上海市普陀区2024-2025学年高三上学期11月调研测试（0.5模）数学试卷

这是一份上海市普陀区2024-2025学年高三上学期11月调研测试（0.5模）数学试卷，共14页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.函数的定义域为______.
2.已知圆的周长为，则实数的值为______.
3.已知圆柱的底面积为，侧面积为，则该圆柱的体积为______.
4.对于复数（i是虛数单位），则______.
5.已知的展开式各项系数之和为64，展开式中含项的系数为______.
6.下列说法正确的序号是______.
①用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则某个个体被抽到的概率是0.1
②已知一组数据1，2，m，6，7的平均数为4，则这组数据的方差是5
③数据27，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23
④若样本数据的方差为4，则数据的方差是16
7.已知角的终边上一点的坐标为，则角的最小正值为______.
8.函数，且的图像恒过定点，若点在直线上，其中，，则的最小值为______.
9.已知数列的通项公式为为数列的前项和，若，则实数的取值范围为______.
10.在中，，若是的重心，则______.
11.如图，已知分别是椭圆的左、右焦点，M，N为椭圆上两点，满足，且，则椭圆的离心率为______.
12.对于正整数，设是关于的方程的实数根，记，其中表示不超过实数的最大整数，则______.
二、单选题（本大题共4题，满分20分）
13.下列不等式中，解集为的是（ ）
A.B.C.D.
14.已知直线与平面相交，则下列命题中，正确的个数为（ ）
①平面内的所有直线均与直线l异面；②平面内存在与直线垂直的直线；
③平面内不存在直线与直线平行；④平面内所有直线均与直线相交.
A.1B.2C.3D.4
15.掷两颗骰子，观察掷得的点数；设事件为：至少一个点数是奇数；事件为：点数之和是偶数；事件的概率为，事件的概率为；则是下列哪个事件的概率（ ）
A.两个点数都是偶数B.至多有一个点数是偶数C.两个点数都是奇数D.至多有一个点数是奇数
16.已知定义在上的函数对任意，都有成立且满足（其中为常数），关于的方程：的解的情况.下面判断正确的是（ ）
A.存在常数，使得该方程无实数解B.对任意常数，方程均有且仅有1解
C.存在常数，使得该方程有无数解D.对任意常数，方程解的个数大于2
三、解答题（本大题共有5题，满分76分）
17.已知数列是公差为2的等差数列，数列为等比数列.
（1）若，求数列的通项公式：
（2）设数列的前项和为，若，求.
18.如图，在四面体ABCD中，已知平面
（1）求证：平面平面ABC；
（2）若AB=1，CD=BC=2，求直线AD与平面ABC所成角的正弦值大小.
19.近年来，为“加大城市公园绿地建设力度，形成布局合理的公园体系”，许多城市陆续建起众多“口袋公园”、现计划在一块边长为200米的正方形的空地上按以下要求建造“口袋公园”、如图所示，以EF中点为圆心，FG为半径的扇形草坪区ABC，点在弧BC上（不与端点重合），AB、弧BC、CA、PQ、PR、RQ为步行道，其中PQ与AB垂直，PR与AC垂直.设.
（1）如果点位于弧BC的中点，求三条步行道PQ、PR、RQ的总长度；
（2）“地摊经济”对于“拉动灵活就业、增加多源收入、便利居民生活”等都有积极作用.为此街道允许在步行道PQ、PR、RQ开辟临时摊点，积极推进“地摊经济”发展，预计每年能产生的经济效益分别为每米5万元、5万元及5.9万元.则这三条步行道每年能产生的经济总效益最高为多少？（精确到1万元）
20.已知拋物线.
（1）求抛物线的焦点的坐标和准线l的方程；
（2）过焦点且斜率为的直线与抛物线交于两个不同的点A、B，求线段AB的长；
（3）已知点，是否存在定点，使得过点的直线与抛物线交于两个不同的点M、N（均不与点P重合）且以线段MN为直径的圆恒过点？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
21.设是坐标平面xOy上的一点，曲线是函数的图象.若过点恰能作曲线的条切线，则称是函数的“度点”.
（1）判断点与点是否为函数的1度点，不需要说明理由；
（2）已知.证明：点是的0度点；
（3）求函数的全体2度点构成的集合.
2025届普陀区高考0.5模考试数学试卷答案
一、填空题
1.【答案】【解析】由题意得，解得定义域为.
2.【答案】-3【解析】设圆的半径为r，则由题意，故，
将圆一般式化为标准式得，
则.
3.【答案】【解析】设圆柱底面半径为，高为，由题意，解得，
所以体积为.
4.【答案】-1【解析】由题意，所以.
5.【答案】15【解析】令，则的展开式各项系数之和为，则；
其中通项，令，则，故项的系数为15.
6.【答案】①③④【解析】对于①，某个个体被抽到的概率为，故①正确；
对于②，，解得，
则方差为，故②错误；
对于③，数据27，12，14，30，15，17，19，23从小到大排列为，12，14，15，17，19，23，27，30，
由于，其中第6个数为23，故③正确；
对于④，设数据的均值为，
则数据的均值为，
因为数据的方差为，
所以数据的方差为
，故④正确；
故选：①③④
7.【答案】【解析】因为，所以角的终边在第四象限，
根据三角函数的定义，知，故角的最小正值为.
8.【答案】2【解析】易知函数且的图象恒过定点，即，
点在直线上，故，又，
，当且仅当时等号成立，
的最小值为2.
9.【答案】【解析】由题意知，，故，故.
10.【答案】5【解析】如图所示，建立直角坐标系.
，设.
，
解得.
是的重心，.
.
11.【答察】【解析】设椭圆的半焦距为，
如图，延长，与椭圆交于点，连接，
由，所以根据对称性可知，，
设，则，
从而，故，
在中，，所以，
在中，，即，
所以，所以，所以离心率.
12.【答案】2025【解析】令，则，函数单调递增，
且：，故方程存在唯一的实数根，且：，
据此可得：，
结合等差数列求和公式可得：.
二、单选题
13.【答案】C【解析】对于A，令，则，满足，所以其解集不为，故A错误；
对于B，令，则，满足，所以其解集不为，故B错误；
对于D，令，则，满足，所以其解集不为，故D错误；
对于C，由得，
即，解得，故其解集为，故C正确.
故选：C.
14.【答案】B【解析】在长方体中，取平面ABCD为平面，直线为直线，则直线与平面相交，满足条件，
对于命题①，因为直线平面ABCD，直线AB与直线相交，所以命题①错误，
对于命题④，因为直线平面ABCD，直线BC与直线不相交，所以命题④错误，
对于命题②，若直线与平面垂直，则任取直线，都有，即平面内存在与直线垂直的直线；若直线与平面不垂直，如图，，在直线l上任取异于点的点，
过点作平面，垂足为，连接HN
在平面过点作直线，因为平面，所以，
又平面ENH，所以平面ENH，直线平面ENH，
所以直线，故平面内存在与直线垂直的直线；命题②正确，
对于命题③，如图，假设平面内存在直线与直线平行；
因为，所以，与矛盾，
所以平面内不存在直线与直线平行；命题③正确，
故选：B.
15.【答案】D【解析】由题意，事件为：两个点数都为奇数，
由概率指的是事件的对立事件的概率，
则事件的对立事件为：至少有一个点数为偶数，或者至多有一个点数为奇数.
故选：D.
16.【答案】B【解析】令，则方程的解的情况可以转化为零点的情况，
因为，所以，
因为，所以，则，
令，因为，所以，
，即，
所以在R上单调递增，又，所以对任意常数只有一个零点，即方程只有一个解.
故选：B.
三、解答题
17.【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由题意得.
因为，所以，
解得，所以，
所以数列的公比为3，
所以数列的通项公式为.
（2）数列为等差数列，且公差为2，
，
，
解得，故.
18.【答案】（1）见解析；（2）
【解析】平面平面，
又且平面ABC，
平面平面ACD，
平面平面ABC.
（2）平面平面ABC，则，
即为直线AD与平面ABC所成的角，
，
又平面平面，
而，
在Rt中，，
又，
故线AD与平面ABC所成角的正弦值为.
19.【答案】（1）（米）；（2）2022万元
【解析】（1）由题，
，同理.，故，
由于点位于弧BC的中点，所以点位于的角平分线上，
则，
，
因为，
所以为等边三角形，
则，
因此三条街道的总长度为（米）.
（2）由图可知，
在中由余弦定理可知：
则,
设三条步行道每年能产生的经济总效益，则
当即时取最大值,
最大值为.
答：三条步行道每年能产生的经济总效益最高约为2022万元.
20.【答案】（1）抛物线的焦点，准线；（2）20；（3）存在，
【解析】（1）抛物线，则，且焦点在轴正半轴，
故抛物线的焦点，准线.
（2）由（1）可得：，可得直线，
设，联立方程，消去得，
可得，
故.
（3）存在，理由如下：
设直线，
联立方程，消去得，
则，
可得，
若以线段MN为直径的圆恒过点，则，
可得
可得或，
若，则，可得直线，
过定点，与点重合，不合题意；
若，则，此时，
可得直线，过定点；
综上所述：直线MN过定点.
21.【答案】（1）是函数的一个1度点；不是函数的1度点
（2）见解析；（3）或
【解析】（1）设，则曲线在点处的切线方程为.
则该切线过点当且仅当，即.故原点是函数的一个1度点，
该切线过点，故，
令，则，令得，令得，
故在上单调递增，在上单调递减，
在处取得极小值，也时最小值，且，
故无解，点不是函数的一个1度点
（2）设，
则曲线在点处的切线方程为.
则该切线过点当且仅当.
设，则当时，，故在区间上严格增.
因此当时，恒不成立，即点是的一个0度点.
（3），
对任意，曲线在点处的切线方程为.
故点为函数的一个2度点当且仅当关于的方程恰有两个不同的实数解．
设.则点为函数的一个2度点当且仅当两个不同的零点.
若，则在上严格增，只有一个实数解，不合要求.
若，因为，
由或时得严格增；而当时，得严格减.
故在时取得极大值，在时取得极小值.
又因为，
所以当时，由零点存在定理，在上各有一个零点，不合要求；
当时，仅上有一个零点，不合要求；
当时，仅上有一个零点，也不合要求.
故两个不同的零点当且仅当或.
若，同理可得两个不同的零点当且仅当或.
综上，的全体2度点构成的集合为或.