陕西省西安市莲湖区远东第二中学2023-2024学年八年级下学期第一次月考数学试题（解析版）

这是一份陕西省西安市莲湖区远东第二中学2023-2024学年八年级下学期第一次月考数学试题（解析版），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共10题，每题3分，共30分）
1. 下列各式中：①；②；③；④；⑤，属于不等式的有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
2. 由下列条件不能判定为直角三角形的是（ ）
A. B. ，，
C. D.
3. 下列命题的逆命题成立的是（ ）
A. 全等三角形的对应角相等
B 同位角互补，两直线平行
C. 对顶角相等
D. 若三角形三边满足，则该三角形是直角三角形
4. 下列说法，正确的是（ ）
A. 等腰三角形的高线，角平分线，中线互相重合
B. 到三角形三个顶点距离相等的点是三边垂直平分线的交点
C. 三角形一边上的中线把三角形分成周长相等的两个三角形
D. 两边分别相等的两个三角形全等
5. 若a＜b，则下列各式中一定成立的是（ ）
A ac＜bcB. ＞C. ﹣a＜﹣bD. a﹣1＜b﹣1
6. 用反证法求证：三角形中最多有一个钝角．下列假设正确的是( )
A. 假设三角形中至少有两个钝角B. 假设三角形中最多有两个钝角
C. 假设三角形中最少有一个钝角D. 假设三角形中没有钝角
7. 如图，在中，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线，交于点D，连接．若的周长为，，则的周长为（ ）
A. 7B. C. D.
8. 如图，某市有一块由三条马路围成的三角形绿地，现决定在其中修建一个亭子，使亭子中心到三条马路的距离相等，则亭子应建在（ ）

A. 在边，两条高的交点处
B. 在边，两条中线的交点处
C. 在边，两条垂直平分线的交点处
D. 在和两条角平分线的交点处
9. 如图，在中，，的垂直平分线交于点D，交于点E，若，，则的面积为（ ）
A. B. C. D.
10. 如图，在中，，D为边上的一点，E点在边上，，若，则（ ）

A. B. C. D.
二、填空题（共6题，每题3分，共18分）
11. 已知等腰三角形的两边长分别是3和7，则这个等腰三角形的周长为______．
12. 3条长裤和4件上衣的总价不超过500元，其中长裤的单价为a元，上衣的单价为b元，请列不等式来表示该不等关系______．
13. 如图，已知平分，平分，且，若，，，则的周长是______．
14. 如图，在和中，，，若要用“斜边直角边”直接证明，则还需补充条件：_________．
15. 如图，在中，，的垂直平分线交于点D，的垂直平分线交于点E，则的周长为______．
16. 如图，已知，点P在边上，，点M、N在边上，，若，则______．
三、解答题（共8题，共72分）
17. 将下列不等式的解集分别表示在数轴上：
（1）
（2）
18 尺规作图．

（1）如图1，已知锐角三角形，，请用尺规作图法，在内部求作一点P，使，且．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）如图2，已知，求作边上的高．（保留作图痕迹，不写作法）
19. 如图，在中，于点D，E为上一点，且，．

（1）求证：；
（2）若，，求的长
20. 已知：如图，在中，，，是腰上的高，若，求的长度．
21. 如图，在中，，的平分线交BC于点D，，垂足为E，连接CE，交AD于点H．求证：
（1）；
（2）垂直平分．
22. 如图所示，A、C、B三点共线，与都是等边三角形，相交于点P，且分别与交于点M，N．

（1）求证：
（2）求度数
23. 如图所示，在等边中，，点P从点B出发，沿方向匀速运动，速度；点Q从点C出发，沿方向匀速运动，速度为，连接，．设运动时间为t秒，请回答：
（1）当平分时，求t的值；
（2）当t为何值时，点P在线段的垂直平分线上？
（3）在运动过程中，是否存在某一时刻，使为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
2023~2024学年第二学期第一次大练习
八年级数学试题解析
一、选择题（共10题，每题3分，共30分）
1. 下列各式中：①；②；③；④；⑤，属于不等式的有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】依据不等式的定义：用“＞”、“≥”、“＜”、“≤”、“≠”等不等号表示不相等关系的式子是不等式来判断．
【详解】解：根据不等式的定义，只要有不等符号的式子就是不等式，
所以③④⑤为不等式，共有3个．
故选：C．
【点睛】本题考查了不等式的定义，（1）从定义上来看，不等式是表示不等关系的式子；而方程是含有未知数的等式；（2）从符号上来看，不等式是用“＞”“＜”“≥”或“≤”来表示的；而方程是用“=”来连接两边的式子的；（3）从是否含有未知数上来看，不等式可以含有未知数，也可以不含有未知数；而方程则必须含有未知数．
2. 由下列条件不能判定为直角三角形的是（ ）
A. B. ，，
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据三角形内角和及即可判断A，根据勾股定理逆定理即可判断B，根据平方差公式及勾股定理逆定理即可判断C，根据三角形内角和及即可得到答案．
【详解】解：∵，，
∴，
∴为直角三角形，故A不符合题意；
∵，
∴不能判定三角形为直角三角形，故B符合题意；
∵，
∴为直角三角形，故C符合题意；
∵，，
∴，
∴为直角三角形，故D符合题意，
故选B．
【点睛】本题考查三角形内角和定理及勾股定理逆定理，解题的关键是熟练掌握直角三角形边角关系．
3. 下列命题的逆命题成立的是（ ）
A. 全等三角形的对应角相等
B. 同位角互补，两直线平行
C. 对顶角相等
D. 若三角形三边满足，则该三角形是直角三角形
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．也考查了逆命题．
分别写出四个命题的逆命题，然后分别根据对顶角的定义、全等三角形的判定和平行线的判定进行判断．
【详解】解：A、全等三角形的对应角相等的逆命题是对应角相等的三角形全等，不成立，不符合题意；
B、同位角互补，两直线平行的逆命题是两直线平行，同位角互补，不成立，不符合题意；
C、对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，不成立，不符合题意；
D、若三角形的三边满足，则该三角形是直角三角形的逆命题是直角三角形的三边满足，成立，符合题意；
故选：D．
4. 下列说法，正确的是（ ）
A. 等腰三角形的高线，角平分线，中线互相重合
B. 到三角形三个顶点距离相等的点是三边垂直平分线的交点
C. 三角形一边上的中线把三角形分成周长相等的两个三角形
D. 两边分别相等的两个三角形全等
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查等腰三角形的性质及三角形全等的判定，掌握等腰三角形和三角形全等的判定是解题的关键．
由三线合一的条件可知A不正确，由三角形垂直平分线的性质可知B正确，由三角形的中线可知C错误，根据全等三角形的判定判断D错误，可得出答案．
【详解】解：A、等腰三角形底边上的高、顶角的角平分线、中线互相重合，故A错误；
B、到三角形三个顶点距离相等的点是三边垂直平分线的交点，故B正确；
C、三角形一边上的中线将三角形分成面积相等的两个三角形，故C错误；
D、两边分别相等，且它们的夹角对应相等的两个三角形全等，故D错误；
故选：B．
5. 若a＜b，则下列各式中一定成立的是（ ）
A. ac＜bcB. ＞C. ﹣a＜﹣bD. a﹣1＜b﹣1
【答案】D
【解析】
【分析】根据不等式两边同时乘以（或除以）一个正数，不等号方向不变，同时乘以（或除以）一个负数，不等号方向改变，可对A，B，C三个选项进行判断；根据不等式两边同加上（或减去）一个数，不等号方向不变，可对D选项进行判断．
【详解】A、∵a＜b，当c＜0时，ac＞bc，故本选项错误；
B、∵a＜b，∴，故本选项错误；
C、∵a＜b，∴﹣a＞﹣b，故本选项错误；
D、∵a＜b，∴a﹣1＜b﹣1，故本选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了不等式的基本性质，易错点是不等式两边同乘以（或除以）一个负数，不等号方向改变．
6. 用反证法求证：三角形中最多有一个钝角．下列假设正确的是( )
A. 假设三角形中至少有两个钝角B. 假设三角形中最多有两个钝角
C. 假设三角形中最少有一个钝角D. 假设三角形中没有钝角
【答案】A
【解析】
【分析】根据反证法证明一个命题，首先要假设所证的结论不正确，结论的反面正确解答．
【详解】解：用反证法证明：三角形中最多有一个钝角，第一步假设三角形中至少有两个钝角，
故选：A．
【点睛】本题考查的是反证法的应用，正确理解反证法的思想方法，理解假设的方法是解决本题的关键．
7. 如图，在中，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线，交于点D，连接．若的周长为，，则的周长为（ ）
A. 7B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意得是的垂直平分线，即，根据的周长为得，即可得．
【详解】解：∵在中，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线，交于点D，连接，
∴是的垂直平分线，
∴，
∵的周长为，
∴，
∵，
∴的周长为：，
故选：C．
【点睛】本题考查了线段的垂直平分线的性质，解题的关键是掌握线段的垂直平分线的性质．
8. 如图，某市有一块由三条马路围成的三角形绿地，现决定在其中修建一个亭子，使亭子中心到三条马路的距离相等，则亭子应建在（ ）

A. 在边，两条高的交点处
B. 在边，两条中线的交点处
C. 在边，两条垂直平分线的交点处
D. 在和两条角平分线的交点处
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，理解角平分线的性质是解题的关键．
根据角平分线的性质求解即可．
【详解】解：∵亭子中心到三条马路的距离相等，
∴亭子中心就是的三个内角的平分线的交点，
因此，A、B、C三个选项都不符合要求，
设和两条角平分线的交于点，作于点，于点，于点，如图所示，

∵平分，，，
∴，
同理可得：，
∴，
即点到三边的距离相等，
亭子应建在点，因此，D选项正确．
故选：D．
9. 如图，在中，，的垂直平分线交于点D，交于点E，若，，则的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的性质．
先根据勾股定理求出，再直接利用线段垂直平分线的性质得出，进而得出答案．
【详解】解：在中，，，，
,
垂直平分线交于点D，交于点E，
,
,
故选：D
10. 如图，在中，，D为边上的一点，E点在边上，，若，则（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用三角形的外角性质可得，结合，可得出∠，利用三角形的外角性质可得，进而可得出，再结合及即可解答．
【详解】解：∵是的外角，
∴，
∵，
∴．
∵是的外角，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了三角形的外角性质，牢记“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”是解题的关键．
二、填空题（共6题，每题3分，共18分）
11. 已知等腰三角形的两边长分别是3和7，则这个等腰三角形的周长为______．
【答案】17
【解析】
【分析】根据等腰三角形的性质分情况讨论底边长和腰长分别是多少，再求出周长．
【详解】解：若3是底边长，7是腰长，则等腰三角形的周长为，
若7是底边长，3是腰长，则等腰三角形三边长为3，3，7，
∵不能构成等腰三角形，
∴此种情况不存在，
∴等腰三角形的周长为17．
故答案是：17．
【点睛】本题考查等腰三角形性质，在讨论底边长和腰长时需要注意三边长要满足构成三角形的条件．
12. 3条长裤和4件上衣的总价不超过500元，其中长裤的单价为a元，上衣的单价为b元，请列不等式来表示该不等关系______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查根据实际问题抽象出一元一次不等式，用不等式表示不等关系时，要抓住题目中的关键词，如“大于（小于）、不超过（不低于）、是正数（负数）”“至少”、“最多”等等，解题的关键是能正确选择不等号．
根据不超过就是等于或低于，用“”表示，据此解答即可．
【详解】解：依题意得：；
故答案为：．
13. 如图，已知平分，平分，且，若，，，则的周长是______．
【答案】30
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质以及平行线的性质，是基础知识要熟练掌握．
根据平分平分，且，可得出，进而可得出结论．
【详解】解：平分平分，
，
，
，
，
，
的周长，
故答案为：30．
14. 如图，在和中，，，若要用“斜边直角边”直接证明，则还需补充条件：_________．
【答案】或BE=CF
【解析】
【分析】根据斜边和一条直角边分别对应相等的两个直角三角形全等，即可求解．
详解】解：∵，
∴和都是直角三角形，
可以补充：，理由如下：
在和中，
∵，，
∴；
可以补充：BE=CF，理由如下：
∵BE=CF，
∴，
在和中，
∵，，
∴；
故答案为：或BE=CF．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握斜边和一条直角边分别对应相等的两个直角三角形全等是解题的关键．
15. 如图，在中，，的垂直平分线交于点D，的垂直平分线交于点E，则的周长为______．
【答案】8
【解析】
【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的性质，
根据线段垂直平分线上点到线段两端的距离相等，可得，，即可求解．
【详解】解：的垂直平分线交于点D，
,
的垂直平分线交于点E，
的周长,
故答案为：8．
16. 如图，已知，点P在边上，，点M、N在边上，，若，则______．
【答案】##1.5
【解析】
【分析】本题考查等腰三角形形三线合一及直角三角形30度角所对直角边等于斜边一半，解题关键是作出辅助线．
过P作，，根据等腰三角形形三线合一及直角三角形角所对直角边等于斜边一半即可得到答案．
【详解】解：过P作，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
三、解答题（共8题，共72分）
17. 将下列不等式的解集分别表示在数轴上：
（1）
（2）
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．
（1）根据在数轴上表示不等式的解集的方法画出所求范围即可．
（2）根据在数轴上表示不等式的解集的方法画出所求范围即可．
【小问1详解】
解：如图所示：
【小问2详解】
解：如图所示：
18. 尺规作图．

（1）如图1，已知锐角三角形，，请用尺规作图法，在内部求作一点P，使，且．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）如图2，已知，求作边上的高．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】（1）作图见解析
（2）作图见解析
【解析】
【分析】本题考查了作图—复杂作图和基本作图，解题的关键是熟练掌握基本几何图形的性质，结合几何图形的性质把复杂图拆解成基本图，
（1）先作的平分线交于边，再作的垂直平分线，两线的交点即为P，
（2）延长，以点B为圆心作圆分别交于两点，再分别以这两点为圆心，以大于这两点线段的长度为半径作圆，即可解答；
【小问1详解】
解：，，
点P在的平分线上，
，
点P 为的垂直平分线上的点，
故点P为两线的交点，作图如下所示：
【小问2详解】
解： 作图如下：

19. 如图，在中，于点D，E为上一点，且，．

（1）求证：；
（2）若，，求的长
【答案】（1）证明见解析
（2）2
【解析】
【分析】本题考查了直角三角形全等的判定，解题的关键是熟练掌握直角三角形的判定方法，
（1）根据即可证明；
（2）由勾股定理求出，再根据线段的和差即可求解
【小问1详解】
证明：
在和中
【小问2详解】
解：在中
,
,
20. 已知：如图，在中，，，是腰上的高，若，求的长度．
【答案】2
【解析】
【分析】先求出，在直角中，根据30度角所对的直角边等于斜边的一半解得的长．
【详解】解：中，
∵，
∴，
∴．
∵是腰上的高，
∴．
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，以及含30度角的直角三角形的性质，求出是解答本题的关键．
21. 如图，在中，，的平分线交BC于点D，，垂足为E，连接CE，交AD于点H．求证：
（1）；
（2）垂直平分．
【答案】（1）见详解 （2）见详解
【解析】
【分析】本题考查了角平分线的性质以及垂直平分线的判定，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，据此即可作答．
（2）通过证明，得，根据到线段的端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，即可作答．
【小问1详解】
解：∵的平分线交BC于点D，
∴是的平分线
∵，
∴；
【小问2详解】
解：∵，
∴
∵，由（1）知
∴
∴
∴垂直平分
22. 如图所示，A、C、B三点共线，与都是等边三角形，相交于点P，且分别与交于点M，N．

（1）求证：
（2）求的度数
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】考查了等边三角形的性质及全等三角形的判定方法，关键是根据等边三角形的性质解答．
（1）根据等边三角形的性质和全等三角形的判定证明即可；
（2）根据三角形的内角和相等，对顶角相等，即可求解；
【小问1详解】
证明：与都是等边三角形，
，
,
在和中
，
【小问2详解】
解：，
，
在和中，
，
又，
23. 如图所示，在等边中，，点P从点B出发，沿方向匀速运动，速度为；点Q从点C出发，沿方向匀速运动，速度为，连接，．设运动时间为t秒，请回答：
（1）当平分时，求t的值；
（2）当t为何值时，点P在线段的垂直平分线上？
（3）在运动过程中，是否存在某一时刻，使为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）或
【解析】
【分析】本题考查了等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解题的关键．
（1）根据等腰三角形的三线合一的性质可得当平分时，，根据距离，速度，时间的关系即可求解；
（2）根据，列方程求解即可；
（3）分和两种情况讨论，列方程求解即可．
【小问1详解】
解：在等边中，平分，
点Q是的中点，
，
即，
，
【小问2详解】
解：根据题意：，则，
过点P作于点D，
在等边中，，点P在线段的垂直平分线上，
，
解得：，
当时，点P在线段的垂直平分线上；
【小问3详解】
解：存在，
当时，为直角三角形，
因为
，
即，
解得：，
当时，为直角三角形，
，
即，
解得： ，
综上：或时，为直角三角形．