广东省汕头市潮南区峡山街道2024-2025学年九年级上学期期中数学试卷

这是一份广东省汕头市潮南区峡山街道2024-2025学年九年级上学期期中数学试卷，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.关于x的一元二次方程为实数根的情况是( )
A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根
C. 方程没有实数根D. 不能确定
2.已知二次函数，当时，y随x增大而增大，则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
3.下列四幅图案是四所大学校徽的主体标识，其中是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
4.二次函数图象的顶点所在的象限是( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
5.m是一元二次方程的一个根，则代数式的值是( )
A. B. 2017C. D. 2025
6.某商品原价200元，连续两次降价后售价为148元，下列所列方程正确的是( )
A. B.
C. D.
7.如图，是一个中心对称图形，A为对称中心，若，，，则的长为( )
A.
B.
C.
D. 4
8.若直角三角形的两边长分别是方程的两根，则该直角三角形的面积是( )
A. 6B. 12C. 12或D. 6或
9.已知抛物线，则当时，函数的最大值为( )
A. B. C. 0D. 2
10.如图，抛物线经过正方形OABC的三个顶点A，B，C，点B在y轴上，则ac的值为( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.已知方程有一根是1，那么______.
12.若函数的图象与x轴有且只有一个交点，则a的值为______.
13.如图，在正方形ABCD中，，E为AB的中点，连接DE，将绕点D按逆时针方向旋转得到，连接EF，则EF的长为______.
14.在平面直角坐标系中，将抛物线先绕原点旋转，再向下平移5个单位，所得到的抛物线的顶点坐标是______.
15.观察下列图形规律：当______时，图形“”的个数是“●”的个数的2倍．
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题7分
用配方法解一元二次方程：
17.本小题7分
如图，在中，，点D、点E分别为AB、AC的中点，连接DE，将绕点E旋转，得到试判断四边形BCFD的形状，并说明理由．
18.本小题7分
已知开口向上的抛物线经过点
确定此抛物线的解析式；
当x取何值时，y有最小值，并求出这个最小值．
19.本小题9分
如图，在边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，点B，点O均为格点每个小正方形的顶点叫做格点
作点A关于点O的对称点；
连接，将线段绕点顺时针旋转得点B的对应点，画出旋转后的线段；
连接，求出四边形的面积．
20.本小题9分
如图，二次函数为常数的图象的对称轴为直线
求a的值.
向下平移该二次函数的图象，使其经过原点，求平移后图象所对应的二次函数的表达式.
21.本小题9分
如图，老李想用长为70m的栅栏，再借助房屋的外墙外墙足够长围成一个矩形羊圈ABCD，并在边BC上留一个2m宽的门建在EF处，另用其他材料
当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为的羊圈？
羊圈的面积能达到吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由.
22.本小题13分
旋转是一种重要的图形变换，当图形中有一组邻边相等时，往往可以通过旋转解决问题．如图①，在四边形ABCD中，，，，，
【问题提出】
如图②，在图①的基础上连接BD，由于，所以可将绕点D顺时针方向旋转，得到，则的形状是______
【尝试解决】
在的条件下，求四边形ABCD的面积；
【类比应用】
如图③，等边的边长为2，是顶角的等腰三角形，以D为顶点作一个的角，角的两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，求的周长．
23.本小题14分
已知抛物线过点，
求抛物线的解析式；
点A在直线PQ上且在第一象限内，过A作轴于B，以AB为斜边在其左侧作等腰直角
①若A与Q重合，求C到抛物线对称轴的距离；
②若C落在抛物线上，求C的坐标.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：由根的判别式得，
故有两个不相等的实数根．
故选：
利用一元二次方程的根的判别式即可求解．
此题主要考查一元二次方程的根的判别式，利用一元二次方程根的判别式可以判断方程的根的情况：一元二次方程的根与根的判别式有如下关系：①当时，方程有两个不相等的实数根；②当时，方程有两个相等的实数根；③当时，方程无实数根．上述结论反过来也成立．
2.【答案】B
【解析】解：二次函数，当时，y随x增大而增大，
，
，
故选：
由二次函数的性质得，即可求解．
本题考查了二次函数的图象与性质，熟记二次函数的性质是解题的关键．
3.【答案】A
【解析】解：选项B、C、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形；
选项A能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形；
故选：
根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案．
本题主要考查了中心对称图形，解题的关键是找出对称中心．
4.【答案】B
【解析】解：，
顶点坐标为，
顶点在第二象限．
故选：
首先确定二次函数的顶点坐标，然后根据点的坐标特点写出顶点的位置．
本题考查了二次函数的性质，解题的关键是确定二次函数的顶点坐标．
5.【答案】C
【解析】解：把代入方程得：，
，
，
故选：
把代入方程得关于m的方程，求出的值，再把所求代数式写成含有的形式，整体代入进行计算即可．
本题主要考查了一元二次方程的解，解题关键是熟练掌握一元二次方程的解是使一元二次方程左右两边相等的未知数的值．
6.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程，增长率问题，属于基础题.
根据两次降价后的价格=降价前的价格连续两次降价率，然后由题意可列出方程．
【解答】
解：依题意得连续两次降价后的售价为，
故选：
7.【答案】A
【解析】解：，，
，
该图形是中心对称图形，
，
故选：
解直角三角形求得AC，而，据此即可求解．
本题主要考查了中心对称图形以及解直角三角形，正确求出AC的长是解答本题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：，
或
①当长是4的边是直角边时，该直角三角形的面积是；
②当长是4的边是斜边时，第三边是，该直角三角形的面积是
故选：
先解出方程的两个根为3和4，再分长是4的边是直角边和斜边两种情况进行讨论，然后根据直角三角形的面积公式即可求解．
本题考查了一元二次方程的解法，勾股定理，三角形的面积，正确求解方程的两根，能够分两种情况进行讨论是解题的关键．
9.【答案】D
【解析】解：，
对称轴为直线，
，
抛物线的开口向上，
当时，y随x的增大而减小，
当时，，
当时，y随x的增大而增大，
当时，，
当时，函数的最大值为2，
故选：
根据抛物线的解析式求得对称轴为直线，根据二次函数的性质即可得到结论．
本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：过A作轴于H，
四边形ABCO是正方形，
，
，
，
设，则，
，
解得，，
的值为，
故选：
过A作轴于H，根据正方形的性质得到，得到，利用待定系数法求得a、c的值，即可求得结论．
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，根据图象得出抛物线经过的点的坐标是解题的关键．
11.【答案】0
【解析】解：是一元二次方程的一个根，
，
，
故答案为
将代入到中即可求得的值．
此题主要考查了一元二次方程的解，解题的关键是把已知方程的根直接代入方程得到待定系数的方程即可求得代数式的值．
12.【答案】或2或1
【解析】解：函数的图象与x轴有且只有一个交点，
当函数为二次函数时，，
解得：，，
当函数为一次函数时，，解得：
故答案为：或2或
直接利用抛物线与x轴相交，，进而解方程得出答案．
此题主要考查了抛物线与x轴的交点，正确得出关于a的方程是解题关键．
13.【答案】
【解析】解：四边形ABCD为正方形，
，，
为AB的中点，
，
，
绕点D按逆时针方向旋转得到，
，，
为等腰直角三角形，
故答案为：
先根据正方形的性质得到，，，则利用勾股定理可计算出，再根据旋转的性质得到，，然后利用为等腰直角三角形得到
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了正方形的性质．
14.【答案】
【解析】解：将抛物线绕原点旋转后所得抛物线为：，即，
再将抛物线向下平移5个单位得，
所得到的抛物线的顶点坐标是，
故答案为：
先求出绕原点旋转的抛物线解析式，再求出向下平移5个单位长度的解析式，配成顶点式即可得答案．
本题考查二次函数图象与几何变换，熟知二次函数的图象旋转及平移的法则是解答此题的关键．
15.【答案】11
【解析】解：时，“”的个数是；
时，“”的个数是；
时，“”的个数是；
时，“”的个数是；
第n个图形中“”的个数是3n；
又时，“”的个数是；
时，“”的个数是；
时，“”的个数是；
时，“”的个数是；
第n个“”的个数是；
由，
解得或舍去，
故答案为：
首先根据、2、3、4时，“”的个数分别是3、6、9、12，判断出第n个图形中“”的个数是3n；然后根据、2、3、4，“”的个数分别是1、3、6、10，判断出第n个“”的个数是；最后根据图形“”的个数是“●”的个数的2倍，求出n的值是多少即可．
此题主要考查了规律型：图形的变化类问题，要熟练掌握，解答此类问题的关键是：首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．
16.【答案】解：，
，
，
，
，
，，
【解析】利用配方法即可求出答案．
本题考查一元二次方程的解法，关键是找出一次项系数一半的平方，本题属于基础题型．
17.【答案】解：四边形BCFD是菱形，理由如下：
点D、点E分别是AB、AC的中点，
，，
又是由旋转而得，
，
，，
四边形BCFD是平行四边形，
又，且点D为AB的中点，
，
是菱形．
【解析】四边形BCFD应该是菱形，要证四边形AFCE是菱形，只需通过定义证明它是一组邻边相等的平行四边形即可，此题实际是对判定菱形的方法“一组邻边相等的平行四边形是菱形”的证明．
菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：①定义，②四边相等，③对角线互相垂直平分．还有就是本题中一组邻边相等的平行四边形是菱形．
18.【答案】解：由抛物线过，得：
，
，即
抛物线开口向上，
，
故抛物线的解析式为；
，
当时，y有最小值
【解析】因为开口向上，所以；把点代入抛物线中，得，
再根据求a，从而确定抛物线解析式；
根据二次函数的顶点坐标，求解即可．
此题考查了二次函数的开口方向，顶点坐标，还考查了点与函数的关系．
19.【答案】解：如图所示，点即为所求作；
如图所示，线段即为所求作；
如图，连接，过点A作于点E，过点作于点F，则
四边形的面积
【解析】依据中心对称的性质，即可得到点A关于点O的对称点；
依据旋转的性质即可得出线段绕点顺时针旋转后的线段；
依据割补法进行计算，即可得到四边形的面积．
本题主要考查了中心对称作图，旋转变换作图，割补法求图形的面积等知识，掌握相关作图的方法和割补法求图形面积的方法是解题关键．
20.【答案】解：由二次函数为常数知，该抛物线与x轴的交点坐标是和
对称轴为直线，
解得；
由知，，则该抛物线解析式是：²
抛物线向下平移3个单位后经过原点．
平移后图象所对应的二次函数的表达式是²
【解析】根据抛物线解析式得到抛物线与x轴的交点横坐标，结合抛物线的轴对称性质求得a的值即可．
将a的值代入，结合抛物线解析式求平移后图象所对应的二次函数的表达式．
本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数图象上的点的坐标，根据对于函数图象的描述能够理解函数的解析式的特点，是解决本题的关键．
21.【答案】解：设矩形ABCD的边，则边
根据题意，得，
化简，得解得，，
当时，；
当时，
答：当羊圈的长为40m，宽为16m或长为32m，宽为20m时，能围成一个面积为的羊圈；
答：不能，
理由：由题意，得，
化简，得，
，
一元二次方程没有实数根．
羊圈的面积不能达到
【解析】根据栅栏总长，再利用矩形面积公式即可求出；
先利用矩形面积公式得到，再根据，进行判断即可.
本题考查了一元二次方程的应用，找到周长等量关系是解决本题的关键．
22.【答案】等边三角形
【解析】解：将绕点D顺时针方向旋转，得到，
，，
是等边三角形；
故答案为：等边三角形；
由知，≌，
四边形ABCD的面积=等边三角形的面积，
，
，
；
解：将绕点D顺时针方向旋转，得到，
≌，
，，，，
是等腰三角形，且，
，，
又等边三角形，
，
，
同理可得，
，
，
，C，P三点共线，
，
，
即，
≌，
，
的周长
故的周长为
由旋转的性质得出，，所以是等边三角形；
求出等边三角形的边长为3，求出三角形的面积即可；
将绕点D顺时针方向旋转，得到，则≌，得出，，，证明≌，证得的周长
本题是四边形综合题，考查了图形的旋转变换，等边三角形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，类比思想等．熟练掌握旋转的性质是解决问题的关键．
23.【答案】解：将，两点分别代入，
得：，
解得：
抛物线的解析式是：；
①抛物线的对称轴是y轴，
当点A与点重合时，，
作于H，如图，
是等腰直角三角形，
和也是等腰直角三角形，
点C到抛物线的对称轴的距离等于1；
②如图，C落在抛物线上，
设直线PQ的解析式为，
由题意得：，
解得：，
直线PQ的解析式为
设，则，，
，
落在抛物线上，
将点代入，得：
，
整理，得：，
解得：，或与点B重合，舍去
当时，
，
点C的坐标是
【解析】利用待定系数法解答即可；
①依题意画出图形，利用点的坐标表示出相应线段的长度，再利用等腰直角三角形的性质解答即可得出结论；
②依题意画出图形，设，则，，利用等腰直角三角形的性质求得点C的坐标，利用待定系数法求得m值，则结论可得．
本题主要考查了二次函数的图象和性质，待定系数法，一次函数的图象与性质，抛物线上点的坐标的特征，一次函数图象上点的坐标的特征，都要自己设计想到现在，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．