湖南省常德市多校2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷(含答案)

这是一份湖南省常德市多校2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷(含答案)，共13页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．若集合,,则( )
A.B.C.D.
2．函数为幂函数,则该函数为( )
A.增函数B.减函数C.奇函数D.偶函数
3．下列各组的两个函数中,表示同一个函数的是( )
A.,B.,
C.,D.,
4．已知,则( )
A.B.
C.D.
5．设集合,,那么下面的4个图形中,能表示集合M到集合N的函数关系的有( )
A.①②③④B.②③C.①②③D.②
6．已知的定义域为则的定义域为( )
A.B.C.D.
7．已知偶函数在上单调递减,则下列结论正确的是( )
A.B.
C.D.
8．已知定义在上的函数满足，对任意的，且，恒成立，则不等式的解集为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．关于x不等式的解集为或,则下列结论正确的是( )
A.B.C.D.
10．下列说法正确的是( )
A.已知,则的最小值为5
B.当时,的最小值为4
C.设,则“”是“”成立的充分不必要条件
D.命题q:,是真命题,则实数
11．已知函数的定义域为R,对任意实数x,y满足.且,当时,,则下列结论正确的是( )
A.B.C.为增函数D.为奇函数
三、填空题
12．已知,是偶函数,则实数a的值为______.
13．已知是二次函数,且,若,则的解析式为______.
14．若函数的定义域和值域均为,则b的值为___________.
四、解答题
15．已知奇函数,
（1）求实数m的值;并作出的图象;
（2）若函数在区间上单调递减,求a的取值范围.
16．记全集,集合,或.
（1）若,求;
（2）若,求a的取值范围;
（3）若,求a的取值范围.
17．中共中央政治局会议中明确提出支持新能源汽车加快发展.发展新能源汽车是我国从汽车大国迈向汽车强国的必由之路,是推动绿色发展的战略举措.2024年某企业计划引进新能源汽车生产设备,通过市场分析,全年需投入固定成本2500万元,每生产x（百辆）,需另投入成本（万元）,且,由市场调研知,若每辆车售价万元,则当年内生产的车辆能在当年全部销售完.
（1）求出2024年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式;
（2）当2024年的年产量为多少百辆时,企业所获利润最大?并求出最大利润.
18．已知
（1）当,解关于x的不等式;
（2）若存在,使得不等式成立,求实数a的取值范围.
19．已知函数.
（1）若,判断在上的单调性,并用定义法证明;
（2）若存在,使得成立,求实数a的取值范围;
（3）若对任意的,任意的,恒成立,求实数的取值范围.
参考答案
1．答案：B
解析：集合,,
所以.
故选:B
2．答案：D
解析：由题意知,即,
则该函数,此时函数定义域为全体实数集,
该函数在定义域内有增有减,不是单调函数;
函数满足,为偶函数.
故选:D
3．答案：A
解析：对于A,的定义域为R,,定义域为R,定义域和解析式都同,是同一个函数,故A正确;
对于B,,定义域为R,的定义域为,定义域和解析式都不同,不是同一个函数,故B错误;
对于C,,,解析式不同,不是同一个函数,故C错误;
对于D,由解得,故的定义域为,
由解得或,故的定义域为,定义域不同,不是同一个函数,故D错误.
故选:A
4．答案：A
解析：因为,且,
所以.
故选:A.
5．答案：B
解析：对于①,从图中可看出,函数的定义域是,不符合集合M到集合N的函数关系;
对于②,函数的定义域、对应法则和值域都符合集合M到集合N的函数关系;
对于③,函数的定义域、对应法则和值域都符合集合M到集合N的函数关系;
对于④,任取,在图中可看到有两个y的值与之对应,不符合函数定义的要求.
故②,③可表示集合M到集合N的函数关系.
故选:B.
6．答案：C
解析：因为的定义域为,
所以,
所以,
所以
所以的定义域为.
故选:C.
7．答案：D
解析：由于函数为偶函数,故,,
且在上单调递减,
所以,即,
故选:D.
8．答案：D
解析：由，且，得，即.令，不妨设，则，可得，即，即，所以在上单调递减.不等式转化为，其中，又，所以，则，解得，所以不等式的解集为.
9．答案：AD
解析：因为关于x不等式的解集为或,
则且的两根为和,由韦达定理得到,
得到,,故易知选项A正确,
对于选项B,因为,所以选项B错误,
对于选项C,,所以选项C错误,
对于选项D,,所以选项D正确,
故选:AD.
10．答案：ABC
解析：对于A,当时,,,
所以,
当且仅当时等号成立;所以
当时,的最小值为,A正确;
对于B,因为,
所以,当且仅当时等号成立,
所以当时,的最小值为,B正确;
对于C,不等式,等价于或,
所以由可推出,由不能推出,
所以“”是“”成立的充分不必要条件,C正确;
对于D,由命题q为真命题可得有两个不等实根,
所以,所以,D错误.
故选:ABC.
11．答案：ACD
解析：函数的定义域为R,对任意实数x,y满足,
令,可得,即有,故A正确;
由,可得,
,即,可得,故B错误;
令,则,即,
则函数为奇函数,故D正确;
令,可得即,
当时,,即,,
设,即,即有,
则在R上递增,故C正确.
故选:ACD.
12．答案：1
解析：因为是偶函数,则其定义域关于原点对称,
所以,解得,
故答案为:1.
13．答案：
解析：由已知设,
因为,所以,
因为,
,
所以,解得,
所以.
故答案为:.
14．答案：3
解析：由函数,可得对称轴为,
故函数在上是增函数.
函数的定义域和值域均为,
,即.
解得,或.,.
故答案为：3.
15．答案：（1）;图象见解析
（2）
解析：（1）设,则,,
函数是奇函数,,
;
如下图:
（2）由图象可知,,
,
故a的取值范围为:.
16．答案：（1）或
（2）
（3）
解析：（1）当时,,则或,
因此或或或.
（2）若,则,解得,
故a的取值范围为.
（3）若,则,
当时,,解得,
当时,,或,
解得,或,
综上知,a的取值范围为.
17．答案：（1）
（2）100,最大利润为2100万元
解析：（1）由题意知利润收入总成本,
所以利润,
故2023年的利润万元关于年产量百辆的函数关系式为.
（2）当时,,
故当时,,
当时,,
当且仅当,即时取得等号;
综上所述,当产量为100(百辆)时,取得最大利润,最大利润为2100万元.
18．答案：（1）答案见详解
（2）
解析：（1）若即,原不等式为,解得,
即原不等式的解集为;
若即,方程的解为和,
当时,,原不等式的解集为;
当时,,原不等式的解集为R;
当即时,,原不等式的解集为.
综上,当时,原不等式的解集为;
当时,原不等式的解集为;
当时,原不等式的解集为;
当时,原不等式的解集为R.
（2）由,得,
对于方程,,
所以在R上恒成立,故,
令,则,得可变形为,即,
对于对勾函数,在上单调递减,在上单调递增,
所以在处取得最小值,为,
所以在上的最大值为,
得.
综上,a的取值范围为.
19．答案：（1）在单调递增,证明见解析
（2）
（3）
解析：（1）证明:当时,,
任取、,且,
则,,,,
所以,,所以,函数在单调递增.
（2）由题,因为,则,
所以,,即,
由（1）知,函数在单调递增,
所以,当时,函数取最大值,即,
所以,,则,
因此,实数a的取值范围是.
（3）对任意的,任意的,恒成立,
即,
令,
因为时,,
则,
所以,对任意的恒成立,
令,则,解得,
所以,实数的取值范围是.