2025海南省先锋联盟高一上学期11月期中考试数学含解析

这是一份2025海南省先锋联盟高一上学期11月期中考试数学含解析，共20页。试卷主要包含了单项选择题等内容，欢迎下载使用。

考试时间 120分 满分150分
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 集合，，则（ ）
A B. C. D.
2. 已知命题，，则是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
3. 下列函数与表示同一函数的是（ ）
A. B.
C. D.
4. 函数，则函数的单调递减区间为（ ）
A. B.
C. 和D.
5. 设，若关于不等式的解集是区间0,2的子集，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
6. 设函数的最大值为，最小值为，则（ ）
A. 2B. 4C. 6D. 8
7. 已知，若恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8. 已知函数，其中，下列结论正确的是（ ）
A. 存在实数，使得函数为减函数
B. 存在实数，使得函数为偶函数
C. 当时，方程有三个实根
D. 当时，若方程有两个实根，则
二.多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知，，，则下列命题为真命题的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，，则D. 若，则
10. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则以下说法中正确的是（ ）
A.
B 若，则
C. 若，则函数在区间上有最大值6
D. 若，则函数在上单调递增
11. 对，表示不超过的最大整数，如，，我们把，叫做取整函数，也称为高斯函数.以下关于“高斯函数”的命题，其中是真命题的有（ ）
A. 若，则
B. 对，有成立
C. 不等式的解集为
D. 若函数，则
三.填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 写出同时满足以下条件的一个函数的解析式为______.
①定义域为，②在上是增函数，③函数是偶函数.
13. 已知幂函数经过点，则______.
14. 已知函数，若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是______.
四.解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知集合，集合.
（1）分别求，.
（2）已知关于不等式解集为，且，求，的值.
16. 已知集合，.
（1）若命题是命题的充分不必要条件，求实数的取值范围；
（2）若命题，是假命题，求实数的取值范围.
17. 已知函数定义域在−1,1上的奇函数，且.
（1）求，的值；
（2）判断函数y=fx的单调性，并用定义法证明；
（3）求使得成立的实数的取值范围.
18. 新能源汽车是低碳生活的必然选择和汽车产业的发展必然.某汽车企业为了响应国家号召，2024年积极引进新能源汽车生产设备，通过分析，全年需要投入固定成本3000万元，每生产（百辆）新能源汽车，需另投入成本万元，且由市场调研知，每辆车售价9万元，且生产的车辆当年能全部销售完.
（1）求出2024年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式；（利润=销售量售价-成本）；
（2）2024年产量为多少百辆时，企业所获利润最大?并求出最大利润.
19. 小明同学通过课外阅读了解到一元三次函数的图象均存在对称中心，而函数的图象关于成中心对称的充要条件是是奇函数.若函数.
（1）若，，，
①求函数的图象的对称中心.
②我们知道：设区间，当，若都有，则在上是增函数，并且在关于对称的区间上有相同的单调性.请依据以上知识，求出的单调递增区间.
（2）若函数是奇函数，解关于的不等式.
2024-2025学年度第一学期高一年级期中先锋联盟
数学调研
考试时间 120分 满分150分
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题意，根据集合的交集概念可得答案.
【详解】因为集合，，则.
故选：A.
2. 已知命题，，则是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】由全称命题的否定为特称命题即可求解.
【详解】，的否定为：，.
故选：D
3. 下列函数与表示同一函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】定义域与对应法则均相同为同一函数，对四个选项一一判断，得到答案.
【详解】A选项，的定义域为，的定义域为R，定义域不同，
故两函数不是同一函数，A错误；
B选项， ，定义域为R，故与定义域和对应法则均相同，B正确；
C选项，，与的对应法则不同，C错误；
D选项，的定义域为，故与的定义域不同，
故两函数不是同一函数，D错误.
故选：B
4. 函数，则函数的单调递减区间为（ ）
A. B.
C. 和D.
【答案】C
【解析】
【分析】分，两种情况讨论，并根据解析式直接判断即可．
【详解】函数的定义域为，
当时，fx=1x单调递减，
当时，，在0,1单调递减，在单调递增，
故的单调减区间为和0,1.
故选：C.
5. 设，若关于的不等式的解集是区间0,2的子集，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】解一元二次不等式结合真子集的概念即可得解.
【详解】不等式可化为，其解集是区间0,2的子集，
所以，且，所以.
.
故选：B.
6. 设函数的最大值为，最小值为，则（ ）
A. 2B. 4C. 6D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】构造奇函数，即可求解.
【详解】，设，
,则为奇函数，
设的最大值为，则最小值为，
则,,
所以.
故选：B.
7. 已知，若恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由基本不等式结合一元二次不等式求解即可.
【详解】由，，，得，
当且仅当即时取等号.依题意，，解得，
故选：A
8. 已知函数，其中，下列结论正确的是（ ）
A. 存在实数，使得函数为减函数
B. 存在实数，使得函数为偶函数
C. 当时，方程有三个实根
D. 当时，若方程有两个实根，则
【答案】D
【解析】
【分析】对于A，借助图形即可判断，对于B，由，，可判断，对于C，通过可判断，对于D，由y=fx，有两个交点，即可判断.
【详解】选项A.当时，在上单调递增；
当时，，
当时，，
函数在上很明显不单调，故A错误.
选项B.，，且不能同时取等，所以，不是偶函数，故B错误.
选项C.当时，方程有两个实根，故C错误.
选项D.
若方程有两个实根，即y=fx，
有两个交点，此时直线与y=fx在的部分相切，（如上图）
即，
由，故，故D正确.
故选：D
二.多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知，，，则下列命题为真命题的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，，则D. 若，则
【答案】AC
【解析】
【分析】利用不等式的性质判断各项的正误即可.
【详解】A：因为，则，所以，A正确；
B：因为，取，，则，，所以，B错误；
C：因为，则，又，所以，C正确；
D：因为，则，所以，D错误.
故选：AC
10. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则以下说法中正确的是（ ）
A.
B. 若，则
C. 若，则函数在区间上有最大值6
D. 若，则函数在上单调递增
【答案】BD
【解析】
【分析】利用奇函数的性质判断AB，利用基本不等式判断C，利用单调性的定义判断D即可.
【详解】选项A.函数是定义在上的奇函数，故，A说法错误；
选项B.由已知得，解得，B说法正确；
选项C.若且，则，，
当且仅当，即时，等号成立，取到最小值6，C说法错误；
选项D.若，则当时，有，
所以对，且，
有，
所以在上单调递增，
又因为是奇函数，且当时，，所以在上单调递增，且，
又有，故在R上单调递增，D说法正确；
故选：BD
11. 对，表示不超过的最大整数，如，，我们把，叫做取整函数，也称为高斯函数.以下关于“高斯函数”的命题，其中是真命题的有（ ）
A. 若，则
B. 对，有成立
C. 不等式的解集为
D. 若函数，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据高斯函数的性质可判断A的正误，根据x的性质结合一元二次不等式的解法可判断C的正误，结合二次函数的性质可判断D的正误，设，可判断该函数的周期为1并可证明时，据此可判断B的正误.
【详解】对于A，当时，则 ，故A错误
对于B，设，
则
，
故为周期函数且周期为1，下面考虑时的值，
当时，对确定的，，，
，，而，
故此时，
综上，时，故时，，
所以，故B正确；
对于C，由得或，
所以不等式的解集为，故C正确
对于D.函数，
因为x是整数，所以，即函数，故D正确.
故选：BCD.
【点睛】关键点点睛：与高斯函数有关的不等式，需先求出高斯函数满足的不等式，再根据高斯函数的性质得到自变量的性质，而与高斯函数有关的恒等式的证明，需构建新函数，利用其周期性缩小讨论的范围.
三.填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 写出同时满足以下条件一个函数的解析式为______.
①定义域为，②在上是增函数，③函数是偶函数.
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】根据条件三可得函数的对称轴，结合二次函数的性质，可得答案.
【详解】由函数为偶函数，且函数的图象向右平移个单位可得函数fx的图象，
则函数fx的对称轴为直线x=1，
由题意可得函数.
故答案为：答案不唯一
13. 已知幂函数经过点，则______.
【答案】
【解析】
【分析】设，由求出的值，可得出函数的解析式，代值计算可得出的值.
详解】设幂函数，则，可得，即，
所以，，则，，所以.
故答案为：.
14. 已知函数，若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】由题意可得在上连续，且在上单调递增，可得对任意，恒成立，由函数的单调性，解不等式组，即可得到所求范围．
【详解】，所以,
因为在上单调递增，在上单调递增，且连续，
所以在上单调递增，
所以不等式，
所以对任意，恒成立，所以，
解得，
故答案为：
四.解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知集合，集合.
（1）分别求，.
（2）已知关于的不等式解集为，且，求，的值.
【答案】（1），
（2），.
【解析】
【分析】（1）解出集合，根据补集以及并集的运算，即可求出答案；
（2）根据一元二次不等式的解集，得到的符号及一元二次方程的根，利用韦达定理即可求出答案.
【小问1详解】
由已知得， ，
所以，.
【小问2详解】
由题意知且和是方程的两个根，
，即，，
因为，
，.
16. 已知集合，.
（1）若命题是命题的充分不必要条件，求实数的取值范围；
（2）若命题，是假命题，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由已知得，分和求解即可；
（2）利用分类讨论的方法求解.
【小问1详解】
由题可知
因为p是q的充分不必要条件，所以，
①当时，，即，成立，
②当时，， 解得，经验证等号成立，所以，
综上，的取值范围为.
【小问2详解】
解法一：由（1）知，
因为命题，是假命题
所以命题，是真命题，
所以，
又因为，所以， 解得.
实数的取值范围为.
解法二：由（1）知，
因为“命题，”是假命题
所以命题，是真命题，
所以，
如图1
，所以
如图2
，此时k无解，
如图3
，此时k无解.，
如图4
，所以，
综上，实数的取值范围为.
17. 已知函数的定义域在−1,1上的奇函数，且.
（1）求，的值；
（2）判断函数y=fx的单调性，并用定义法证明；
（3）求使得成立的实数的取值范围.
【答案】（1），
（2）函数在上是减函数，证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）根据奇函数的性质以及已知点建立方程，利用奇函数的定义验证，可得答案；
（2）根据函数单调性定义，结合作差法，可得答案；
（3）根据函数单调性，整理化简不等式，可得答案.
【小问1详解】
因为函数是定义在上的奇函数，所以
得，解得，所以
由题意，定义域在关于原点对称，且任意，
都有，所以是奇函数，满足题意，
故，；
【小问2详解】
函数在上是减函数.
设，，，
，
，，，所以，
，所以，所以在上是减函数.
【小问3详解】
因为是定义在上的奇函数，所以
由（2）知在上是减函数.
所以， 解得，解得.
故的取值范围.
18. 新能源汽车是低碳生活的必然选择和汽车产业的发展必然.某汽车企业为了响应国家号召，2024年积极引进新能源汽车生产设备，通过分析，全年需要投入固定成本3000万元，每生产（百辆）新能源汽车，需另投入成本万元，且由市场调研知，每辆车售价9万元，且生产的车辆当年能全部销售完.
（1）求出2024年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式；（利润=销售量售价-成本）；
（2）2024年产量为多少百辆时，企业所获利润最大?并求出最大利润.
【答案】（1）
（2）年产量45百辆时利润最大，最大利润为13640万元.
【解析】
【分析】（1）根据题目给定的函数解析式，利用给定公式，可得答案；
（2）根据二次函数以及基本不等式，可得分段函数的最值可得答案.
【小问1详解】
每辆车售价9万元，年产量（百辆）时销售收入为900x万元，
总成本为，
【小问2详解】
由（1）当时，，
所以时，（万元）
当时，
当且仅当即时取等号
即（百辆）时，
因为万元，
所以年产量45百辆时利润最大，最大利润为13640万元.
19. 小明同学通过课外阅读了解到一元三次函数的图象均存在对称中心，而函数的图象关于成中心对称的充要条件是是奇函数.若函数.
（1）若，，，
①求函数的图象的对称中心.
②我们知道：设区间，当，若都有，则在上是增函数，并且在关于对称区间上有相同的单调性.请依据以上知识，求出的单调递增区间.
（2）若函数是奇函数，解关于的不等式.
【答案】（1）①的对称中心为，②的递增区间是，
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）①根据对称中心的充要条件构造奇函数，利用赋值法可得解，②根据增函数定义可判断函数在内的单调递增区间，再结合中心对称可得解；
（2）根据函数为奇函数可得原函数的对称中心，即可得，则，解不等式即可.
【小问1详解】
①，，，，
设关于中心对称，则为奇函数，
，
是奇函数，
则，，解得，，
所以的对称中心为；
②
，
，
设，
当时，都有，
只需，，
当时，的递增区间是，
又的对称中心为，在也递增，
的递增区间是，；
【小问2详解】
因为函数是奇函数，所以图象关于成中心对称，
所以，
又因为，所以，
所以，
不等式，即是，
当时，有，或，
此时，不等式解集；
当时，有，或，
此时，不等式解集为.