江苏省无锡市梅村高级中学2024-2025学年高一上学期期中检测数学试卷

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出卷：刘霞 校对：吴后东 审核：徐敏亚
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1 若集合，，则（ ）
A. B. {x＝1或y＝−1}
C. {1，−1}D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题意，集合表示两条直线的交点，联立方程，求出两条直线的交点的坐标，从而即可求得．
【详解】解：由题意，集合和分别表示直线上的点集，
所以集合表示两条直线的交点，
联立方程，解得，
所以集合，
故选：D．
2. 已知是幂函数，则（ ）
A. 3B. C. 6D.
【答案】D
【解析】
【分析】由幂函数的定义得出结果即可.
【详解】由题知，解得，且，解得.
故选：D
3. 已知，则下列结论不正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据不等式的性质可判断ABD，用特值法可判断C．
【详解】∵a＞b，c＞d，∴a＋c＞b＋d，故A正确；
∵a＞b＞0，c＞d＞0，∴ac＞bd，故B正确；
取，则，此时，故C错误；
∵c＞d＞0，则，又a＞b＞0，则，故D正确．
故选：C．
4. 函数的图象是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
分析】利用排除法可得结论.
【详解】由，可得，解得，
所以当时，，排除BD；
由，解得或，
所以时，，排除C.
故选：A.
5. 已知函数，若存在最小值，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】运用二次函数的性质求得的最小值，再结合幂函数的单调性，由题意列出不等式，求解即可.
【详解】当时，，故当时，有最小值为；
时，单调递减，所以，
由题意存在最小值，则，解得，即的最大值为.
故选：A
6. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据抽象函数及具体函数的定义域求解即可.
【详解】因为函数的定义域为，
所以函数的定义域为，
则对于函数，需满足，
解得，即函数的定义域为.
故选：D.
7. 已知函数满足：对任意，当时，都有成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用增函数的定义并结合一次函数与二次函数性质列出不等式求解即可.
【详解】对任意，当时都有成立，
所以函数在上是增函数，
所以，解得，所以实数的取值范围是.
故选：C.
8. 已知函数的定义域为R，对任意实数，满足，且，当时，．给出以下结论：①；②；③为R上的减函数；④为奇函数. 其中正确结论的序号是（ ）
A. ①②④B. ①②C. ①③D. ①④
【答案】D
【解析】
【分析】利用抽象函数的关系式，令判断①的正误；令，判断②的正误；令，可得当时，，再令，结合单调性的定义判断③的正误；令判断④的正误；
【详解】因为，则有：
令，可得，
即，解得，故①正确；
令，，可得，
即，解得，
再令，可得，
即，故②错误；
令，可得，
即
因为，则，可得，所以，
令，不妨设，
可得，即，
因为，则，则，
可得，即，
所以为上增函数，故③错误；
令，可得，
即，整理得，
所以为奇函数，故④正确；
故选：D．
【点睛】思路点睛：由题意采用赋值法，可解决①②，在此基础上继续对各个选项逐一验证可得答案．
二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 下列各组函数是同一个函数的是（ ）
A. 与
B. 与
C. 与
D. 与
【答案】AC
【解析】
【分析】根据函数的“三要素”判断是否为同一个函数.
【详解】对A：只是用不同的字母表示变量，所以是同一个函数，故A正确；
对B：因为函数的定义域为，函数的定义域为，所以与不是同一个函数，故B错误；
对C：函数与的定义域都是，对应关系一样，故它们是同一个函数，故C正确；
对D：函数的定义域是：，函数的定义域是：，定义域不一致，所以它们不是同一个函数，故D错误.
故选：AC
10. 已知，，，则（ ）
A. 的最大值为B. 的最小值为
C. 的最小值为4D. 的最小值为
【答案】ACD
【解析】
【分析】A选项，利用基本不等式得到；B选项，平方后得到，故，B错误；C选项，将3替换为，变形得到，利用基本不等式求出最小值；D选项，化简得到，由基本不等式“1”的代换得到最小值
【详解】A选项，，，，当且仅当时，等号成立，A正确；
B选项，，
故，故B错误.
C选项，，
当且仅当，即时，等号成立，C正确；
D选项，
，
其中，，，故，
所以
，
故，
当且仅当，即时，等号成立，D正确.
故选：ACD
11. 已知函数，的定义域均为，且，．若的图象关于直线对称，，下列说法正确的是（ ）
A. B. 图像关于点对称
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据对称性可判断A；由，，可推出，从而判断B；由已知条件得，利用赋值法可得到，从而判断C；从而得到，，然后根据条件得到的值，再由题意得到，进而可判断D.
【详解】对于A，因为y=gx的图象关于直线对称，
所以，故A正确；
对于B，因为，所以，
又因为，
联立得，
所以y=gx图像关于点对称，故B正确；
对于C，因为，所以，
即，
因为，代入得，
即，
因为，所以，
因为，所以，
所以，故C错误；
对于D，由B选项可知，
因为，所以.
因为，
所以，，
所以，故D正确.
故选：ABD.
【点睛】关键点点睛：本题主要考查抽象函数及其应用，考查运算及变形能力，关键在于根据题中函数的对称性，得到求解所需变形即可.
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 命题：，，则命题的否定为______.
【答案】，，
【解析】
【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题易求.
【详解】根据存在量词命题的否定为全称量词命题知：
命题：，的否定为，.
故答案为：，
13. 定义在上的偶函数，当时，为减函数，则满足不等式的的取值范围是_______.
【答案】
【解析】
【分析】根据偶函数的性质将不等式转化为，再根据单调性可解得结果.
【详解】因为函数是定义在区间上的偶函数，
所以等价于，
因为当时，为减函数，
则，解得，或，
故答案为：.
14. 我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．若的对称中心为，则_______．
【答案】
【解析】
【分析】利用给定性质求出的对称中心，再利用中心对称函数的性质求解即可.
【详解】令，因为，
所以，因为的对称中心为，
所以是奇函数，
故，化简得，
当时，有定义，故，
即得到，而，
，
故，
解得，，可得关于中心对称，
故，即，
，，
故，
.
故答案为：
四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 已知集合，全集．
（1）当时，求
（2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）求出，再根据补集和交集的概念求出答案；
（2）为的真子集，分和两种情况，得到不等式，求出答案.
【小问1详解】
当时，，或x>5，
又，
故或x>5；
【小问2详解】
“”是“”的必要不充分条件，故为的真子集，
若，则，解集为，
若，则或，
解得，
综上，实数的取值范围是
16. 已知函数是定义在上的奇函数，且.
（1）求函数的解析式；
（2）判断函数在上的单调性，并用定义证明；
（3）解不等式.
【答案】（1），.
（2）函数在上为减函数；证明见解析
（3）.
【解析】
【分析】（1）根据函数是定义在上的奇函数，且，即可求得解析式；（2）用函数单调性的定义证明即可；（3）由前两问可得函数的单调性，结合已知条件的奇偶性，利用函数性质解不等式.
【小问1详解】
）函数是定义在上的奇函数，，
解得：，
∴，而，解得，
∴，.
【小问2详解】
函数在上为减函数；证明如下：
任意且，
则，
因为，所以，，
所以，即，所以函数在上减函数.
【小问3详解】
由题意，不等式可化为，
所以，解得，所以该不等式的解集为.
17. 已知函数.
（1）若不等式的解集为，求的取值范围；
（2）当时，解不等式；
（3）对任意的，不等式恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）；
（2）答案见解析； （3）.
【解析】
【分析】（1）对参数进行分类讨论，并结合一元二次函数性质即可求解；
（2）当时，，即，因式分解，对进行讨论，可得解集；
（3）转化为恒成立，分离参数，利用基本不等式求最值求解的取值范围．
【小问1详解】
当时，由，得到，所以，不合题意，
当时，由解集为，得到，解得，
所以实数的取值范围为.
【小问2详解】
当时，，即，
可得，因为，
①当时，即，不等式的解集为；
②当时，，因为，
所以不等式的解集为；
③当时，．又，
所以不等式的解集为，
综上：当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为.
【小问3详解】
由题对任意，不等式恒成立，
即，因为时，恒成立，
可得，设，则，所以，
可得，
因为，当且仅当时取等号.
所以，当且仅当时取等号.
故得m的取值范围.
18. 天气转冷，宁波某暖手宝厂商为扩大销量，拟进行促销活动.根据前期调研，获得该产品的销售量万件与投入的促销费用万元满足关系式（为常数），而如果不搞促销活动，该产品的销售量为4万件.已知该产品每一万件需要投入成本20万元，厂家将每件产品的销售价格定为元，设该产品的利润为万元.（注：利润销售收入投入成本促销费用）
（1）求出的值，并将表示为的函数；
（2）促销费用为多少万元时，该产品的利润最大？此时最大利润为多少？
【答案】（1），
（2）当促销费用为7万元时，该产品的利润最大，最大利润为123万元
【解析】
【分析】（1）先由已知条件求出待定系数，写出促销费用关系式，计算销售收入、投入成本，再表达利润即可；
（2）将函数关系式作配凑变形，利用基本不等式求最值.
【小问1详解】
由题知，时，，
于是，，解得.
所以，.根据题意，
即
所以
【小问2详解】
当且仅当，即时，等号成立
所以当促销费用为7万元时，该产品的利润最大，最大利润为123万元.
19. 给定，若存在实数使得成立，则定义为点．已知函数．
（1）当，时，求的点；
（2）设，，若函数在上存在两个相异的点，求实数t的取值范围；
（3）对于任意的，总存在，使得函数存在两个相异的点，求实数t的取值范围．
【答案】（1）的点为1和3；
（2）；
（3）或．
【解析】
【分析】（1）根据给定的定义，解一元二次方程作答.
（2）根据给定的定义及已知，借助二次函数在有两个不同零点求解作答.
（3）根据给定的定义，利用一元二次方程恒有两个不等实根列式，再结合恒成立的条件及一元二次不等式在区间上有解求解作答.
【小问1详解】
当，时，，依题意，，即，解得或，
所以当，时，的点为1和3.
【小问2详解】
当，时，，依题意，在上有两个不同实数解，
即在上有两个不同实数解，令，
因此函数在上有两个零点，而，因此，解得，
所以实数t的取值范围是．
【小问3详解】
因函数总存在两个相异的点，则方程，即恒有两个不等实根，
依题意，对任意的，总存在使成立，
即对任意的，总存在使成立，而恒成立，
于是得存在，不等式成立，而，
从而得不等式在上有解，又二次函数开口向上，
因此或，解得或，
解得，或，则有或，
所以实数t的取值范围是或．
【点睛】方法点睛:新定义题型的特点是:通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的:遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.