保障交通安全,根据国家有关规定:血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车,g及以上认定为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后,其血液中的酒精含量上升到了.如果停止喝酒以后,他血液中酒精含量会以每小时的速度减少,那么他大约经过______小时才能驾驶.（结果精确到0.1,参考数据:）
13．已知函数,若存在实数b,使函数有两个零点,则实数a的取值范围是________.
14．对于函数定义域中的任意,,有如下结论:
①;
②;
③;
④;
⑤.
当,上述结论中正确结论的序号是________.
四、解答题
15．（1）已知,,求的值;
（2）已知,求的值.
16．已知函数在上有意义,
（1）求()的最大值.
（2）求实数a的取值范围.
17．（1）用函数单调性定义证明在上单调递减.
（2）已知正数满足,求的最小值.
18．设函数定义在R上,对于任意实数m,n,恒有,且当时,.
（1）猜想并写出满足已知条件的一个具体函数解析式;
（2）求证:,且当时,;
（3）求证:在R上单调递减.
19．已知函数.
(1)求值：；
(2)判断函数的单调性，并证明你的结论；
(3)求证有且仅有两个零点、并求的值.
参考答案
1．答案：C
解析：,是的零点,,
,
.
故选:C.
2．答案：C
解析：由图可知，，，.过点作平行于x轴的直线，则直线与四条曲线交点的横坐标从左到右依次为c，d，a，b，显然.
故选：C.
3．答案：C
解析：一元二次不等式的解集为,
,且2,3是方程的两个实数根,
,
解得,,其中;
不等式化为,
即,
解得,
因此所求不等式的解集为.
故选C.
4．答案：C
解析：二分法求方程在内近似解的过程中,
,,,,
故方程的根落在区间
故选:C.
5．答案：A
解析：由题意,作图如下:
由方程的根为,则函数与的交点为;
由方程的根为,则函数与的交点为.
由函数与的图象关于对称,且与垂直,
则与关于直线对称,即,,
由题意可得:,,则,,
所以.
故选:A.
6．答案：A
解析：方法一：令，，得，.取，则.因为，所以区间是函数的单调递增区间.
方法二：当时，，所以在上单调递增，故A正确；当时，，所以在上不单调，故B错误；当时，，所以在上单调递减，故C错误；当时，，所以在上不单调，故D错误.
7．答案：B
解析：观察图象可知,当P为弧AB的中点时,阴影部分的面积S取最大值,
此时,
面积S的最大值为
故选B.
8．答案：A
解析：函数的定义域为R,,
所以,函数为奇函数,且,
任取、且,则,
,则,所以,,即,
所以,函数为R上的增函数,
由可得,所以,,即.
故选:A.
9．答案：AD
解析：,
若,则,即,
,故A正确,
,故D正确,
若,则,
,即,
,故BC错误,
故选:AD
10．答案：AD
解析：对A,,
令,,则,对称轴,开口向下,
所以,,所以值域为,故A正确;
对B,由周期公式可得,故B错误;
对C,,
因为,所以,
所以,
所以,故C错误;
对D,若函数的值域为R,则函数的值域包含所有正数,
当时满足题意,
当时,有,解得,
综上可知,实数a的取值范围是,故D正确.
故选:AD.
11．答案：ACD
解析：当时,;
当时,周期为,振幅为,
对A,当时,,故A正确;
对B,由,可得,所以,所以振幅小于2,故B错误;
对C,当时,,故C正确;
对D,由可得,所以,所以振幅大于2,故D正确;
故选:ACD
12．答案：6.2
解析：设t小时后此驾驶员的血液中酒精含量为y,
则,即.
依题意当,即时才能驾驶,
解,得,
因为,
所以大约经过6.2小时才能驾驶.
故答案为:6.2
13．答案：
解析：作出函数图像,易知与有3个交点,其中,是其两个交点的横坐标,
①当时,函数的图像为:
由图知,存在实数b,使函数有两个零点;
②当时,函数的图像为:
由图知,函数单调递增,不存在实数b,使函数有两个零点;
③当时,函数的图像为:
或
由图知,存在实数b,使函数有两个零点;
综上所述,存在实数b,使函数有两个零点的参数a的范围为
故答案为:
14．答案：③④⑤
解析：对于,有
①,故①错误;
②,故②错误;
③由对数的运算性质可知,故③正确;
④因为是上的递增的函数,,故④正确;
⑤,
又,故等号不成立,
所以,故⑤正确.
故答案为:③④⑤.
15．答案：（1）;
（2）
解析：（1）,
（2）,即,即,即
所以
16．答案：（1）
（2）
解析：（1）设,由可得,
所以令,
由二次函数的性质可得在上为减函数,开口向下,
所以,
所以的最大值为.
（2）由题意可得在上恒成立,
因为,,所以在上恒成立,
令,,
由与在上均为增函数可得在也为增函数,
所以,
因为在上恒成立,
所以,
所以实数a的取值范围为.
17．答案：（1）证明见解析;
（2）4
解析：（1）设,
,
因为,所以,,,
所以,即在上单调递减;
（2）因为正数a,b满足,
所以,
设,由,当且仅当时取等号,
由（1）可得在上单调递减,所以,
所以的最小值为4.
18．答案：（1）,答案不唯一,只要符合题意就行.
（2）证明见解析
（3）证明见解析
解析：（1）根据指数运算法则及指数函数性质可知符合题意.
因为,
且当时,,
故指数函数满足题意,答案不唯一,只要符合题意就行.
（2）对任意实数m,n,恒有,
令,,则.
因为当时,,所以.
设,,则,
所以.
即当时,有.
（3）设,则,所以.
由（2）知,,
所以
,即,所以在R上单调递减.
19．答案：(1)0
(2)在和上单调递增，证明见解析
(3)证明见解析；
解析：(1)由解析式可得定义域为：，
有，
.
(2)函数的定义域为，记为区间D，
在和上单调递增，
证明如下：
设，，则
，
①当时，，，，
，于是，
在上单调递增；
②当时，同理可得，，，
即，
在上单调递增；
故在和上单调递增；
(3)由于在上单调递增，且，，
在上有且仅有一个零点；
由于在上单调递增，且，，
在上有且仅有一个零点.
因此有且仅有两个零点、.
由(1)知，
又，，
不妨设，则
是在上的零点，而是在上的唯一零点，
，.