人教新版九年级下册数学《第27章 相似三角形》单元测试卷

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人教新版九年级下册《第27章 相似三角形》单元测试卷一、选择题1．在相同时刻，物高与影长成正比．如果高为1.5米的标杆影长为2.5米，那么影长为30米的旗杆的高为（　　）A．20米 B．18米 C．16米 D．15米2．通过一个3倍的放大镜看一个△ABC，下面说法正确的是（　　）A．△ABC放大后，∠A是原来的3倍 B．△ABC放大后周长是原来的3倍 C．△ABC放大后，面积是原来的3倍 D．以上都不对3．如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（　　）A．∠ABP＝∠C B．∠APB＝∠ABC C．＝ D．＝4．若两个图形位似，则下列叙述不正确的是（　　）A．每对对应点所在的直线相交于同一点 B．两个图形上的对应线段之比等于位似比 C．两个图形上的对应线段必平行 D．两个图形的面积比等于位似比的平方5．如图，在平行四边形ABCD中，E是CD上的一点，DE：EC＝2：3，连接AE、BE、BD，且AE、BD交于点F，则S△DEF：S△EBF：S△ABF＝（　　）A．2：5：25 B．4：9：25 C．2：3：5 D．4：10：256．已知正方形ABCD，E是CD的中点，P是BC边上的一点，下列条件中不能推出△ABP与△ECP相似的是（　　）A．∠APB＝∠EPC B．∠APE＝90° C．P是BC的中点 D．BP：BC＝2：37．已知矩形ABCD中，AB＝1，在BC上取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使B点落在AD上的F点，若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD＝（　　）A． B． C． D．28．如图，在△ABC中，DE与BC不平行，那么下列条件中，不能判断△ADE∽△ACB的是（　　）A．∠ADE＝∠C B． C．∠AED＝∠B D．9．如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点为O（0，0），A（4，3），B（3，0）．以点O为位似中心，在第三象限内得到与△OAB的位似比为的位似图形△OCD，则点C的坐标为（　　）A．（﹣1，﹣1） B．（﹣，﹣1） C．（﹣1，﹣） D．（﹣2，﹣1）10．一个三角形三边的长分别为3，5，7，另一个与它相似的三角形的最长边是21，则其它两边的和是（　　）A．19 B．17 C．24 D．21二、填空题11．两相似菱形的面积比为4：9，周长之差为13cm，则这两个菱形的周长分别为 　 　．12．如图，在四边形ABCD中，如果，要使△ADC∽△BAC，还需添加一个条件是 　 　（填一个即可）．13．如图，在平面直角坐标系中，一个含有45°角的三角板的其中一个锐角顶点置于点A（﹣3，﹣3）处，将其绕点A旋转，这个45°角的两边所在的直线分别交x轴、y轴的正半轴于点B，C，连接BC，函数（x＞0）的图象经过BC的中点D，则k＝　 　．14．如果两个相似多边形的最长边分别为35cm和14cm，那么最短边分别为5cm和　 　cm．15．如图，直线l1、l2、…l6是一组等距的平行线，过直线l1上的点A作两条射线，分别与直线l3、l6相交于点B、E、C、F．若BC＝2，则EF的长是　 　．16．如图，Rt△ABC中，AC⊥BC，CD⊥AB于D，AC＝8，BC＝6，则AD＝　 　．三、解答题17．如图，四边形ABCD各顶点的坐标分别为A（2，6），B（4，2），C（6，2），D（6，4），在第一象限内，画出以原点为位似中心，相似比为的位似图形A1B1C1D1，并写出各点坐标．18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的⊙O交AB于点D，过点D作⊙O的切线交BC于点E，连接OE．（1）求证：△DBE是等腰三角形；（2）求证：△COE∽△CAB．19．如图，△ABC中，点D在边AB上，满足∠ACD＝∠B，若AC＝2，AD＝1．（1）求DB的长；（2）求△ACD与△ABC的面积的比．20．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝8，AC＝6．若动点D从点B出发，沿线段BA运动到点A为止，运动速度为每秒2个单位长度．过点D作DE∥BC交AC于点E，设动点D运动的时间为x秒，AE的长为y．（1）求出y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）当x为何值时，△BDE的面积S有最大值，最大值为多少？21．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，△ACD沿AD折叠，使得点C落在斜边AB上的点E处．（1）求证：△BDE∽△BAC；（2）已知AC＝6，BC＝8，求线段AD的长度．参考答案与试题解析一、选择题1．【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．【解答】根据题意解：＝，即，∴旗杆的高＝＝18米．故选：B．【点评】本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，求解即可得出旗杆的高．2．【分析】根据相似三角形的性质，相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方来判断．【解答】解：用一个能放大3倍的放大镜看△ABC，则看到的三角形与△ABC相似，相似比是3：1，A、两个相似三角形的对应角相等，故A错；B、周长的比等于相似比，即△ABC放大后，周长是原来的3倍，故B正确；C、面积的比是相似比的平方，即9：1，△ABC放大后，面积是原来的9倍，故C错；D、A选项错误，故D错．故选：B．【点评】本题考查对相似三角形性质的理解．（1）相似三角形周长的比等于相似比．（2）相似三角形面积的比等于相似比的平方．（3）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．3．【分析】分别利用相似三角形的判定方法判断得出即可．【解答】解：A、当∠ABP＝∠C时，又∵∠A＝∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项不符合题意；B、当∠APB＝∠ABC时，又∵∠A＝∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项不符合题意；C、当＝时，又∵∠A＝∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项不符合题意；D、无法得到△ABP∽△ACB，故此选项符合题意．故选：D．【点评】此题主要考查了相似三角形的判定，正确把握判定方法是解题关键．4．【分析】根据位似图形的性质，对各选项依次分析可得答案．【解答】解：根据位似图形的性质，A、每对对应点所在的直线相交于同一点，A正确；B、根据相似的性质，两个位似的图形上的对应线段之比等于位似比，B正确；C、两个图形上的对应线段可能平行，也可能共线，C错误；D、根据相似的性质，两个图形的面积比等于位似比的平方，D正确；故选：C．【点评】本题考查了位似的相关知识，位似是相似的特殊形式．5．【分析】根据平行四边形的性质求出DC＝AB，DC∥AB，求出DE：AB＝2：5，根据相似三角形的判定推出△DEF∽△BAF，求出△DEF和△ABF的面积比，根据三角形的面积公式求出△DEF和△EBF的面积比，即可求出答案．【解答】解：根据图形知：△DEF的边DF和△BFE的边BF上的高相等，并设这个高为h，∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC＝AB，DC∥AB，∵DE：EC＝2：3，∴DE：AB＝2：5，∵DC∥AB，∴△DEF∽△BAF，∴＝＝，＝＝，∴＝＝＝＝∴S△DEF：S△EBF：S△ABF＝4：10：25，故选：D．【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定，三角形的面积，平行四边形的性质的应用，关键是求出和的值，注意：相似三角形的面积比等于相似比的平方，若两三角形不相似，求面积比应根据三角形的面积公式求．6．【分析】A、根据已知条件∠APB＝∠EPC，∠B＝∠C＝90°，可判断三角形相似即可；B、利用∠APB与∠EPC互余，可推出∠APB＝∠PEC，进而证明两三角形相似即可；C、P为BC中点，各边对应不成比例，从而不能判断三角形相似；D、根据给出的比例，可推出对应边成比例，从而三角形相似．【解答】解：根据题意可画出如下示意图：∵∠APB＝∠EPC，∠B＝∠C＝90°，∴△ABP∽△EPC，故A不符合题意；∵∠APE＝90°，∴∠APB+∠CPE＝90°，∵∠BAP+∠APB＝90°，∴∠BAP＝∠CPE，∴△ABP∽△PCE，故B不符合题意；∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝∠C＝90°，AB＝CD＝BC．∵E是CD的中点，∴CE：CD＝1：2，即CE：AB＝1：2．∵P是BC中点，∴BP＝PC＝BC，没办法判定：△ABP与△ECP中各边成比例，故C符合题意；∵BP：BC＝2：3，∴PC：BP＝1：2，∴PC：BP＝CE：AB＝1：2，∴△ABP∽△PCE，故D不符合题意．故选：C．【点评】本题考查了三角形相似，解题的关键是熟练掌握三角形相似的判定方法．7．【分析】可设AD＝x，根据四边形EFDC与矩形ABCD相似，可得比例式，求解即可．【解答】解：∵沿AE将△ABE向上折叠，使B点落在AD上的F点，∴四边形ABEF是正方形，∵AB＝1，设AD＝x，则FD＝x﹣1，FE＝1，∵四边形EFDC与矩形ABCD相似，∴＝，＝，解得x1＝，x2＝（负值舍去），经检验x1＝是原方程的解．故选：B．【点评】考查了翻折变换（折叠问题），相似多边形的性质，本题的关键是根据四边形EFDC与矩形ABCD相似得到比例式．8．【分析】根据相似三角形的判定方法，一一判断即可．【解答】解：A、因为∠A＝∠A，∠ADE＝∠C，所以△ADE∽△ACB，故本选项不符合题意；B、由＝，推不出△ADE∽△ACB，本选项符合题意；C、因为∠A＝∠A，∠AED＝∠B，所以△ADE∽△ACB，本选项不符合题意；D、因为＝，∠A＝∠A，所以△ADE∽△ACB，本选项不符合题意．故选：B．【点评】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法，属于中考常考题型．9．【分析】作AH⊥x轴于H，CG⊥x轴于G，由△OCG∽△OAH，得，从而得出OG，CG的长．【解答】解：作AH⊥x轴于H，CG⊥x轴于G，∴△OCG∽△OAH，∴，∵A（4，3），∴OH＝4，AH＝3，∵△BOA∽△DOC，且OA：OC＝3，∴OG＝，CG＝1，∴C（﹣，﹣1），故选：B．【点评】本题主要考查了位似变换，熟练掌握位似变换的性质是解题的关键．10．【分析】根据相似三角形的性质三边对应成比例作答即．【解答】解：设另一个三角形的最短边为x，第二短边为y，根据相似三角形的三边对应成比例，知，∴x＝9，y＝15，∴x+y＝24．故选：C．【点评】本题主要考查了相似三角形的性质：相似三角形的三边对应成比例．运用此性质时，关键是对应边要找准．寻找对应边的一半方法有：最长边是对应边，最短边是对应边；对应角所对的边是对应边．二、填空题11．【分析】根据相似多边形的面积之比等于相似比的平方，周长之比等于相似比，设出未知数，根据题意列出方程，解方程得到答案．【解答】解：∵两相似菱形的面积比为4：9，∴两相似菱形的相似比为2：3，∴两相似菱形的周长之比为2：3，设一个菱形的周长为2x，则另一个菱形的周长为3x，由题意得，3x﹣2x＝13，解得，x＝13，2x＝26，3x＝39，则这两个菱形的周长分别为26cm和39cm．故答案为：26cm和39cm．【点评】本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的面积之比等于相似比的平方是解题的关键．12．【分析】由相似三角形的判定可求解．【解答】解：添加∠BAC＝∠ADC，且，∴△ADC∽△BAC，故答案为：∠BAC＝∠ADC．【点评】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．13．【分析】过A点作AM⊥x轴，AN⊥y轴，连接AO，根据A点坐标可知OA长度，再证明△AOC∽△BOA，根据得到的比例式计算出OB•OC；过D点作DE⊥x轴，DF⊥y轴，根据D为BC中点可以计算出DE•DF，从而确定了k值．【解答】解：过A点作AM⊥x轴，AN⊥y轴，则四边形AMON是正方形，连接AO．由A（﹣3，﹣3），可得OA＝3．则∠AOC＝∠BOA＝135°．∴∠CAO+∠ACO＝45°，∵∠CAO+∠BAO＝45°，∴∠ACO＝∠BAO．∴△AOC∽△BOA．∴＝，即OA2＝OB•OC＝18．∴△OBC面积＝×18＝9．过D点作DE⊥x轴，DF⊥y轴，∵D为BC中点，∴DE＝OD，DF＝OB．k＝DE•OF＝OB•OC＝．故答案为．【点评】本题主要考查了反比例函数k的几何意义、相似三角形的判定和性质．14．【分析】利用相似多边形的对应边比相等即可得．【解答】解：两个相似多边形的最长边分别为35cm和14cm，则两个多边形的相似比是35：14，设第二个多边形最短边长是xcm，则35：14＝5：x，解得x＝2cm，最短边分别为5cm和2cm．【点评】本题主要考查了相似多边形的性质，对应边的比相等．15．【分析】由直线l1、l2、…l6是一组等距的平行线，得到△ABC∽△AEF，推出比例式求得结果．【解答】解：∵l3∥l6，∴BC∥EF，∴△ABC∽△AEF，∴＝，∵BC＝2，∴EF＝5．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线等分线段定理，熟记定理是解题的关键．16．【分析】由于AC⊥BC，CD⊥AB，可得一组对应角相等，再加上一对公共角，可证△ACD∽△ABC，利用比例线段可求AD．（可先利用勾股定理求出AB）【解答】解：∵AC⊥BC，CD⊥AB，∴∠ACB＝90°，∠ADC＝90°，∠A＝∠A，∴△ADC∽△ACB，∴＝，又∵在Rt△ABC中，AB＝＝＝10，∴＝，AD＝6.4．【点评】解答此题不仅用到相似三角形的性质，还要结合勾股定理求出相应的边长，方可进行计算．三、解答题17．【分析】利用位似的性质分别求出对应点的坐标，连接各点即可解决．【解答】解：如图可知：A1（1，3），B1（2，1），C1（3，1），D1（3，2）．【点评】此题主要考查了位似图形的画法，应注意找到对应点正确的坐标．18．【分析】（1）连接OD，由DE是⊙O的切线，得出∠ODE＝90°，∠ADO+∠BDE＝90°，由∠ACB＝90°，得出∠CAB+∠CBA＝90°，证出∠CAB＝∠ADO，得出∠BDE＝∠CBA，即可得出结论；（2）证出CB是⊙O的切线，得出DE＝EC，推出EC＝EB，再由OA＝OC，得出OE∥AB，即可得出结论．【解答】证明：（1）连接OD，如图所示：∵DE是⊙O的切线，∴∠ODE＝90°，∴∠ADO+∠BDE＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠CAB+∠CBA＝90°，∵OA＝OD，∴∠CAB＝∠ADO，∴∠BDE＝∠CBA，∴EB＝ED，∴△DBE是等腰三角形；（2）∵∠ACB＝90°，AC是⊙O的直径，∴CB是⊙O的切线，∵DE是⊙O的切线，∴DE＝EC，∵EB＝ED，∴EC＝EB，∵OA＝OC，∴OE∥AB，∴△COE∽△CAB．【点评】本题考查了切线的判定与性质、相似三角形的判定、等腰三角形的判定与性质、平行线的判定与性质等知识，熟练掌握切线的判定与性质是解题的关键．19．【分析】（1）由两组对应角相等直接证△ACD∽△ABC，由相似三角形对应边的比相等可求出AB的长，由AB和AD的长即可直接求出BD的长；（2）由相似三角形的面积比等于相似比的平方可直接求出△ACD与△ABC的面积的比．【解答】解：（1）∵∠ACD＝∠B，∠A＝∠A，∴△ACD∽△ABC，∴，又∵AC＝2，AD＝1，∴AB＝4，∴DB＝AB﹣AD＝3；（2）∵△ACD∽△ABC且＝，∴△ACD与△ABC的面积的比为1：4．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，灵活运用相似三角形的性质是解题的关键．20．【分析】（1）根据已知条件DE∥BC可以判定△ADE∽△ABC；然后利用相似三角形的对应边成比例求得；最后用x、y表示该比例式中的线段的长度；（2）根据∠A＝90°得出S△BDE＝•BD•AE，再运用函数性质求解即可．【解答】解：（1）由题可知，BD＝2x，AD＝8﹣2x，∵DE∥BC∴△ADE∽△ABC∴∴∴，其中0≤x≤4；（2）∵∠A＝90°∴AE是△BDE中BD边上的高，∴∴S＝×2x×（﹣x+6）＝﹣（x2﹣4x+4）+6＝﹣（x﹣2）2+6．∴当x＝2时，S有最大值，且最大值为6．【点评】本题主要考查相似三角形的判定、三角形的面积及涉及到二次函数的最值问题，找到等量比是解题的关键．21．【分析】（1）根据折叠的性质得出∠C＝∠AED＝90°，利用∠DEB＝∠C，∠B＝∠B证明三角形相似即可；（2）由折叠的性质知CD＝DE，AC＝AE．根据题意在Rt△BDE中运用勾股定理求DE，进而得出AD即可．【解答】证明：（1）∵∠C＝90°，△ACD沿AD折叠，∴∠C＝∠AED＝90°，∴∠DEB＝∠C＝90°，又∵∠B＝∠B，∴△BDE∽△BAC；（2）由勾股定理得，AB＝10．由折叠的性质知，AE＝AC＝6，DE＝CD，∠AED＝∠C＝90°．∴BE＝AB﹣AE＝10﹣6＝4，在Rt△BDE中，由勾股定理得，DE2+BE2＝BD2，即CD2+42＝（8﹣CD）2，解得：CD＝3，在Rt△ACD中，由勾股定理得AC2+CD2＝AD2，即32+62＝AD2，解得：AD＝．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，关键是根据1、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；2、勾股定理求解．