江西省南昌市进贤县第一中学2024-2025学年高三上学期11月期中考试数学试题

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2024-2025 学年度进贤一中高三期中考试
数学试卷
一、单选题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一个 选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上。）
1 ．已知M = {x | - ≤ sin x ≤ 1} ， N = { - ,- , 0, ，则M ∩ N = ( )
B ． { - , 0
D ． { - , - , 0
2 ．命题p : “3x ∈(0, +∞) ， x2 -1≥ 0 ” ，则它的否定一p 是 ( )
A ．“3x ∈ (0, +∞) ， x2 - 1< 0 ” B ．“3x ∈ (0, +∞) ， x2 -1 ≤ 0 ”
C ．“丫x∈(0,+∞) ， x2 - 1< 0 ” D ．“丫x∈(0,+∞) ， x2 -1≥ 0 ”
3 ．如图，在 △ABC 中， D 是BC 的中点.若 - = ， - = ，则 - = ( )
A ． 3 - 2 B ． - 2 C ． - + 2 D ． +
4 ．已知sinθ+ 2 cs2 = ，则sin 2θ= ( )
15 15 3 3
A ． - B ． C ． - D .
16 16 4 4
5 ．已知数列{an }满足an+1 = 1- ， a1 = 2 ，则a2023 = ( )
n
1
A ．2 B ． C ． -1 D ．2023
2
6 ．已知函数f (x)= sin wx (w > 0) 的图象的一部分如图 1 ，则图 2 中的函数图象对应的函数是 ( )
A ． y = f (|( 2x - ),I B ． y = f (|( - ,)I C ． y = f (|( - 1,)I D ． y = f (2x -1)
7 ．在 △ABC 中，角A, B, C 所对的边分别是a, b, c ，已知b = 2 ，且cs2B + csB = 1 - cs (A - C) ，当a + 2c 取得
最小值时，在 △ABC 中的最大内角的余弦值是 ( )
2 1 ·2 ·2
A ． - B ． - C ． - D ． -
2 2 4 8
8 ．设方程3x . lg 3 x = 1 的两根为x1 ， x2 (x1 < x2 ) ，则 ( )
2
A ． 0 < x1 < 1 ， x2 > 3 B ． x1 >
C ． 0 < x1x2 < 1 D ． x1 + x2 > 4
二、多选题（本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的四个选项中，有多项符 合题目要求，全部选对得 6 分，选对但不全得部分分，有选错的得 0 分。）
9 ．已知函数f (x ) = sin (|(2x + ),I ，则 ( )
A ． f (x)的最小正周期为 π
B ． f (x) 的图象关于直线x = 对称
C ． f (x) 的图象关于点(|(- , 1),I 中心对称
D ． f (x) 的值域为[-1, 1]
10 ．已知复数z = a + 2i(a > 0) ，且z2 为纯虚数，则 ( )
A ． | z |= 4
B ． = - i
C ．若复数z, 满足z, = 1 ，则 z - z, 的最大值为2 · -1
D ． z ， z 是方程x2 - 4x + 8 = 0 的两个复数根
11．下列说法正确的是 ( )
A ．已知向量 = (1, ) ， = (csθ, sin θ) ，若 丄 ，则tanθ= -
B ．向量 = (2, 3) ， = (x, 2) ，则“ ， 的夹角为锐角”是“x > -3”的充要条件
C ．若2O--A + O--B-→ + 3O-- = ， S△AOC 、 S△ABC 分别表示△AOC 、 △ABC 的面积，则
S△AOC : S△ABC = 1: 6
D ．在 △ABC 中，向量- 与 - 满足|(|( -- + --,)I.B-- = 0 ，且
-- ---→
B--A . B-- = 1 ，则 △ABC 为等边三角形
BA BC 2
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三、填空题（本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。）
12 ．函数f (x ) = lg 的定义域是 .
n lan- , n > 6 ， n ，
13 ．设a > 0 且a ≠ 1 ，已知数列{bn }满足b = {〔(3a)n - 2, n ≤ 6 且{b } 是递增数列 则 a 的取值范围
是 .
14．若正方形 ABCD 边长为2 ，点P 为其内切圆上的动点，-P-→ = λ-B-→ + μ- ，则λ+ μ 的取值范围是 .
四、解答题（本题共计 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）
15 ．已知函数f (x ) = s2 cs (|( 2x - ),I ， x ∈ R .
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递减区间；
(2)求函数f(x)在区间「|L- , 上的最小值和最大值，并求出取得最值时 x 的值.
16 ．已知函数f(x) = ax2 - (a + 2)x + ln x .
(1)当a = 2 时，求曲线y = f(x) 在(1, f (1)) 处的切线方程；
(2)求函数f(x) 的单调区间.
17 ．在锐角 △ABC 中，a ，b ，c 分别是角 A ，B ，C 的对边， c tan B = (2a - c) tan C .
(1)求 B；
(2)若b = ，求 △ABC 的面积 S 取值范围.
18．在n 个数码1, 2, … , n (n ∈N, n ≥ 2 ) 构成的一个排列j1j2 … jn 中，若一个较大的数码排在一个较小的数码的前 面，则称它们构成逆序（例如j2 > j5 ，则j2 与j5 构成逆序），这个排列的所有逆序的总个数称为这个排列的逆 序数，记为T(j1j2 … jn ) ，例如， T (312) = 2 ，
(1)计算T(51243) ；
(2)设数列{an }满足an+1 = an . T(51243)-T(3412), a1 = 2 ，求{an } 的通项公式；
(3)设排列j1j2 … jn (n ∈ N,n ≥ 2) 满足 ji = n +1- i (i = 1, 2, …,n ),bn = T (jj1 2 …jn ),Sn = + + …+ ，求Sn ，
19 ．已知函数f (x ) = aex - x - a (a ∈ R ) ，其中e 是自然对数的底数.
(1)当a = -1 时，求φ(x ) = f (x )- cs2 x 在[0, π ]上的值域；
(2)当0 < a ≤1 时，讨论f (x) 的零点个数；
(3)当a ≥1 时，证明： sin x > x ln x -f (x ) .
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