考点24 两角和与差的正弦、余弦和正切公式-2025高考数学一轮精讲讲练（新高考版）

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1.会推导两角差的余弦公式.
2.会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式.
3.掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，并会简单应用．
【知识点】
1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式
(1)公式C(α－β)：cs(α－β)＝ ；
(2)公式C(α＋β)：cs(α＋β)＝ ；
(3)公式S(α－β)：sin(α－β)＝ ；
(4)公式S(α＋β)：sin(α＋β)＝ ；
(5)公式T(α－β)：tan(α－β)＝ ；
(6)公式T(α＋β)：tan(α＋β)＝ .
2．辅助角公式
asin α＋bcs α＝ ，其中sin φ＝eq \f(b,\r(a2＋b2))，cs φ＝eq \f(a,\r(a2＋b2)).
知识拓展
两角和与差的公式的常用变形：
(1)sin αsin β＋cs(α＋β)＝cs αcs β.
(2)cs αsin β＋sin(α－β)＝sin αcs β.
(3)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)．
tan αtan β＝1－eq \f(tan α＋tan β,tanα＋β)＝eq \f(tan α－tan β,tanα－β)－1.
【核心题型】
题型一 两角和与差的三角函数公式
两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广，可用α，β的三角函数表示α±β的三角函数，在使用两角和与差的三角函数公式时，特别要注意角与角之间的关系，完成统一角和角与角转换的目的．
【例题1】（2024·河北石家庄·三模）已知角满足，则（ ）
A．B．C．D．2
【变式1】（2024·陕西铜川·二模）已知锐角满足，，则 .
【变式2】（2023·江西上饶·模拟预测）已知、均为锐角，且，，则 .
【变式3】（2024·河北保定·二模）在中，角的对边分别为，已知.
(1)求；
(2)若为边的中点，求的长.
题型二 两角和与差的公式逆用与辅助角公式
运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形．公式的逆用和变形应用更能开拓思路，增强从正向思维向逆向思维转化的能力．
【例题2】（2024·陕西西安·一模）等于（ ）
A．B．C．D．1
【变式1】（2023·广东·二模）的值为 .
【变式2】（2024·广东揭阳·二模）已知，则 ， .
【变式3】（2024·江苏·模拟预测）在中，点在边上，且满足.
(1)求证：；
(2)若，，求的面积的最小值.
题型三 角的变换问题
常用的拆角、配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)；α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β；β＝eq \f(α＋β,2)－eq \f(α－β,2)＝(α＋2β)－(α＋β)；α－β＝(α－γ)＋(γ－β)；15°＝45°－30°；eq \f(π,4)＋α＝eq \f(π,2)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))等．
【例题3】（23-24高三下·山东菏泽·阶段练习）若，则（ ）
A．B．C．D．
【变式1】（2024·江西景德镇·三模）函数在内恰有两个对称中心，，将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象.若，则（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（2024·河北沧州·模拟预测）已知，则 ．
【变式3】（2024·湖南·模拟预测）已知，则等于 .
【课后强化】
【基础保分练】
一、单选题
1．（2024·北京朝阳·二模）在平面直角坐标系中，锐角以为顶点，为始边.将的终边绕逆时针旋转后与单位圆交于点，若，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·重庆·模拟预测）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，．则a的值为（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·山东枣庄·模拟预测）已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（ ）
A．0B．C．D．
4．（2024·四川·模拟预测）已知，，，若，，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
5．（23-24高三上·山西大同·期末）若，且，，则（ ）
A．B．
C．D．
6．（23-24高三上·广东揭阳·期中）已知函数，则下列判断正确的是（ ）
A．的最小正周期为B．的图象关于点对称
C．的值域为D．的图象关于直线对称
三、填空题
7．（23-24高三下·内蒙古赤峰·开学考试）若，则 ．
8．（2023·山东菏泽·一模）设均为非零实数，且满足，则 .
9．（2024·陕西安康·模拟预测）已知，且，则 ．
四、解答题
10．（2024·河北保定·二模）已知中，角所对的边分别为.
(1)求角；
(2)若，且的周长为，求的面积.
11．（2021·贵州毕节·模拟预测）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知.
（1）求角B的大小；
（2）求的取值范围.
【综合提升练】
一、单选题
1．（23-24高三下·山东·开学考试）若，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·重庆·模拟预测）若，且，，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·江西赣州·模拟预测）（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·江苏南通·三模）已知，则（ ）
A．B．C．D．
5．（2024·全国·模拟预测）已知，，满足，且，，则的值为（ ）
A．－2B．C．D．2
6．（23-24高三下·江西·阶段练习）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
7．（2024·河北沧州·一模）已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，且终边上一点的坐标为，则（ ）
A．B．C．D．
8．（2023·全国·模拟预测）已知，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．（2023·全国·模拟预测）若，且，则（ ）
A．B．
C．D．
10．（2023·河南·模拟预测）已知，且，，，则（ ）
A．的取值范围为B．存在，，使得
C．当时，D．t的取值范围为
11．（2023·全国·模拟预测）已知，，，则下列说法正确的是（ ）
A．B．C．D．
三、填空题
12．（2024·江西鹰潭·二模）已知，且，则 .
13．（2023·贵州六盘水·模拟预测）已知，，且，，则 ．
14．（2024·内蒙古呼伦贝尔·二模）已知，是方程的两个根，则 ．
四、解答题
15．（2023·全国·模拟预测）已知，且.
(1)求和的值；
(2)若，且，求的值.
16．（2024·云南昆明·模拟预测）已知的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且，.
(1)求；
(2)若，求的值.
17．（2024·天津·二模）在中，角，，的对边分别为，，．已知，，．
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的值．
18．（2024·天津南开·一模）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
(1)求a的值：
(2)求证：；
(3)的值
19．（2022·浙江·模拟预测）已知函数的部分图象如图所示，且的面积等于.
(1)求函数的单调递减区间；
(2)若，且，求的值.
【拓展冲刺练】
一、单选题
1．（2024·河南·二模）已知，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·全国·模拟预测）已知，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·全国·模拟预测）已知，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·贵州毕节·模拟预测）已知，，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
5．（23-24高三上·山西吕梁·阶段练习）计算下列各式的值，其结果为2的有（ ）
A．B．
C．D．
6．（2024·全国·模拟预测）已知角的终边过点，则（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
7．（2024·河北承德·二模）已知，则 .
8．（2023·湖南岳阳·一模）已知，，，均为锐角，则 .
四、解答题
9．（2024·全国·模拟预测）在中，内角所对的边分别为，已知．
(1)求的值；
(2)若的面积为为边的中点，求的长．
10．（2024高三上·全国·竞赛）设为坐标原点，为抛物线上异于的一点，，．
(1)求的最小值；
(2)求的取值范围；
(3)证明：．
11．（2024·河南开封·二模）在密码学领域，欧拉函数是非常重要的，其中最著名的应用就是在RSA加密算法中的应用．设p，q是两个正整数，若p，q的最大公约数是1，则称p，q互素．对于任意正整数n，欧拉函数是不超过n且与n互素的正整数的个数，记为．
(1)试求，，，的值；
(2)设n是一个正整数，p，q是两个不同的素数．试求，与φ（p）和φ（q）的关系；
(3)RSA算法是一种非对称加密算法，它使用了两个不同的密钥：公钥和私钥．具体而言：
①准备两个不同的、足够大的素数p，q；
②计算，欧拉函数；
③求正整数k，使得kq除以的余数是1；
④其中称为公钥，称为私钥．
已知计算机工程师在某RSA加密算法中公布的公钥是．若满足题意的正整数k从小到大排列得到一列数记为数列，数列满足，求数列的前n项和．