湖南省常德市汉寿县第一中学2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试题

这是一份湖南省常德市汉寿县第一中学2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试题，共15页。试卷主要包含了单项选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．若、、、，则下列说法正确的是（ ）
A．“，”是“”的充分不必要条件
B．“”是“”的必要不充分条件
C．“”是“”的充要条件
D．“”是“”的既不充分也不必要条件
3．设函数定义域为A，函数定义域为B，则（ ）
A．B．C．D．
4．，这三个数的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
5．已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
6．放射性核素锶89的质量M会按某个衰减率衰减，设其初始质量为，质量M与时间t（单位：天）的函数关系为，若锶89的质量从衰减至，，所经过的时间分别为，，，则（ ）．
A．B．C．D．
7．已知，，是的内角，，的对边．已知中，，则面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
8．定义在上的奇函数，且，且对任意不等的正实数，都有，则不等式的解集为（ ）
A．B．.
C．D．
二､多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 2 分.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑.
9．下列命题中，真命题的是
A．的充要条件是
B．，是的充分条件
C．命题“，使得”的否定是“都有”
D．命题“，”的否定是“，”
E．“”是“”的充分不必要条件
10．下列结论中正确的有（ ）
A．若为正实数，，则
B．若a，b，m为正实数，，则
C．若，则
D．当时，的最小值为
11．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．函数在(0,+∞)上单调递增
B．函数在(0,+∞)上单调逆减
C．函数的最小值为0
D．函数的最小值为
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．已知关于的函数是幂函数，则 ．
13．若函数为幂函数，且在0，单调递增，则实数m的值为 .
14．对于任意实数a，b定义当实数x，y变化时，令，则的最大值为 .
四､解答题：本大题共 5 小题，共 80 分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15．求下列各式的值：
(1)
(2)
16．记函数的定义域为集合A，函数的定义域为集合B.
（1）求和；
（2）若，求实数p的取值范围.
17．随着我国经济发展、医疗消费需求增长、人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等因素的影响，医疗器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势.某医疗器械公司为了进一步增加市场竞争力，计划改进技术生产某产品.已知生产该产品的年固定成本为300万元，最大产能为100台.每生产台，需另投入成本万元，且，由市场调研知，该产品每台的售价为180万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完.
(1)写出年利润万元关于年产量台的函数解析式（利润=销售收入-成本）；
(2)当该产品的年产量为多少时，公司所获年利润最大？最大利润是多少？
18．已知函数是定义在上的奇函数，且．
(1)求的值；
(2)判断在上的单调性，并用单调性定义证明；
(3)若函数的图像恒在线段上方，求实数的取值范围．
19．给定区间，若对任意的，恒有函数或恒有函数，则称为上的“函数”．
(1)判断是否为区间上的“函数”；
(2)若是区间上的“函数”，求的取值范围；
(3)若的定义域为，且在上单调递减，且图象是连续不断的曲线，求证：存在区间，使得是区间上的“函数”．
参考答案：
1．D
【分析】根据集合的并集的概念及运算，即可求解，得到答案.
【详解】由题意，集合，，根据集合并集的运算，可得.
故选D.
【点睛】本题主要考查了集合的并集的运算，其中解答中熟记集合的并集的概念是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
2．D
【分析】利用不等式与等式的基本性质、特殊值法结合充分条件、必要条件的定义逐项判断可得出合适的选项.
【详解】对于A选项，取，，，，则，
所以，“，”“”.
取，，，，则，但且不成立，
即“，”“”.
所以，“，”是“”的既不充分也不必要条件，A错；
对于B选项，若，则，由不等式的基本性质可得，
即“”“”.
若，取，则，即“”“”.
所以，“”是“”的充分不必要条件，B错；
对于C选项，若，则，即“”“”，
若，则，但、不一定相等，即“”“”，
所以，“”是“”的充分不必要条件，C错；
对于D选项，若，取，，则，即“”“”，
若，取，，则，即“”“”，
所以，“”是“”的既不充分也不必要条件，D对.
故选：D.
3．C
【分析】先求出集合A、B，再求.
【详解】由定义域为A，得；
由定义域为B，得
∴
故选：C
【点睛】集合的交、并运算：
(1)离散型的数集用韦恩图；
(2) 连续型的数集用数轴．
4．B
【分析】利用指数函数的单调性即可比较大小.
【详解】，

故选：B
5．C
【分析】首先将表示为对数的形式，判断出，然后利用中间值以及对数、指数函数的单调性比较与的大小，即可得到的大小关系．
【详解】因为，所以，
又因为，所以，
又因为，所以，
所以.
故选：C．
【点睛】方法点睛：利用指、对数函数的单调性比较大小时，注意数值的正负，对于同为正或者负的情况可利用中间值进行比较．
6．A
【分析】根据题意列出方程组，指数式化为对数式，结合对数运算法则，求出，结合，得到.
【详解】由题可得，则，即．
因为，所以．
故选：A
7．A
【分析】根据已知条件利用正弦定理可将化简为，从而可得到，即，再结合及余弦定理可得，再利用二次函数求最值即可求解面积最大值，从而可求解.
【详解】中，因为，所以，
则，即，
又，则，即，则，
所以，所以，
所以，
当时，面积取得最大值为，故A正确.
故选：A.
8．C
【分析】利用函数的单调性与奇偶性分析得的性质，从而将不等式转化为，再分类讨论与两种情况即可得解.
【详解】依题意，不妨令，则，
因为，所以，即，
所以在上单调递增，
又为定义在上的奇函数，则在上单调递增，
又，所以，
又，
所以不等式可化为，即，
当，即时，，
则，解得，故；
当，即时，，
则，解得，故；
综上，或，即所求不等式的解集为.
故选：C.
9．BCDE
【分析】根据充分、必要条件的知识、全称命题与特称命题的知识对选项逐一分析，由此确定真命题的选项.
【详解】对于A选项，则，而中，可能，故的充要条件不是.A选项是假命题.
对于B选项.当时，根据不等式的性质可知，故，是的充分条件.B选项是真命题.
对于C选项，根据特称命题的否定是全称命题的知识可知，C选项正确.
对于D选项，根据全称命题的否定是特称命题的知识可知，D选项正确.
对于E选项，解得或，所以“”是“”的充分不必要条件.E选项正确.
故选：BCDE.
【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查全称命题与特称命题，属于基础题.
10．ACD
【分析】A，B选项考查不等式的证明，应用作差法判断正负即可解决；C选项考查不等式的性质，在不等式左右两边同时乘以正数，不等号不变；D选项考查基本不等式，正数时，乘积确定可以求出和的最小值.
【详解】解：对于A，∵为正实数，，
∴，故A正确；
对于B，若为正实数，，则，则，故B错误；
对于C，，若，则，故C正确；
对于D，当时，根据基本不等式可得：，的最小值为，当且仅当时取等号，故D正确.
故选：ACD
11．BCD
【分析】由函数的单调性可以判断ABC，结合二次函数函数图象与性质可判断D
【详解】对于A：函数，
当时，，当x=1时，y=2，
所以函数在(0,+∞)上不单调递增，A错误.
对于B：函数，
因为函数和函数在(0,+∞)上单调递减，
所以在(0,+∞)上单调递减，B正确.
对于C：因为函数在上单调递增，
且当x=0时，y=0，
所以y=f（x）+g（x）的最小值为0，C正确.
对于D：函数，
当时，函数y=f（x）-g（x）取最小值，且最小值为，D正确.
故选：BCD
12．
【详解】关于的函数是幂函数，则 .
13．2
【分析】根据幂函数定义和单调性求解．
【详解】由题意，或，
时，函数为，在上递减，
时，函数为，在上递增．
所以．
故答案为：2．
14．
【分析】由题意得到，再结合基本不等式即可求解.
【详解】由题意当时，必有，
故要使得取得最大值，必须当，
此时，
所以，
令，
则
，
当且仅当即时取等号，
所以，
所以，
故答案为：
15．(1)
(2)52
【分析】（1）利用指数幂的运算性质化简计算即可；
（2）利用对数运算法则化简计算即可.
【详解】（1）原式；
（2）原式.
16．（1）；（2）.
【分析】（1）根据偶次根式被开方数大于等于零、分式分母不为零求解出，再根据交集和并集运算计算出和；
（2）根据子集关系得到对应的不等式，即可求解出的取值范围.
【详解】（1）函数的定义域为集合，
由，解得函数的定义域为集合.
；
（2），
又，，
实数的取值范围是.
【点睛】本题考查交集、并集运算以及根据集合间的子集关系求解参数范围，理解集合运算以及集合间关系是解答本题的关键，难度较易.
17．(1).
(2)当年产量为60台时，公司所获利润最大，最大利润是1580万元.
【分析】（1）根据投入成本及销售收入写出利润函数即可；
（2）分段分别利用二次函数配方、基本不等式求最值，比较大小即可得解.
【详解】（1）当时，.
当时，.
所以.
（2）当时
，当时，万元.
当时万元.
当且仅当，即时，上式等号成立.
又，所以当年产量为60台时，公司所获利润最大，最大利润是1580万元.
18．(1)，
(2)函数在上为减函数；证明见解析
(3)
【分析】（1）由是，得，结合，即可得出的值；
（2）根据定义，取任意且，证明即可；
（3）由在上是减函数，得出最小值，即可求出的取值范围．
【详解】（1）函数是定义在上的奇函数，
所以，即，解得，则，
又因为，即，解得，
所以，．
（2）函数在上为减函数；
证明如下：取任意且，
则，
因为，所以，
又因为，
所以，所以，即，
所以函数在上为减函数．
（3）因为函数在上为减函数，
所以，
所以．
19．(1)不是
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）求函数在区间的值域，根据区间与值域的关系判断可得；
（2）利用换元法将复合函数的值域转化为二次函数的值域，再根据定义得到包含关系或交集为空集，由此建立不等式求解的范围；
（3）根据与的大小分类讨论，分别找出满足定义条件的区间即可.
【详解】（1）给定区间，
若对任意的，恒有函数，即；
若对任意的，恒有函数，即.
函数，.
则在上单调递减.
又，，
则在的值域为.
由，
可知对任意的，不恒成立；
又，
可知对任意的，也不恒成立.
所以不是区间上的“函数”.
（2）令，由，则，
则，
则函数在上单调递增，
又，
即在上的值域为.
因为是区间上的“函数”，
所以，或，
若，则，解得；
若，则，或，解得或.
综上所述，的取值范围为.
（3）由在上单调递减，
设任意，，则，
所以，即，
故在上也单调递减.
设任意区间，，由.
则.
①若，则,
故是区间上的“函数”；
②若，
则存在，使，且，
由函数图象连续不断，且单调递减，
则存在，使，
又，则，又，
所以当时，，
则，
故是区间上的“函数”；
③若，
则，
故是区间上的“函数”；
④若，
则存在，使，且，
由函数图象连续不断，且单调递减，
则存在，使，
又，则，又，
所以当时，，
则，
故是区间上的“函数”；
⑤若，则,
故是区间上的“函数”.
综上所述，存在区间，使得是区间上的“函数”．
【点睛】关键点点睛：解决此题的关键在于两点，一是理解定义条件，转化为给定区间与函数值域的关系；二是分类讨论思想的应用，根据值域端点与给定区间端点的大小产生分类讨论，并寻找符合定义的恰当区间.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
D
C
B
C
A
A
C
BCDE
ACD
题号
11









答案
BCD