2023_2024学年高二数学上学期期末复习专题1_7数列求通项13类题型汇总练习学生版

这是一份2023_2024学年高二数学上学期期末复习专题1_7数列求通项13类题型汇总练习学生版，共22页。试卷主要包含了前n项积，因式分解型，累加法，累乘法，构造法，倒数型，隔项等差数列，隔项等比数列等内容，欢迎下载使用。
1、与
2、前n项积
3、因式分解型
如果式子中出现了2次项或者正项数列这些条件，可能需要因式分解
例：设正项的前项和为
（1）若满足,,数列的通项公式为__________
（2）若，，的通项公式为_____________
（3）若，，的通项公式为____________
【答案】（1）；（2）；（3）
4、累加法（叠加法）
若数列满足，求数列的通项时，利用累加法求通项公式。
具体步骤：
，将这个式子相加（左边加左边，右边加右边）得：=
5、累乘法（叠乘法）
若数列满足，则称数列为“变比数列”，求变比数列的通项时，利用求通项公式的方法称为累乘法
具体步骤：
，
将这个式子相乘（左边乘左边，右边乘右边）得：
整理得：
6、构造法
类型1： 用“待定系数法”构造等比数列
形如（为常数，）的数列，可用“待定系数法”将原等式变形为（其中：），由此构造出新的等比数列，从而求出数列的通项公式.
类型2：用“同除法”构造等差数列
（1）形如，可通过两边同除，将它转化为，从而构造数列为等差数列，进而可求得的通项公式.
（2）形如，可通过两边同除，将它转化为，换元令：，则原式化为：，先利用构造法类型1求出，再求出的通项公式.
（3）形如的数列，可通过两边同除以，变形为的形式，从而构造出新的等差数列，先求出的通项，便可求得的通项公式.
7、倒数型
用“倒数变换法”构造等差数列
类型1：形如：（为常数，）的数列，通过两边同除“倒”过来，变形为，即：，从而构造出新的等差数列，先求出的通项，即可求得.
类型2：形如（为常数，，，）的数列，通过两边同除“倒”过来，变形为，可通过换元：，化简为：（可用“待定系数法”构造等比数列）
8、隔项等差数列（和为等差）
已知数列，满足，（k≠0）
则；
；或则称数列为隔项等差数列，其中：
①构成以为首项的等差数列，公差为；
②构成以为首项的等差数列，公差为；
9、隔项等比数列（积为等比）
已知数列，满足，
则；
（其中为常数）；或则称数列为隔项等比数列，其中：
①构成以为首项的等比数列，公比为；
②构成以为首项的等比数列，公比为；
10、和为等比数列（和为等比）
已知数列，满足，
则
，再通过累加法和错位相减求出的通项公式
【题型1】Sn与an
已知数列满足：对任意，有，求数列的通项公式
（湖南师大学附中月考）已知数列的前项和为，若，，则有（ ）
A．为等差数列B．为等比数列
C．为等差数列D．为等比数列
已知数列的前项和为，若，，则数列的通项公式________
（重庆实验外国语学校月考）（多选）若数列满足（为正整数），为数列的前项和则（ ）
A．B．
C．D．
设为数列的前项和，已知，求
【题型2】前n项积
对于数列，前项积记为； ①；②
则①②：
已知数列的前n项和为，在数列中，，，，求数列，的通项公式
（江苏连云港，南通调研）已知数列的前项积为，且，求的通项公式
2021·全国高考乙卷（理）——前n项积，消求
记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知．
（1）证明：数列是等差数列;（2）求的通项公式．
【题型3】因式分解型（正项数列）
正项递增数列的前项和为，，求的通项公式；
已知各项都是正数的数列，前项和满足，求数列的通项公式.
已知为数列的前n项和，，,求数列的通项公式.
【题型4】已知等差或等比求通项
注意与消Sn的方法进行区分
（湖北省黄冈市9月调研）设等差数列前项和，，满足，，求数列的通项公式
（苏州市高三调研）已知等比数列中，，求数列的通项公式及它的前n项和.
（佛山二模）已知各项均为正数的等比数列，其前项和为，满足，求数列的通项公式
（潍坊一模）已知数列为等比数列，其前项和为，且满足，求的值及数列的通项公式.
【题型5】累加法（叠加法）
在数列中，，，则
A．B．C．D．
已知数列满足，，则（ ）
A．B．C．D．
已知数列满足，且，则（ ）
A．2B．4C．6D．8
已知数列满足，，，且，求数列的通项公式.
【题型6】累乘法（叠乘法）
数列满足，，则
已知数列的首项为1，前n项和为，且，则数列的通项公式 .
（2022·新高考1卷）为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列，求的通项公式.
已知数列的前n项和为，且满足，求的通项公式.
【题型7】构造：等差、等比，常数列
（2020·全国Ⅲ卷）设数列{an}满足a1=3，，求an.
已知数列的前n项和为，且，求数列的通项公式；
已知数列的前n项和为，，且，求通项公式．
已知数列中，，则等于（ ）
A．B．
C．D．
数列{an}满足，，则数列{an}的通项公式为 .
在数列中，，且对任意的，都有，求数列的通项公式
广东省广州市2023届高三综合测试（一）
已知数列的前项和为，且，求.
2023·广东惠州一模
已知数列的前项和为，且，求数列的通项公式；
已知数列满足，，则=（ ）
A．80B．100C．120D．143
【题型8】取倒数型
已知数列满足，且，则数列的通项公式为 ．
在数列中，若，则 .
已知数列满足，且，则（ ）
A．B．C．D．
【题型9】取倒数后进行构造
已知数列满足，且，则（ ）
A．B．C．D．
在数列中，，，且满足，则 .
重庆市巴蜀中学校高三下学期高考适应性月考（九）
（多选）已知数列的前n项和为，，且（，2，…），则（ ）
A．B．C．D．
【题型10】隔项等差数列求通项（和为等差）
已知,求的通项公式．
思路点拨：根据题意： ，可推出 ，两式作差 ，判断为隔项等差数列
解答过程
由 ，可推出 ，两式作差
所以 是隔项等差数列：
① 构成以 为首项的等差数列，公差为
② 构成以 为首项的等差数列，公差为
下结论
求通项
当 为奇数： 为第 项：
求通项
当 为偶数： 为第 项：
综上：无论 为奇数还是偶数： .
已知各项均为正数的数列满足：，,求数列的通项公式.
已知数列中，对任意的,都有，，求的通项公式．
【题型11】隔项等比数列求通项（积为等比）
已知正项等比数列对任意的均满足，，求的通项公式；
思路点拨：根据题意： ，可推出 ，两式作商 ，判断为隔项等比数列
解答过程：
由 ，可推出 ，两式作商
所以 是隔项等比数列：
① 构成以 为首项的等比数列，公比为 ；
② 构成以 为首项的等比数列，公比为 ；
下结论
求通项
当 为奇数： 为第 项：
求通项
当 为偶数： 为第 项：
综上： .
山东省济南市二模
（多选）已知数列中，，，，则下列说法正确的是（ ）
A．B．是等比数列
C．D．
2023·广东深圳二模
已知数列满足，，，.
(1)求数列的通项公式；(2)证明:数列中的任意三项均不能构成等差数列.
【题型12】和为等比数列求通项
已知数列中，，求数列的前n和.
思路点拨：根据题意： ，可推出 ，两式作差
变换下标，写成
所以 ， ，．．．．．．．
累加，得
累加
求通项
所以数列 的前n和为
求和
（2023·重庆巴南·一模）在数列中，已知，，求的通项公式．
已知数列满足，，．
(1)求的通项公式．
(2)若数列的前项和为，且恒成立，求实数的取值范围．
2023·浙江杭州·统二模
设公差不为0的等差数列的前n项和为，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，，求数列的前n项和．
【题型13】奇偶数列：奇偶项递推公式不同
2021·新高考1卷T17（1）
已知数列满足，，记，写出，，并求数列的通项公式
已知数列满足，，记，求证：为等比数列
2023·巴蜀中学高三校考
已知数列满足：①；②，求的通项公式
福建师范大学附属中学高三上学期第二次月考
大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项都代表太极衍生过程.已知大衍数列满足，，求的通项公式
山东省聊城市高三下学期第一次模拟
已知数列满足，，数列满足,求数列和的通项公式．
与同时存在
角度1：已知与的关系；或与的关系
用，得到
例：已知，求
角度2：已知与的关系；或与的关系
替换题中的
例：已知；
已知
角度3：等式中左侧含有：
作差法
（类似）
例子：已知求
前n项积
角度1：已知和的关系
角度1：用，得到
例子：的前项之积.
角度2：已知和的关系
角度1：用替换题目中
例子：已知数列的前n项积为，且.