四川省宜宾市2025届高三第一次诊断性考试数学

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选择题
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
12．13．14．
四、解答题：本题共小题，共分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15．（13分）
（1）证明：连结，在中，，
，，，
所以，于是，
同理可证，又
所以平面，又平面，
所以平面平面；6分
（2）解：取的中点，连结，
因为，
所以，，
所以平面与平面的夹角为，10分
在中，，，
所以，12分
平面与平面的夹角的余弦值．13分
16．（15分）
解：（1）该射手恰好命中一次的概率
6分
（2）该射手的总得分的所有可能取值为：0，1，2，3，47分
所以
12分
于是，的分布列为
13分
所以，15分
17．（15分）
解：（1）3分
所以
即，4分
又因为，所以6分
所以7分
（2）在中，，即
所以，9分
所以10分
因为，所以，12分
设，于是14分
可得：15分
法二 由余弦定理可知：，由几何图形可知（）
所以易得．
18．（17分）
解：（1）由题可得 解得
故双曲线方程为分
（2） = 1 \* GB3 ①设直线的方程为：，
联立方程可得
且
故分
由于直线与双曲线的左右两支相交，所以方程有两个同号的实根
故
由三点共线得：( = 1 \* rman i)
由得( = 2 \* rman ii)
由( = 1 \* rman i).( = 2 \* rman ii)解得：分
显然点的横坐标为定值，纵坐标随变化而变化
故点过定直线 10分
= 2 \* GB3 ②由可知，四边形是平行四边形，
所以，
，因为
. 分
令，则
令
则
所以在单调递增，在单调递减，
故 分
此时四边形面积取到最小值为，
当且仅当时取等号. 分
19．（17分）
解：（1）当时，.
所以，
所以在单调递增，在单调递减 . 分
（2） = 1 \* GB3 ① 分
记，则，
易知在单调递减，在单调递增，分
若，则单调递增，无极值点.
若，此时分
注意到当时，故在有一个根
容易证明当时，所以：
所以在上有一个根，故恰有两个极值点，符合题意.
综上实数的取值范围为 分
方法二：可用参变分离法求解，(阅卷时酌情给分.)
= 2 \* GB3 ②由上面的讨论可知，
且在，单调递增，在 单调递减，
因为从而，同理可得 分
显然时，时
所以在和上各有一个零点，
结合可知共有三个零点 ... 分
注意到
所以若，则，
故的三个零点可以表示为：分
的所有零点之和
由于，所以的所有零点之和大于分
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
选项
A
B
C
C
A
C
D
B
ABC
AC
BCD