浙江省杭州市2025届高三上学期11月质量检测（一模）数学试卷(含答案)

这是一份浙江省杭州市2025届高三上学期11月质量检测（一模）数学试卷(含答案)，共19页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知集合，，则( )
A.B.C.D.
2．函数是( )
A.奇函数B.偶函数
C.既非奇函数也非偶函数D.既是奇函数也是偶函数
3．已知直线是双曲线的一条渐近线，则C的离心率等于( )
A.B.C.D.或
4．将函数的图像向左平移个单位，得到函数的图像，则"是偶函数"是""的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
5．已知向量，，若，则( )
A.1或B.或C.或2D.或1
6．设，满足.若函数存在零点，则( )
A.B.C.D.
7．已知，则( )
A.1B.C.D.2
8．对，不等式恒成立，则( )
A.若，则B.若，则
C.若，则D.若，则
二、多项选择题
9．如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点.则满足的是( )
A.B.
C.D.
10．已知函数，则( )
A.若，则
B.若，则
C.若，则在上单调递减
D.若，则在上单调递增
11．已知函数的定义域为R，若，则( )
A.B.
C.D.
三、填空题
12．曲线在点处的切线的斜率是________.
13．已知双曲线，都经过点，离心率分别记为，，设双曲线，的渐近线分别为和.若，则________.
四、双空题
14．已知复数，的实部和虚部都不为0，满足①；②.则________，________.（写出满足条件的一组和）
五、解答题
15．已知在中，，.
（1）判断的形状，并说明理由;
（2）若点D在边上，且.若，求的面积.
16．在直角坐标系中，抛物线的焦点为F，点M在抛物线C上，若的外接圆与抛物线C的准线相切，且该圆的面积为.
（1）求C的方程;
（2）若点关于直线对称的点在C上，求k的值.
17．一设随机变量X所有可能的取值为，，…，，，且.定义事件的信息量为，称X的平均信息量为信息熵.
（1）若，，求此时的信息熵;
（2）最大熵原理:对一个随机事件的概率分布进行预测时，要使得信息熵最大.信息熵最大就是事物可能的状态数最多，复杂程度最大，概率分布最均匀，这才是风险最小（最合理）的决定.证明:，并解释等号成立时的实际意义.
（参考不等式:若，则）
18．已知函数.
（1）若，求的单调区间;
（2）若，求证:;
（3）若，使得，求证:.
19．已知正项有穷数列A：，，…，，设，记T的元素个数为.
（1）若数列A：1，2，4，16，求集合T，并写出的值;
（2）若A是递增数列或递减数列，求证:”的充要条件是“A为等比数列”;
（3）若，数列A由2，4，8，…，，这个数组成，且这个数在数列A中每个至少出现一次，求的取值个数.
参考答案
1．答案：A
解析：因为，则，解得，
则，所以.
故选：A
2．答案：B
解析：当时，，则，
当时，，则，
综上可得，，
即函数为偶函数.
故选：B
3．答案：A
解析：的渐近线方程为，
因此，故，
故离心率为，
故选：A
4．答案：B
解析：由题意可得，由是偶函数可得，
且，当时，，当时，，
所以由是偶函数可得或，故充分性不满足；
当时，可得为偶函数，故必要性满足；
所以"是偶函数"是""的必要不充分条件.
故选：B
5．答案：D
解析：，
，
，即
或.
故选：D.
6．答案：B
解析：函数的定义域为，且，均为单调递增函数，故函数是增函数，
由于，故，
满足，说明，，中有1个是负数一定是，两个正数或3个负数，
由于存在零点，故.
故选：B.
7．答案：C
解析：由可得
，
故选：C
8．答案：D
解析：由得，
对于选项A、B，若，可令，不等式可化为，
当时，，，
要使恒成立，则需，即恒成立，
，
当时，，，
要使恒成立，则需，即恒成立，
，
，
当时，，，
要使恒成立，则需，即恒成立，
，
综上可得，不存在b使得不等式恒成立，选项A、B错误.
对于选项C、D，若，
，
，
要使不等式恒成立，则需，
函数，在为增函数，
函数，有相同的零点，
由得，由得，，
，即，
，
，选项D正确.
故选D.
9．答案：BC
解析：设正方体的棱长为2，
对于A，如图（1）所示，连接，则，
故（或其补角）为异面直线，所成的角，
在直角三角形，，，故，
故不成立，故A错误.
对于B，如图（2）所示，取的中点为Q，连接，，则，，
由正方体可得平面，而平面，
故，而，故平面，
又平面，，而，
所以平面，而平面，故，故B正确.
对于C，如图（3），连接，则，由B的判断可得，
故，故C正确.
对于D，如图（4），取的中点Q，的中点K，连接，，，，，
则，
因为，故，故，
所以或其补角为异面直线，所成的角，
因为正方体的棱长为2，故，，
，，故不是直角，
故，不垂直，故D错误.
故选：BC.
10．答案：ACD
解析：对于AB，，
因为，所以是的极小值点，
则，解得，
此时，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，所以，故A正确，B错误；
对于C，若，则，
当时，，所以在上单调递减，故C正确；
对于D，若，则，
当时，，所以在上单调递增，故D正确.
故选：ACD.
11．答案：BC
解析：令，，则
令，则
则，，
或
令，，则
若，则，矛盾，
，则，A选项错误；
令，则，B选项正确；
令，则，则，即，C选项正确；
由A、C选项中结论，令，则，则
令，则，
即，D选项错误.
故选：BC.
12．答案：
解析：对函数求导得，当时，，因此，所求切线的斜率为，故答案为.
13．答案：1
解析：当时，，则，
当时，不妨设，
则，
因为双曲线经过点，
所以，
所以，
因为，所以，则双曲线的焦点在y轴上，
所以，
同理，
因为，所以，则双曲线的焦点在x轴上，
所以，
所以，即，
综上所述，.
故答案为：1.
14．答案：；
解析：设，，
则，
，
由，
整理得，即，
所以，
可取，，
所以，.
故答案为：；.（答案不唯一，只要满足，，即可）
15．答案：（1）三角形为直角三角形；
（2）
解析：（1）由可得，
故，进而，
由于，故，
又，故，
化简可得，故，
由于，故，
进而，故三角形为直角三角形，
（2）由于，，且为直角三角形，
设，则，，，
故在三角形中，由余弦定理可得，
即，解得，
故
16．答案：（1）；
（2）1
解析：（1）
因为的外接圆的面积为，则其半径为，
且外接圆的圆心一定在的垂直平分线上，
其中焦点，准线方程为，
所以圆心的横坐标为，则圆心到准线的距离为，
即，所以C的方程为.
（2）设点关于直线对称的点为，
则两点连线的中点坐标在直线上，即，
化简可得①，
由对称性又可知，和所在直线与垂直，则②，
联立①②可得，，解得，所以，
又因为在抛物线上，则，即，
即，
即，即，
所以，
其中时，，所以，
所以，即.
17．答案：（1）；
（2）证明见详解.
解析：（1）当时，，且，，
，，，
（2）令，则，
有题意可知当时，风险最小（最合理）的决定，
当随机变量中每个变量发生的概率相同的时候，这时事物中每一个结果发生的可能性相同，情况分析是最复杂的，也是最合理的.
18．答案：（1）单调递减区间是，无增区间；
（2）证明见详解；
（3）证明见详解
解析：（1）当时，，，
则
令，则，
令，，
，
在区间上单调递减增，在区间上单调递减，
，
的单调递减区间是，无增区间.
（2），
当时，显然成立，
当时，，令，
，
在区间上单调递减，，
在区间上单调递减，，
综上所述，当时，.
（3），
，令，则，在区间上单调递减，在区间上单调递增，
，.
不妨设，则，，
先证：，
易知在处的切线方程为，
该切线与直线的交点的横坐标为，
令，则，
当时，，此时，
当时，图像在下方.
，
，
再证，设，，
易知直线方程为，直线方程为，
则直线，与直线交点的横坐标为，，
，
，同理可证：，
，类似的可以证明，
，即，
19．答案：（1），；
（2）证明见解析
（3）
解析：（1）因为，，，，
故，，，，，，
所以，；
（2）充分性：若A是等比数列，设公比为q.
不妨考虑数列A是递增数列，所以.
则当时，.
所以，故，得证.
必要性：若.
因为A是递增数列，所以，
所以且互不相等，又，
所以，
又，
所以，且互不相等.
所以，，，.
所以，
所以A为等比数列；
若A为单调递减数列，同理可证.
（3）因为数列A由2，4，8，…，，这个数组成，任意两个不同的数作商（可相等），
比值只可能为1，2，，…，，，…，，，，…，，，…，，共个不同的值；
又因为2，4，8，…，，这个数在数列A中共出现次，所以数列A中存在，所以.
综上，，且.
设数列：2，，…，，，，，…，，
此时，.
现对数列分别作如下变换：
把前面的移动到和后面的之间，得到数列：2，，…，，，，，…，，
此时，.
再把前面的移动到和之间，得到数列：2，，…，，，，，，，…，，
此时，.
依次类推，最后把前面的2移动到最后一项，得到数列：：，，，，，…，2，2，
此时，，
综上，可以取到从到的所有个整数值，所以的取值个数为.