2024-2025学年四川省成都市高三（上）期中数学试卷

这是一份2024-2025学年四川省成都市高三（上）期中数学试卷，共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（5分）复数的虚部为
A．B．C．D．
2．（5分）的值为
A．1B．C．D．
3．（5分）已知正项等比数列中，为其前项和，且，，则
A．B．C．D．
4．（5分）的展开式中的系数是
A．B．C．D．
5．（5分）已知函数对都有，且其导函数满足当时，，则当时，有
A．（2）B．（2）
C．（2）D．（2）
6．（5分）若向量，，满足，，则的最大值为
A．10B．12C．D．
7．（5分）若对，函数的函数值都不超过函数的函数值，则实数的取值范围是
A．B．C．D．
8．（5分）在三棱柱中，，，在面的投影为△的外心，二面角为，该三棱柱的侧面积为
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9．（6分）对于样本相关系数，下列说法正确的是
A．样本相关系数可以用来判断成对样本数据相关的正负性
B．样本相关系数可以是正的，也可以是负的
C．样本相关系数越大，成对样本数据的线型相关程度越强
D．样本相关系数，
10．（6分）为得到函数的图象，只需要将函数的图象
A．向左平移个单位长度B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度D．向右平移个单位长度
11．（6分）正实数，满足，则下列选项一定成立的是
A．B．
C．D．
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12．（5分）命题“，”的否定为 ．
13．（5分）若，，，四点在同一个圆上，则该圆方程为 ．
14．（5分）椭圆左焦点关于直线的对称点在椭圆上，则该椭圆离心率为 ．
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（13分）设的内角、、的对边分别为、、，已知，且．
（1）求角的大小；
（2）若向量与共线，求、的值．
16．（15分）在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到以上（含的同学将获得优秀奖．为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：
甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；
乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；
丙：9.85，9.65，9.20，9.16
假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立．
（Ⅰ）估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；
（Ⅱ）设是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获优秀奖的总人数，估计的数学期望．
17．（15分）如图，在三棱柱中，平面，，，，点，分别在棱和棱上，且，，为棱的中点．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求二面角的正弦值；
（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值．
18．（17分）椭圆左焦点和，构成一个面积为的△，且．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）点是在三象限的点，与轴交于，与轴交于，
①求四边形的面积；②求△面积最大值及相应点的坐标．
19．（17分）已知函数．（其中
（Ⅰ）当时，证明：；
（Ⅱ）若时，，求实数的取值范围；
（Ⅲ）记函数的最小值为，求证：．
2024-2025学年四川省成都市高三（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）复数的虚部为
A．B．C．D．
【解答】解：复数的虚部为．
故选：．
【点评】本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，考查了计算能力，属于基础题．
2．（5分）的值为
A．1B．C．D．
【解答】解：
．
故选：．
【点评】此题考查学生灵活运用两角和的正切函数公式及特殊角的三角函数值化简求值，是一道基础题．学生做题时注意所求式子中“1”的灵活变换．
3．（5分）已知正项等比数列中，为其前项和，且，，则
A．B．C．D．
【解答】解：由已知得：
，
解得，，
．
故选：．
【点评】本题考查等比数列的前5项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．
4．（5分）的展开式中的系数是
A．B．C．D．
【解答】解：由组合数性质：，可得
展开式中的系数为：
，
故选：．
【点评】本题考查二项式定理的应用，属中档题．
5．（5分）已知函数对都有，且其导函数满足当时，，则当时，有
A．（2）B．（2）
C．（2）D．（2）
【解答】解：函数对定义域内的任意都有，
关于直线对称；
又当时其导函数满足，
当时，，在上的单调递增；
同理可得，当时，在单调递减；
的最小值为（2）
，
，
，又，，在上的单调递增；
，
（2），
故选：．
【点评】本题综合考查了导数的运用，函数的对称性，单调性的运用，综合运用对数解决问题的能力，属于中档题．
6．（5分）若向量，，满足，，则的最大值为
A．10B．12C．D．
【解答】解：由题设可知：，
则不妨设，，，
则
，
由题意知，的最大值为4，的最大值为3，
则当与同向时，，取得最大值，
即的最大值为12．
故选：．
【点评】本题考查平面向量的线性运算及数量积运算，属中档题．
7．（5分）若对，函数的函数值都不超过函数的函数值，则实数的取值范围是
A．B．C．D．
【解答】解：在同一平面直角坐标系中作出，的图象如下图所示：
且，即与轴交于，
当位于其对称轴右侧的图象经过时，此时在的图象上，所以，
当位于其对称轴左侧的图象经过时，此时在的图象上，所以，解得；
接下来分析当与相切时的情况：
令，解得（负值舍去），，
所以切点坐标为，
则，解得；
由上可知，当时，经过且与相切，
结合图象，通过平移的图象可知，当时，恒成立．
故选：．
【点评】本题考查函数图象的运用，考查数形结合思想以及运算求解能力，属于中档题．
8．（5分）在三棱柱中，，，在面的投影为△的外心，二面角为，该三棱柱的侧面积为
A．B．C．D．
【解答】解：设△的外心为，则由题意可得面，
如图，连接，，，，，则，
△△△，
，
又，△，△均为正三角形，且△△，
取中点，连接，，则，，且，，
是二面角的平面角，故，
△是正三角形，，
，
；
延长交于点，则由为△的外心和，
，
又由面，面，，
又，、平面，
平面，平面，，
由平行线性质，，
该三棱柱的侧面积．
故选：．
【点评】本题考查柱体侧面积的计算，属于中档题．
二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9．（6分）对于样本相关系数，下列说法正确的是
A．样本相关系数可以用来判断成对样本数据相关的正负性
B．样本相关系数可以是正的，也可以是负的
C．样本相关系数越大，成对样本数据的线型相关程度越强
D．样本相关系数，
【解答】解：对于，样本相关系数可以用来判断成对样本数据相关的正负性，故选项正确；
对于，样本相关系数可以是正的，也可以是负的，故选项正确；
对于，样本相关系数的绝对值越大，成对样本数据的线性相关程度也越强，故选项错误；
对于，样本相关系数，，故正确．
故选：．
【点评】本题主要考查了相关系数的性质，属于基础题．
10．（6分）为得到函数的图象，只需要将函数的图象
A．向左平移个单位长度B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度D．向右平移个单位长度
【解答】解：为得到函数的图象，只需要将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，
或向右平移个单位，得到的图象．
故选：．
【点评】本题考查的知识点：函数图象的平移变换，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
11．（6分）正实数，满足，则下列选项一定成立的是
A．B．
C．D．
【解答】解：正实数，满足，
选项，，
当且仅当，即，时等号成立，选项错误．
选项，，
当且仅当时等号成立，所以选项正确．
选项，，
，当且仅当时等号成立，
函数在上单调递减，最小值为，
所以当时，有最小值为，
而，当且仅当时等号成立，
所以，
当且仅当时等号成立，所以选项正确．
选项，
，当且仅当时等号成立，正确．
故选：．
【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于中档题．
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12．（5分）命题“，”的否定为 ， ．
【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“，”的否定为，
故答案为：，
【点评】本题考查命题的否定，全称命题与特称命题的否定关系，是基础题．
13．（5分）若，，，四点在同一个圆上，则该圆方程为 ．
【解答】解：假设圆的一般方程为，
将，，三点的坐标分别代入可得
，
解得，，，
所以圆的方程为：，
点也在该圆上，
即．
故答案为：．
【点评】本题主要考查圆的方程，属于基础题．
14．（5分）椭圆左焦点关于直线的对称点在椭圆上，则该椭圆离心率为 ．
【解答】解：椭圆左焦点关于直线的对称点在椭圆上，
设关于直线的对称点为，
则，解得，
将点坐标代入椭圆方程得，
，而，
所以，
，，
，
，则，，，
所以离心率．
故答案为：．
【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，离心率的求法，是中档题．
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（13分）设的内角、、的对边分别为、、，已知，且．
（1）求角的大小；
（2）若向量与共线，求、的值．
【解答】解：（1）
，
；
又，
，
，
解得；
（2）向量与共线，
，
，
即①；
又，，
②；
由①②联立解得，．
【点评】本题考查了三角恒等变换以及向量共线定理和正弦、余弦定理的应用问题，是综合性题目．
16．（15分）在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到以上（含的同学将获得优秀奖．为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：
甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；
乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；
丙：9.85，9.65，9.20，9.16
假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立．
（Ⅰ）估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；
（Ⅱ）设是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获优秀奖的总人数，估计的数学期望．
【解答】解：（Ⅰ）设事件为“甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖”，
其概率为；
（Ⅱ）记事件为：“乙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖”，
则，
事件为：“丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率”，
则，
依题意可知的可能取值为0，1，2，3，
则，
，
，
，
所以的分布列为：
所以．
【点评】本题考查了古典概型的概率公式的应用，考查了离散型随机变量的分布列与期望的求解，属于中档题．
17．（15分）如图，在三棱柱中，平面，，，，点，分别在棱和棱上，且，，为棱的中点．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求二面角的正弦值；
（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值．
【解答】解：（Ⅰ）在三棱柱中，平面，
则该三棱柱是个直三棱柱（各侧棱均垂直底面，各侧面均与底面垂直）
，
为棱的中点，
，
又平面平面，
平面，
，
；
方法二：
（Ⅰ）以为原点，，，的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示，
则，0，，，0，，，2，，，0，，
，0，，，2，，，0，，，0，，，1，，
，1，，，，，
，；
（Ⅱ）依题意，，0，是平面的一个法向量，
，2，，，0，，
设，，为平面的法向量，
则，即，不妨设，则，，，
，，
，，
二面角的正弦值；
（Ⅲ）依题意，，2，，
由（Ⅱ）知，，，为平面的一个法向量，
，，
由直线与平面所成角与直线和法向量所在直线的夹角互余，
直线与平面所成角的正弦值为．
【点评】本题考查了空间向量在几何中的应用，线线平行和二面角和线面角的求法，考查了运算求解能力，转化与化归能力，逻辑推理能力，属于中档题．
18．（17分）椭圆左焦点和，构成一个面积为的△，且．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）点是在三象限的点，与轴交于，与轴交于，
①求四边形的面积；②求△面积最大值及相应点的坐标．
【解答】解：（Ⅰ）
令，根据，解得，三角形为等腰直角三角形，
所以，
根据三角形面积为，可得，
又因为，
所以，所以椭圆标准方程为
（Ⅱ）
①设，，那么，
根据第一问得，，
直线，直线，
所以，，
所以四边形的面积
．
②根据第一问得，
要求出三角形面积最大值那么只需求出三角形面积最大值即可．
根据，，解得，，
因此到的距离，
所以．
因为，
所以，
所以，所以，
当时，，此时，
根据，解得，
根据三角形面积最大值为，可得三角形面积最大值为．
【点评】本题考查直线与椭圆综合应用，属于中档题．
19．（17分）已知函数．（其中
（Ⅰ）当时，证明：；
（Ⅱ）若时，，求实数的取值范围；
（Ⅲ）记函数的最小值为，求证：．
【解答】解：（Ⅰ）证明：当时，函数，
所以导函数，
当时，，导函数，函数单调递减，
当时，，导函数，函数单调递增，
所以，得证．
（Ⅱ）根据函数，所以导函数，
所以．
①当时，，，，
所以导函数单调递增，，
所以函数单调递增，，所以成立；
②当时，当，，
所以导函数单调递减，，
所以函数单调递减，，与条件矛盾，所以不成立；
综上所述：．
（Ⅲ）证明：，则导函数，
设，则，
又因，
所以导函数在单调递增，
又因为（1），
所以，使得，即①，
且，，单调递减；
，，，单调递增，
所以，
由①得，
又因为（1），，
所以，使得，即，即，
且，，单调递减；
，，，单调递增，
所以，
因为，所以（1），
再设，则在单调递减，
因为，所以也即大于，
要证，即证，又即证，
由（Ⅱ）问，
所以，得证．
【点评】本题考查导数综合应用，属于难题．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/11/23 16:50:53；用户：邵国海；邮箱：shg0505@163.cm；学号：196381180
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